JEJ WŁASNOŚCI ORAZ RODZAJE FUNKCJA JEJ WŁASNOŚCI ORAZ RODZAJE

FUNKCJA FUNKCJA? FUNKCJI FUNKCJA LINIOWA CO TO JEST WŁASNOŚCI PRZYKŁADY FUNKCJI NIELINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA I JEJ WŁASNOŚCI

Co to jest funkcja ?

Definicja: A B e 1 a 4 b 5 c 3 d 2 A - dziedzina funkcji Dane są dwa zbiory A i B Jeżeli każdemu elementowi zbioru A przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru B, to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją ze zbioru A do zbioru B. A B e 1 a 4 b 5 c 3 d 2 A - dziedzina funkcji elementy zbioru A- argumenty B - przeciwdziedzina funkcji elementy zbioru B - wartości

A dziedzina B przeciwdziedzina Przykład funkcji I Każdy samochód, ma dokładnie jeden numer rejestracyjny. A dziedzina B przeciwdziedzina WRZ 2435 KRB 18003 CEK 2112 CZS 4503

A B Przykład funkcji II Każdy uczeń ma dokładnie jeden numer w dzienniku A A - DZIEDZINA B B - PRZECIWDZIEDZINA Każdy ma jeden numer Jola K. Kasia B. Jacek Z. Tomek D. Zbyszek W. 5 7 12 19 21

Różne sposoby opisywania funkcji SŁOWNIE TABELĄ WZOREM WYKRESEM GRAFEM Uwaga: Z każdego opisu musi jednoznacznie wynikać sposób przyporządkowania, dziedzina i przeciwdziedzina funkcji.

zbiór uczniów danej klasy. zbiór liter O P I S S Ł O W N Y Przykład I - Każdemu uczniowi w klasie przyporządkowujemy pierwszą literę imienia. Dziedzina Przeciwdziedzina zbiór uczniów danej klasy. zbiór liter Przykład II - Każdej liczbie ze zbioru X = {-3,-2,-1,0,1,2,3} przyporządkowujemy liczbę o 3 większą. zbiór Y = {0,1,2,3,4,5,6} zbiór X = {-3,-2,-1,0,1,2,3} Przykład III - Każdej liczbie naturalnej przyporządkowujemy liczbę do niej przeciwną. zbiór liczb naturalnych. zbiór liczb całkowitych

Przykład I Każdemu uczniowi w klasie przyporządkowujemy pierwszą literę imienia. TABELA Jola Kasia Tomek Waldek Bogdan Basia Wiesiek Marta Mariusz Paweł Kamil J K T W B B W M. M. P K GRAF Jola Kasia Tomek Waldek Bogdan Basia Wiesiek Marta Mariusz Paweł Kamil J K T W B M P WYKRES WZÓR Uwaga! Tej funkcji nie da się opisać wzorem ani wykresem ponieważ nie jest to funkcja liczbowa

Przykład II Każdej liczbie ze zbioru X = {-3,-2,-1,0,1,2,3} przyporządkowujemy liczbę o 3 większą. TABELĄ WYKRESEM -3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 x WZOREM f:x x+3 lub f(x) = x+3 lub y = x+3 dla x € {-3,-2,-1,0,1,2,3}

przyporządkowujemy liczbę do niej przeciwną. Przykład III Każdej liczbie naturalnej przyporządkowujemy liczbę do niej przeciwną. Uwaga! Ponieważ dziedziną tej funkcji jest nieskończony zbiór liczb naturalnych, nie można sporządzić tabeli ani grafu. Możemy się ograniczyć do tabeli częściowej (tzn. dla kilku wybranych elementów). TABELA WYKRES x 0 1 2 3 4 5 y 0 -1 -2 -3 -4 -5 WZÓR f:x - x f(x) = - x y = - x dla x € N

WYKRES -jest to zbiór punktów na płaszczyźnie, których pierwsza współrzędna jest argumentem, a druga wartością funkcji dla tego argumentu. (x, f(x)) jeżeli x = 1, to y = 2 y y=2x (2,4) jeżeli x = 2, to y = 4 (1,2) jeżeli x = -2, to y = - 4 x x y 1 2 2 4 - 2 - 4 f(x) = y= 2x wartość jest dwa razy większa od argumentu (-2,-4) *

Przykłady wykresów funkcji y = 2x+1 dla różnych dziedzin Dziedzina funkcji x € {1, 2, 3} f(x) = y = 2x+1 x-argument y-wartość Dziedzina funkcji x € R Dziedzina Funkcji x € C

WŁASNOŚCI FUNKCJI

w a r t o ś c i Wraz ze wzrostem argumentów, rosną wartości funkcji. a r g u m e n t y

FUNKCJA jest ROSNĄCA jeżeli wraz ze wzrostem argumentów rosną jej wartości. y Y5 Y4 x X1 rosną X2 X3 X4 X5 Y3 Y2 rosną Jeżeli X1 < X2, to Y1 < Y2. Y1 * Funkcja liniowa jest rosnąca dla a > 0.

w a r t o ś c i a r g u m e n t y Wraz ze wzrostem argumentów, maleją wartości funkcji.

FUNKCJA jest MALEJĄCA jeżeli wraz ze wzrostem argumentów maleją jej wartości. Y y1 maleją Jeżeli x1 < x2, to y1 > y2. y2 x rosną x1 x2 * Funkcja liniowa jest malejąca dla a < 0.

Różne argumenty, równe wartości funkcji. w a r t o ś c i a r g u m e n t y

Funkcja liniowa jest stała dla a =0. FUNKCJA jest STAŁA jeżeli wszystkim argumentom odpowiada ta sama wartość. Y te same wartość Jeżeli x1< x2, to y = y ( jest stały ) y x x1 x2 x3 x4 różne argumenty * Funkcja liniowa jest stała dla a =0.

Ta funkcja jest przedziałami monotoniczna. Uwaga ! Nie wszystkie funkcje są monotoniczne (tzn. rosnące, malejące lub stałe) w całej dziedzinie. Ta funkcja jest przedziałami monotoniczna. Dla x (- 6 ; - 4) - rosnąca Dla x (- 4 ; -1) - stała Dla x (-1 ; 0) - malejąca Dla x ( 0 ; 4 ) - rosnąca Dla x (4 ;6 ) - stała

xo A B xo Miejscem zerowym funkcji jest argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0. A B DEFINICJA x1 y1 xo f(x) xo y y2 x2 f(xo) = 0. y3 x3 Przykłady obliczania miejsc zerowych dla funkcji określonych wzorami: Liczymy argument x = ? Wartość funkcji wynosi 0 y = 0 Funkcja liniowa y = 2x - 5 0 = 2x - 5 2x = 5 xo = 2,5 Funkcja kwadratowa y = x2 - 9 0 = x2 - 9 x2 = 9 xo = 3 lub xo = - 3 *

Miejsca zerowe można także odczytać z tabeli i wykresu. x -1 1 2 3 4 5 y -3 -1 0 -3 -4 -5 y = 0 dla xo = 2 Miejsce zerowe funkcji odczytujemy z wykresu, określając odciętą punktu przecięcia z osią OX. Dwa miejsca zerowe Xo = - 2 i Xo = 2 Brak miejsc zerowych Jedno miejsce zerowe Xo = 1

- - - - - - - - - - Wartości funkcji Wartości funkcji odczytujemy na osi Y. Dla argumentu x = - 3, wartość wynosi y = -2,5, dla argumentu x = 3, wartość wynosi y = 1. Y + DODATNIE WARTOŚCI f(x) = y (3,1) X - - - - - - - - UJEMNE (- 3;-2.5) - -

- - - - - - - - - - DODATNIE UJEMNE + + + JAKIE WARTOŚCI ? JAKIE ARGUMENTY? + + + + + + - - - - - - - - - - Dla x ( -6; -1,5) wartości funkcji są ujemne. Dla x  ( -1.5; 2) wartości funkcji wynoszą 0. Dla x  (2; 6) wartości funkcji są dodatnie. *

FUNKCJA LINIOWA I JEJ WŁASNOŚI

FUNKCJA LINIOWA y =a x+b Jest to funkcja opisana wzorem y = ax+b, gdzie a i b są stałymi współczynnikami liczbowymi. x jest argumentem, y wartością funkcji, x R. -Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. y - a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, wskazuje on kąt nachylenia prostej do osi OX. a = tg  b=2 x - współczynnik b określa punkt przecięcia prostej z osią OY. *

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. Jak rysujemy wykres funkcji liniowej? Żeby narysować prostą trzeba mieć co najmniej 2 punkty OBLICZENIA y = 3x+2 (1,5) jeżeli x=1 to y=3*1+2=5 punkt ( 1, 5 ) x = -2 to y=3*(-2)+2 = - 4 punkt (- 2, -4 ) TABELA x -2 1 WYKRES -4 5 y=3x+2 (-2, -4 ) *

Wykresy funkcji y = ax w zależności od współczynnika kierunkowego a Wykresy funkcji y = ax w zależności od współczynnika kierunkowego a. (b=0) Różne współczynniki a, różne kąty nachylenia do osi OX a > 0 wykres leży w I i III ćwiartce a < 0 wykres leży w II i IV ćwiartce II I a=5 y= -5 x a=2 y= -2 x a=1/2 y = 2x a= -2 y = 5 x a= -5 III IV

Wykresy funkcji liniowych (ten sam kąt - proste są równoległe) y=ax+b b=10 b=2 y=2x+10 b=0 Współczynnik b - wskazuje punkt przecięcia z osią OY (0,b) b= -4 y=2x+2 b= -10 y=2x- 4 y=2x-10 Współczynnik kierunkowy a=2 wskazuje kąt nachylenia prostej do osi OX. (ten sam kąt - proste są równoległe) y=2x

Monotoniczność funkcji liniowej y = ax+b Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy a jest dodatni. np. y=2x+2 rosnąca a>0 Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy a jest ujemny. np. y= -2x+2 stała a=0 Funkcja liniowa jest stała, gdy współczynnik kierunkowy a wynosi 0. np. y=0x -2=-2 malejąca a<0 *

Miejsce zerowe funkcji liniowej y = ax+b Miejscem zerowym funkcji jest argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0. Wartość funkcji wynosi 0 y = 0 y = 4x +5 Liczymy argument xo = ? 1,25 A= ( 1,25; 0) y = 4x - 5 0 = 4x - 5 4x = 5 x = 5/4 x = 1,25 X0 = 1,25 miejsce zerowe *

- - Wartości funkcji liniowej y = ax+b JAKIE WARTOŚCI ? JAKIE ARGUMENTY? y = x + 1 DODATNIE - UJEMNE - xo = -1 jest miejscem zerowym funkcji. Dla x > -1 wartości funkcji są dodatnie. Dla x< -1 wartości funkcji są ujemne. *

y = ax, b=0 Przykłady wielkości wprost proporcjonalnych Przykładem funkcji liniowej jest proporcjonalność prosta Wykres jest prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych y = ax, b=0 Wielkości x i y nazywamy wprost proporcjonalnymi Przykłady wielkości wprost proporcjonalnych y=4x, x-długość boku y-obwód kwadratu y=¶x, x-średnica okręgu y-długość okręgu y=nx, x-długość boku wielokąta foremnego y-obwód wielokąta n- liczba boków y=kx, x-ilość towaru y- wartość towaru k- cena towaru s=vt, t-czas, s-droga, v prędkość w ruchu jednostajnym *

PRZYKŁADY FUNKCJI nieliniowych

PROPORCJONALNOŚĆ ODWROTNA FUNKCJA KWADRATOWA Jest to funkcja opisana wzorem y = ax2 + b, gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi i ao. PROPORCJONALNOŚĆ ODWROTNA Jest to funkcja opisana wzorem y = a /x gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0. MODUŁ LICZBY Jest to funkcja opisana wzorem y = | ax+ b | gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Wykresem proporcjonalności odwrotnej jest hiperbola x a = x•y współczynnik proporcjonalności x y a0 x i y nazywamy wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Przykładem wielkości odwrotnie proporcjonalnych są długości zmieniających się boków prostokąta przy stałym polu. P =x•y x,y -długości boków. *

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola 3 b=10 2 a<0 b=-5 4 a>0 1 y= 2x2 y = -2x2 y = 2x2 +10 y = 2x2 -5 *

Moduł liczby to inaczej jej wartość bezwzględna. Moduł liczby jest zawsze liczbą nieujemną. Jeżeli każdej liczbie rzeczywistej przyporządkujemy jej moduł, to otrzymujemy funkcję y = x y = x y = x +2 y =  x+2 

Dziękuję za uwagę Koniec pokazu