Funkcje Barbara Stryczniewicz

2 3 4 5 1 Co z tym zrobisz ... Ćwiczenia wstępne Opis funkcji ,elementy 3 Własności funkcji 4 Sposoby przedstawiania funkcji 5 Zadania

Ćw.1 A B Czy przyporządkowanie jest funkcją ? a e f c b g d h Nie jest to funkcja, ponieważ elementowi d ze zbioru A nie odpowiada żaden element ze zbioru B

Ćw.2 A B Czy przyporządkowanie jest funkcją ? a e f c b g d h Jest to funkcja, ponieważ każdemu elementowi ze zbioru A odpowiada dokładnie jeden element ze zbioru B

Ćw.3 A B Czy przyporządkowanie jest funkcją ? 1 a b 2 c 3 4 d Tak, bo każdemu elementowi ze zbioru A odpowiada dokładnie jeden element ze zbioru B

Ćw.4 Czy poniższy wykres jest wykresem funkcji ? Uzasadnij C A B A= (x1; y1 ) C B= (x2; y2 ) x1 x2 x3 A C=(x3 ;y3 ) B Tak, bo każdemu elementowi x na osi X ( np. x1 , x2 , x3 )odpowiada tylko jeden element y na osi Y ( odpowiednio y1 , y2 , y3 )

Ćw.5 Czy poniższy wykres jest wykresem funkcji ? Uzasadnij B A B= (x1; y1 ) y1 A= (x1; y2 ) x1 y2 A Nie, bo elementowi x1 na osi X odpowiadają dwa elementy na osi Y : y1 , y2

Def .funkcji Przypomnij sobie co to jest funkcja ... Funkcją nazywamy takie przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi x ze zbioru X jest przyporządkowany dokładnie jeden element y ze zbioru Y

Elementy funkcji X Y Uzupełnij zapisy : x1 y1 y2 x2 y3 x3 y4 x4 Zbiór X to : dziedzina funkcji Zbiór Y to: Przeciwdziedzina funkcji Zbiór : {y1, y2, y4} to : Zbiór wartości funkcji

cd... Uzupełnij zapisy : Elementy dziedziny to : argumenty Każdemu argumentowi odpowiada dokładnie jedna: wartość funkcji Wykres funkcji to : Zbiór punktów (x ; y) w układzie współrzędnych, takich , że x – to argument funkcji , y – to odpowiednia wartość funkcji

Własności funkcji 1. Dziedzina funkcji Określ dziedzinę funkcji : D = R ( co znaczy :dziedzinę tworzą wszystkie liczby rzeczywiste) y = 2x D = R ( co znaczy :dziedzinę tworzą wszystkie liczby rzeczywiste) y=3x – 6 D = R ( co znaczy :dziedzinę tworzą wszystkie liczby rzeczywiste) y = x2

Dziedzina funkcji Określ dziedzinę funkcji : D= R – {0} ( to znaczy ,że dziedzinę tworzą wszystkie liczby rzeczywiste oprócz x = 0) D= R – {3} ( to znaczy ,że dziedzinę tworzą wszystkie liczby rzeczywiste oprócz x = 3 ) lub D=R+ +{0}

Monotoniczność funkcji Określ, kiedy funkcja jest : jeżeli wraz ze wzrostem argumentu x rośnie wartość funkcji y rosnąca jeżeli wraz ze wzrostem argumentu x maleje wartość funkcji y malejąca jeżeli wraz ze wzrostem argumentu x wartość funkcji y jest stała stała

cd... Określ czy funkcja jest rosnąca, malejąca czy stała x 1 2 3 4 x rośnie y rośnie a zatem funkcja jest rosnąca x 1 2 3 4 y 5 4 3 1 x rośnie y maleje a zatem funkcja jest malejąca

cd1... Określ czy funkcja jest rosnąca, malejąca czy stała x 1 2 3 4 x rośnie y stałe a zatem funkcja jest stała x 1 2 3 4 y 1 4 3 5 x rośnie y zmienia się a zatem funkcja nie jest ani rosnąca ani malejąca ani stała

Miejsce zerowe funkcji Określ miejsca zerowe funkcji miejsce zerowe miejsca zerowe X 2 3 4 5 Y -1 0 1 2 Miejsce zerowe funkcji to taka wartość argumentu x, dla której wartość funkcji jest równa zero (y=0) miejsce zerowe podsumowanie

Sposoby przedstawiania funkcji 1 Dla funkcji opisanej słownie , wymień dziedzinę i zbiór wartości Każdej liczbie naturalnej mniejszej od 4 i większej od 0 przyporządkowujemy liczbę do niej przeciwną Dziedzina Zbiór wartości X={1, 2, 3} Y = { -1 , -2 , -3 } Każdej liczbie należącej do zbioru { 10, 11, 12 } przyporządkowujemy resztę z jej dzielenia przez 5 Dziedzina Zbiór wartości X={10,11,12} Y = { 0, 1 , 2 }

Sposoby przedstawiania funkcji 2 Funkcję opisaną graficznie przedstaw w postaci tabelki 5 X 1 2 3 4 Y 5 6 7 8 1 2 6 7 3 8 4 tabelki Graf funkcji x -3 -2 -1 1 2 3 y 2 1 0 -1 0 1 Wykres funkcji

Sposoby przedstawiania funkcji 3 Dla funkcji opisanej częściową tabelką napisz wzór funkcji x 1 2 3 4 y -1 –2 -3 -4 x 2 3 4 5 y 4 9 16 25 y = -x y = x2 x -1 0 1 2 y 1 2 3 4 x 10 20 30 40 y 1 2 3 4 y = 0,1 x y = x + 2

2.Graficznie : za pomocą grafu lub wykresu Podsumowanie Funkcję można przedstawić za pomocą : 1. Opisu słownego 2.Graficznie : za pomocą grafu lub wykresu 3. Za pomocą tabelki 4. Za pomocą wzoru

Zad.1 Narysuj wykres i określ własności funkcji y = 2x – 6 1.Tabelka częściowa Własności : 1.Dziedzina D = R x 0 2 y -6 -2 rosnąca, bo a=2 >0 2.Funkcja jest 2.Kreślimy wykres 3.Miejsce zerowe (3;0) Y y>0 2x – 6 = 0 2x =6 x = 3 4.Funkcja ma wartości X dodatnie dla x > 3 y<0 ujemne dla x < 3

Zad.2 Narysuj wykres i określ własności funkcji y = x2 1.Tabelka częściowa Własności : 1.Dziedzina D = R x -2 -1 0 1 2 y 4 1 0 1 2 2.Miejsce zerowe (0;0) 3.Funkcja jest 2.Kreślimy wykres rosnąca,dla x>0 Y malejąca dla x<0 y>0 4.Funkcja ma wartości parabola dodatnie dla x 0 X minimum – wierzchołek

y= -x +3 dla x < 3 Zad.3 Narysuj wykres funkcji 1.Usuwamy wartość bezwzględną ze wzoru y = x – 3 dla x 3 5 y 0 2 x -1 0 y 4 3 y= -x +3 dla x < 3 2.Sporządzamy tabelki i kreślimy wykres x=3

Odp. wzór funkcji to y = 2x + 4 Zad.4 Napisz wzór funkcji liniowej , której wykres przechodzi przez punkty ( 0;4) oraz (2;8) Ponieważ wykres przechodzi przez punkt (0;4) stąd wynika, że b = 4 czyli wzór naszej funkcji to y = ax + 4 Do wzoru y = ax + 4 podstawiamy współrzędne punktu ( 2;8) x = 2 y = 8 Liczymy 8 = 2a + 4 stąd a = 2 Odp. wzór funkcji to y = 2x + 4

Napisz wzór funkcji, której wykres jest równoległy do wykresu y = 3x – 5 oraz przechodzi przez punkt ( 4;9) Zad.5 Jeżeli wykres ma być równoległy do danego to musi być y = 3x + b Podstawiamy do tego wzoru współrzędne punktu ( 4;9) i liczymy b 9 = 3 . 4 + b stąd b = - 3 Odp. Wzór to y = 3x – 3

Zad.6 Sprawdź rachunkowo, czy punkty ( 2;-4) i (5;9) należą do wykresu funkcji y = 4x – 12 Sprawdzamy ( 2;-4) podstawiamy x= 2 i liczymy y , porównując wartość y danego punktu y = 4.2 – 12 = 8 – 12 = - 4 czyli punkt ( 2;-4) należy do wykresu funkcji Sprawdzamy ( 5;9) podstawiamy x= 5 i liczymy y , porównując wartość y danego punktu y = 4.5 – 12 = 20 – 12 = 8 czyli punkt ( 5;9) nie należy do wykresu funkcji

Zad.7 Dla funkcji y = -2x – 3 a/ narysuj wykres i oblicz : b/ miejsce zerowe ( x; 0) -2x – 3 = 0 stąd -2x = 3 / : (-2) i x = - 1,5 c/ punkty przecięcia z osiami OX i OY z osią OX – miejsce zerowe (-1,5;0) z osią OY ( 0; -3) ( za x wstawiamy 0 ) d/ f(-2) i f( 4) f(-2)=-2.(-2) – 3 =1 f(4)=-2.4 – 3 = - 11

Wykonaj samodzielnie 1. Narysuj wykresy i określ własności funkcji y = -2x + 6 y = 0,5x + 1,5 2. Narysuj wykresy i określ własności funkcji y = - x2 y = 2x2 y = - 0,5x2 3. Narysuj wykres funkcji 4. Napisz wzór funkcji liniowej , której wykres przechodzi przez punkty ( 0;6) oraz (-2;8)

Wykonaj samodzielnie cd. 5. Napisz wzór funkcji, której wykres jest równoległy do wykresu y = - x – 6 oraz przechodzi przez punkt ( 6;10) 6. Sprawdź rachunkowo, czy punkty ( -2;6) i (4;12) należą do wykresu funkcji y = 2x + 10 7. Dla funkcji y = -2x – 3 narysuj wykres i oblicz : f(-4) f(3) oraz współrzędne przecięcia wykresu z osiami OX i OY

Zadanie dodatkowe 1 Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty : a/ (2;3) i (4;8) b/ ( -2;4) i (1;6) 2. Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu y = 2x – 5 i przechodzi przez punkt (4;12)

Zadanie dodatkowe 2 3. Wyznacz funkcje odwrotne do danych : a/ y = 2x – 4 b/ y= - 0,5x + 4 4. Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji i osiami OX i OY a/ y = 2x – 4 i y = -2x + 4 B/ y = x – 3 , y = -x + 3

Zadanie dodatkowe 3 5. Sporządź wykres funkcji określonej następująco : dla x < -3 dla -3 < x < 4 dla x > 4

Barbara Stryczniewicz Autor Barbara Stryczniewicz