Rozdział XIV - Ubezpieczenia życiowe 14.1 Oprocentowanie proste – stopa stała 14.2 Oprocentowanie proste – stopa zmienna 14.3 Oprocentowanie składane – stopa stała 14.4 Oprocentowanie składane – stopa zmienna

Rozdział XIV – Ubezpieczenia życiowe Wstęp Ubezpieczenia życiowe istnieją od czasów starożytnych. Od tego czasu z prostych ubezpieczeń tylko na życie przeobraziły się w specyficzny instrument finansowy, spełniający bardzo ważną rolę w ekonomii danego kraju. W ramach indywidualnych ubezpieczeń wyróżnia się ubezpieczenia z udziałem w zysku ubezpieczenia bez udziału w zysku. Ubezpieczenie terminowe na życie – jest typowym ubezpieczenie na wypadek śmierci. Okres spłacania składek jest taki sam jak okres trwania umowy ubezpieczenia. Ubezpieczenie na dożycie – jest to typowe ubezpieczenie oszczędnościowe polegające na periodycznej opłacie składki w ciągu okresu ubezpieczenia, a po tym okresie – na wypłacie ubezpieczonemu sumy ubezpieczenia. Celem ubezpieczenia na życie i dożycie ( ubezpieczenia mieszanego)-jest stworzenie ubezpieczonemu zabezpieczenia finansowego umożliwiającego utrzymanie poziomu życia w wieku emerytalnym, przy jednoczesnym zapewnieniu materialnego wsparcia rodziny ubezpieczonego na wypadek jego przedwczesnej śmierci.

14.1 Oprocentowanie proste – stopa stała Ubezpieczenie na wypadek śmierci OZNACZENIA: P n – prawdopodobieństwo wpłaty składki w terminie „n” Q n – prawdopodobieństwo wypłaty w terminie „n” Algorytm wyznaczania „P n”- wpłat Dane: p(1/ 0), p (1/1), ..., p(1/N-1) Wyznaczyć: P0 , P1 , ..., P n ,..., PN-1 P0 =1 P1 = P0· p (1/0) P2 = P1 · p (1/1) P3 = P2 · p (1/2) P n = P n-1 · p (1/ n-1) ( 14.1 ) Dla : n = 1, ...., N-1 P0 = 1

Algorytm wyznaczania „Q n” - wypłat Dane: P0,P1,...,P n,...,PN-1 Wyznaczyć: Q1,, Q2 ,..., Q n ,..., QN Q1 = P0 · q (1/0) Q2 = P1 · q (1/1) Q n = P n-1 · q (1/n-1) ( 14.2) Dla : n -1,…,N P0 =1

Zasada równoważności kapitału: Suma prawdopodobnych i zdyskontowanych składek równa się sumie prawdopodobnych i zdyskontowanych wypłat. (14.3)

14 .2 Oprocentowanie proste – stopa zmienna Ubezpieczenie posagowe 1. Przebieg ubezpieczenia posagowego a) w przypadku gdy ubezpieczone dziecko dożyje wieku określonego w umowie ubezpieczenia Osiągnięcie przez dziecko wieku określonego w umowie Zawarcie umowy ubezpieczenia Wypłata sumy ubezpieczenia Czas

- wypłata świadczenia ubezpieczeniowego b) w przypadku, gdy ubezpieczone dziecko umrze przed osiągnięciem wieku określonego w umowie ubezpieczenia Czas Zwrot składek Osiągnięcie przez dziecko wieku określonego w w umowie ubezpieczenia Zawarcie umowy ubezpieczenia Legenda: -składka ubezpieczeniowa - wypłata świadczenia ubezpieczeniowego - zgon ubezpieczonego

Model matematyczny ubezpieczenia posagowego p1(1/n) – prawdopodobieństwo przeżycia roku n- tego przez osobę fundującą posag p1(1/n) = p1(1/0) +n * delta p1 ( zmieniane prawdopodobieństwo) p2(1/n) - prawdopodobieństwo przeżycia roku n- tego przez osobę otrzymującą posag p2(1/n) = p2(1/0) +n* delta p2 ( zmieniane prawdopodobieństwo) q1(1/n) = 1-p1(1/n) - prawdopodobieństwo nie przeżycia roku n- tego przez osobę fundującą posag q2(1/n) = 1- p2(1/n) – prawdopodobieństwo nie przeżycia roku n- tego przez osobę otrzymującą P10 = 1 P1n = P1n-1* p1 ( 1 /n - 1) P20 = 1 P2n = P2n-1* p2 ( 1/ n - 1) Q1n = P1n-1 * q1 (1 /n - 1) Q2n = P2n-1 * q2 ( 1/ n - 1)

Wzór na prawdopodobieństwo wypłaty w n- tym roku jest następujący: Q n = Q1n * P2n (14.4) (osoba fundująca posag umiera, osoba otrzymująca posag żyje) Wzór na dyskonto: D(0,n) = 1 + r1 +,..., r n (14.5) Zasada równoważności kapitału: (14.6) Prawdopodobna suma przychodów (składek) = prawdopodobnej sumie kosztów (wypłat).

14 .3 Oprocentowanie składane – stopa stała Ubezpieczenie na życie z funduszem inwestycyjnym W oprocentowaniu składanym procent za dany okres jest liczony od kapitału udostępnionego na ten okres t.z.n. procent za pierwszy okres jest liczony od kapitału początkowego, a procent za drugi okres od sumy kapitału początkowego i procentu za pierwszy okres. Oznaczenia: Fn – przyszła wartość kapitału P – udostępniony kapitał na pierwszy okres r – stopa procentowa In – procent n - kolejny okres N –ilość okresów N=2 Procent za pierwszy okres wynosi: (14.7) I1 = P * r

Przy czym kapitał za pierwszy okres wynosi: F1 = P + I1 (14.8) F1 = P + (P * r) = P * (1 + r) (14.9) Procent za drugi okres wynosi: I2 = F1 * r (14.10)

Natomiast kapitał za drugi okres wynosi: F2 = F1 + I2 = F1 + F1 * r = F1 * (1 + r) (14.11) F2 = P * (1 + r) * (1 + r) = P * (1 + r)2 (14.12) Zatem ze wzoru (14.7) i (14.10) wynika wzór na procent za dowolny n- ty okres t.j. I2 = P * ( 1 + r) * r (14.13) Wzór ogólny jest następujący: In = P * ( 1+ r)n-1 * r (14.14)

Składka przeznaczona na inwestycję: Wartość kapitału po N latach obliczamy analogicznie wg wzoru (14.7) i ( 14.2) FN = P * ( 1 +r)N (14.15) Składka przeznaczona na inwestycję: Składkę S n mnożymy przez wskaźnik alokacji X, otrzymując wartość składki przeznaczoną na inwestycje. In = S n * X (14.16) Składkę na ochronę U n , liczymy ze wzoru: Un = Sn * (1 -X) (14.17)

W celu wyznaczenia składki S n przy założonej sumie ubezpieczenia W n ,lub wyznaczania sumy ubezpieczenia W n przy założonej wartości składki S n wprowadzamy czynnik dyskontujący C n dla dyskonta składnego. C n = C n-1 * ( 1 + r) (14.18) gdzie C0 =1 Suma zdyskontowanych składek U n , pomnożonych przez prawdopodobieństwo przeżycia absolutne p n , oraz suma zdyskontowanej sumy ubezpieczenia W n pomnożona przez prawdopodobieństwo śmierci absolutne q n muszą być równe. (14.19)

C n In = ( 1+ q r o) (N-n) Cm n = ( 1+ q r o) n Analizę składki na część inwestycyjną przeprowadzono jako ciąg płatności In . W celu obliczenia wartości końcowej składki In zaktualizowanej na moment n= N, wyznaczamy czynnik pomocniczy C n/n ze stopą procentową inwestycji q r o . C n In = ( 1+ q r o) (N-n) (14.20) Wartość końcową JN obliczamy poprzez oprocentowanie wg wzoru: JN = In * C n In = In * ( 1 + q r o) (N-n) (14.21) W celu prześledzenia kształtowania się wartości składki In w kolejnych latach m., ( m. – liczba lat) J m. In wyznaczymy czynnik pomocniczy oprocentowania C m. n Cm n = ( 1+ q r o) n (14.22)

Wartość J m. In obliczymy według wzoru: JmIn = In * ( 1 + qro)n (14.23) Wysokość funduszu inwestycyjnego w roku m. jest sumą funduszy J m IN . J m = J m. In + J m. I n+1 + ,...,+J m. I N (14.24) Po wykonaniu powyższych obliczeń można określić wysokość świadczenia, które powinno być wypłacone w przypadku zaistnienia zdarzenia. Wysokość świadczenia jest sumą sumy ubezpieczenia W n i wysokością funduszu inwestycyjnego J m In . F m = W n + J m (14.25) Wysokość świadczenia jest sumą sumy ubezpieczenia Wn i wysokością funduszu inwestycyjnego JmIn .

14.4 Oprocentowanie składane – stopa zmienna Ubezpieczenie na życie. 1. Model matematyczny Rys (8) Ubezpieczenie na życie - oprocentowanie składane - stopa zmienna

Oznaczenia: 1.1 Tabele długości życia: S n – składka w n- tym okresie, W n – wypłata w n- tym okresie, N - okres P n – prawdopodobieństwo przeżycia n- tego okresu, Q n - prawdopodobieństwo nie przeżycia n- tego okresu, 1.1 Tabele długości życia: Wyznaczyć: P n oraz Q n p(1/0) p(1/1) p(1/2) p(1/n) p(1/N-1) N=100;

Wykonujemy obliczenia: q(1/0) =1-p(1/0) q(1/1)=1-p(1/1) q(1/2) =1-p(1/2) ………………… q(1/n)=1-p(1/n) q(1/N-1)=1-p(1/N-1) (14.26) P n = ? Prawdopodobieństwo przeżycia n- tego okresu. P0 = 1 P1= P0*p(1/0) P2=P1*p(1/1) ....................... P n=P n-1*p(1/n-1) ........................... PN-1=P n-2*(1/N-2) (14.27)

Q n =? Prawdopodobieństwo nie przeżycia n- tego okresu. Q1 =Q0 *q(1/0) Q2 =Q1 *q(1/1) …………………… Q n =Q n-1 * q(1/n-1) QN=Q n-1*q(1/N-1) (15.28)

Zasada równoważności kapitału E (x) = p1* x1 +,...,+ pN * xN Es = P0 * s0 +P1 * s1 +,....,+ PN-1 * sN-1 (14.29) (15.30) ES = EW

1.3 Wskaźnik dyskontowania ( oprocentowanie składane, stopa zmienna) D(0,N) = (1 + r1)*....*(1 + rN) (14.31) 1.4 Ubezpieczenia na życie ze składkami ratalnymi: Podane: VN (14.32) Celem ubezpieczenia na życie -jest stworzenie ubezpieczonemu zabezpieczenia finansowego umożliwiającego utrzymanie poziomu życia w wieku emerytalnym, przy jednoczesnym zapewnieniu materialnego wsparcia rodziny ubezpieczonego na wypadek jego przedwczesnej śmierci.