Teoria Gier a Ekonomia – Problem Duopolu Karolina Treder Kamila Zielińska

Teoria gier jako narzędzie ekonomii XX i XXI wieku Jednym z narzędzi, które znalazło w XX wieku szerokie zastosowanie w ekonomii, jest teoria gier. W mikroekonomii teoria gier znalazła swoje zastosowanie między innymi do analizy takich modeli konkurencji jak Cournota (model konkurencji ilościowej), Bertranda (model konkurencji cenowej), równowadze Nasha.

Proste modele dydaktyczne Model Cournota można przedstawić za pomocą ekstensywnej formy gry sekwencyjnej Na każdym etapie firmy wybierają wariant dla siebie najlepszy i po pewnym czasie dochodzą do poziomu produkcji odpowiadającemu punktowi równowagi w modelu Cournota.

Proste modele dydaktyczne Jest to jednocześnie kombinacja odpowiadająca tzw. równowadze Nasha. W modelu Cournota firmy dążą do zwiększania zysku i udziału w rynku, nie musi to jednak zagrażać konkurencji. w modelu tym podstawowe narzędzie konkurowania stanowiło dostosowywanie wielkości produkcji.

Pojęcie duopolu Nazwą duopol określa się stan, w którym dwaj producenci kontrolują łącznie cały rynek jakiegoś produktu, zaś problem duopolu polega na określeniu wysokości produkcji, przy której producent osiąga największy zysk. W prezentacji porównamy cztery różne „rozwiązania” problemu duopolu

Oznaczenia qi - wielkość produkcji (w tysiącach sztuk) producenta i (i = 1,2) ACi - średni koszt (w dolarach) wyprodukowania jednej sztuki przez producenta i TCi = qi x ACi - łączne koszty produkcji (w tysiącach dolarów) producenta i

Oznaczenia MCi = d(TCi)/dqi - koszt krańcowy, koszt (na jedną sztukę) nieznacznego zwiększenia produkcji przez producenta i p - cena sprzedaży jednej sztuki produktu Pi = qi x pi – TCi - zysk producenta i w tysiącach dolarów

Koszty produkcji Średni koszt wyprodukowania jednej sztuki zależy od wielkości produkcji; w naszej prezentacji przyjmiemy, że określają go następujące funkcje: AC1 = 64 - 4q1 + q12 AC2 = 80 - 4q2 + q22

Koszty produkcji AC2 AC1 Średni koszt produkcji na sztukę wielkość produkcji (w tys. sztuk)

Koszty produkcji Dla obu firm średni koszt produkcji wraz z jej wzrostem początkowo maleje dzięki efektywniejszemu wykorzystywaniu zasobów firmy, osiągając minimum w punkcie q = 2, po czym zaczyna wzrastać, gdy zwiększanie produkcji wymaga dodatkowego kapitału i zwiększenia zatrudnienia. Producent 1 jest bardziej wydajny niż Producent 2. Niezależnie od wielkości produkcji, ma koszty produkcji niższe o 16 dolarów na jednej sztuce.

Koszty krańcowe Najpierw obliczamy łączne koszty produkcji: TC1 = q1 x AC1 = = q1 x (64 - 4q1 + q12) = = 64q1 - 4q12 + q13 TC2 = q2 x AC2 = = q2 x (80 - 4q2 + q22) = = 80q2 - 4q22 + q23

Koszty krańcowe MC1 = d(TC1)/dq1 = = (64q1 - 4q12 + q13)`= Teraz różniczkujemy łączne koszty produkcji i otrzymujemy koszty krańcowe: MC1 = d(TC1)/dq1 = = (64q1 - 4q12 + q13)`= = 64 - 8q1 + 3q12 MC2 = d(TC2)/dq2 = =(80q2 - 4q22 + q23)` = 80 - 8q2 + 3q22

Zysk producentów p = 160 – 8(q1+q2) Aby wyznaczyć wzory na zysk producentów, przyjmiemy następujące założenie co do relacji pomiędzy całkowitą wielkością produkcji a możliwą do uzyskania cena jednej sztuki produktu: p = 160 – 8(q1+q2)

Zysk producentów p = 160 – 8(q1+q2) Analizując wzór, możemy stwierdzić, że jeżeli podaż jest bardzo mała, to jedną sztukę można sprzedać za 160$. Jednak gdy produkcja wzrasta i rynek się nasyca, sprzedaż wszystkiego, co się wyprodukowało, możliwe jest dopiero po obniżeniu ceny.

Zysk producentów Mając wzór na cenę sprzedaży jednej sztuki produktu, obliczamy zysk producentów: P1 = q1 x p1 – TC1 = = q1(160-8q1-8q2) - (64q1-4q12+q13) = = 96q1 - 4q12 - q13 - 8q1q2 P2 = q2 x p2 – TC2 = = q2(160-8q1-8q2) - (80q2-4q22+q23) = = 80q2 – 4q22 - q23 - 8q1q2

Każdy z producentów dąży do osiągnięcia takiego poziomu produkcji qi , który zmaksymalizuje jego zysk Pi. Naszym zadaniem jest zrozumienie mechanizmów, dzięki którym przedsiębiorstwa mogą dojść do zysku maksymalnego. Musimy uwzględnić fakt, że poziom zysków zależy nie tylko od działań firmy, ale także od wielkości produkcji jej konkurenta; we wzorze ta zależność zawarta jest w wyrazie -8q1q2 . Mamy zatem do czynienia z grą. Rozważymy cztery różniące się poziomem złożoności strategie firm znajdujących się w takiej sytuacji.

Klasyczna równowaga rynkowa Pierwsze podejście do problemu jest klasyczne w ekonomi choć całkowicie niestrategiczne. Obie firmy na początku produkują niewielkie ilości towaru, a następnie powoli zwiększają produkcję aż do momentu, gdy koszt wyprodukowania dodatkowej sztuki równy jest cenie, którą można za nią uzyskać. Innymi słowy, firma tak długo zwiększa produkcję, dopóki koszt krańcowy nie osiągnie wartości możliwej do osiągnięcia ceny sprzedaży. Sytuację taką nazywamy klasyczną równowagą rynkową;

Klasyczna równowaga rynkowa Wielkość produkcji w momencie równowagi rynkowej można znaleźć, rozwiązując równanie: MC1 = p = MC2 czyli 64–8q1+3q12 = 160-8q1-8q2 = 80-8q2+3q22

Klasyczna równowaga rynkowa Równanie sprowadza się do układu równań: 8q2 = 96 – 3q12 8q1 = 80 – 3q22 Rozwiązaniem układu jest para liczb: q1 = 4,69 oraz q2 = 3,76 Przy takim poziomie produkcji w obu firmach cena sprzedaży wynosi 92$ za sztukę, a zyski odpowiednio: P1=118, P2=50

Klasyczna równowaga rynkowa Klasyczna równowaga rynkowa jest rozwiązaniem problemu duopolu o tyle naiwnym, że nie uwzględnia faktu, iż wielkość produkcji obu producentów wpływa na cenę produktu. Gdyby produkcja była mniejsza, cena byłaby wyższa więc możliwe jest, że pozwoliłoby to osiągać większe zyski. Sytuację tę przedstawimy jako grę dwuosobową pomiędzy Producentem 1 a Producentem 2.

Gra dwuosobowa (zysk w tysiącach $) q1 q2 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 136, 104 128, 119 120, 129 112, 132 104, 128 159, 96 149, 109 139, 117 129, 118 119, 112 177, 88 165, 99 153, 105 141, 104 129, 96 188, 80 174, 89 160, 93 146, 90 132, 80 192, 72 176, 79 160, 81 144, 76 128, 64 4,5 188, 64 170, 69 152, 69 134, 62 116, 48 5,0 175, 56 155, 59 135, 57 115, 48 95, 32 (zysk w tysiącach $)

Gra dwuosobowa Jak widać, nie jest to gra o sumie zerowej. Punkt klasycznej równowagi rynkowej znajduje się w prawej dolnej ćwiartce tabeli; zauważmy, że obaj producenci rzeczywiście mogą podnieść swoje zyski, ograniczając produkcję.

Równowaga Nasha Aby sprawdzić czy zyski mogą być większe przeanalizujemy diagram przesunięć. Gra ma jedną równowagę Nasha, gdzieś w pobliżu punktu q1 = 3,75, q2 = 3. Producent 2 2 2,5 3 3,5 4 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Producent 1

Równowaga Nasha Dokładne położenie równowagi Nasha możemy znaleźć wykorzystując fakt, że jest to punkt, w którym żaden z graczy nie może zwiększyć swojego zysku Pi poprzez zmianę qi. Rozwiążemy ten problem za pomocą układu równań, tzn. przyrównamy pochodne zysków producentów (odpowiednio P1, P2 po zmiennych q1,q2) do zera.

{ Równowaga Nasha 96 - 8q1 - 3q12 - 8q2 = 0 ∂P1/∂q1 = (96q1-4q12-q13-8q1q2)`= = 96 - 8q1 - 3q12 - 8q2 ∂P2/∂q2 = (80q2-4q22-q23-8q1q2)`= = 80 - 8q2 - 3q22 - 8q1 96 - 8q1 - 3q12 - 8q2 = 0 80 - 8q2 - 3q22 - 8q1 = 0 Rozwiązaniem są:q1=3,75, q2=2,96. Wtedy cena wyniesie 106$, a zyski P1=162, P2=87. To rozwiązanie w ekonomii nosi nazwę równowagi Cournota. {

Równowaga Nasha - Cournouta Teraz zobaczmy jak przedstawiają się wypłaty na wykresie. Będą do tego potrzebne wypłaty Producenta 1 i 2. Zobaczmy jak się one przedstawiają w tabelkach:

Wypłaty Producenta 1 q1 q2 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 136 128 120 112 104 159 149 139 129 119 177 165 153 141 188 174 160 146 132 192 176 144 4,5 170 152 134 116 5,0 175 155 135 115 95

Wypłaty Producenta 2 q1 q2 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 104 119 129 132 128 96 109 117 118 112 88 99 105 80 89 93 90 72 79 81 76 64 4,5 69 62 48 5,0 56 59 57 32

Pary wypłat w grze duopolu zbiór negocjacyjny klasyczna równowaga rynkowa punkt gróźb Nasha równowaga Cournouta P2 rozwiązanie arbitrażowe Nasha P1

Równowaga Nasha-Cournota w tej grze nie jest paretooptymlna, co łatwo zobaczymy na wykresie - obie firmy zyskałyby na wzajemnej kooperacji. Jeżeli dopuścimy kooperację, możemy wyznaczyć rozwiązanie arbitrażowe Nasha - znajduje się ono w punkcie q1 = 3,30, q2 = 2,40, przy cenie 114$ i zyskach P1 = 174, P2 = 91 -jest to wynik dla obu producentów korzystniejszy niż równowaga Nasha-Cournota.

Zauważmy, że zwiększenie zysków osiągnięto dzięki obniżeniu produkcji z 6,7 (przy równowadze niekooperacyjnej) do 5,7 (w rozwiązaniu kooperacyjnym), co skutkuje wzrostem ceny ze 106 do 114$. Kooperacja w warunkach duopolu, z reguły polegająca na zmniejszeniu produkcji i podniesieniu cen, jako niekorzystna dla konsumentów jest często nazywana „zmową producentów" i prawnie zakazywana.

Wypłaty uboczne Ostatnia sytuacją, którą rozpatrzymy będą wypłaty uboczne. W takiej sytuacji firmy mogą osiągnąć jeszcze wyższy zysk przy q1 = 3,66, q2 = 1,66, kiedy łączny zysk obu firm wynosi 269 (P1=200, P2=69). Jeśli Producent 1 przekaże Producentowi 2 wypłatę uboczną w wysokości 24 (a więc zyski obu firm będą wynosiły odpowiednio 176 i 93).

Wypłaty uboczne Zarówno Producent 1, jak i Producent 2 uzyskają większy zysk niż przy rozwiązaniu arbitrażowym Nasha. Oczywiście, znowu odbywa się to kosztem dalszego zmniejszania produkcji i podniesienia cen do wysokości 117$. Przekazywanie wypłat ubocznych pomiędzy producentami jest z reguły nielegalne.

Podsumowanie Na koniec podsumujmy wszystkie omawiane przez nas rozwiązania problemu duopolu, razem z sytuacjami, gdy jedna z firm ma monopol i w tej sytuacji maksymalizuje swoje zyski. Omówimy dwa punkty widzenia: Producentów, Konsumentów

Podsumowanie Z punktu widzenia producentów, rozwiązania można uporządkować od najbardziej do najmniej korzystnego: monopol kooperacja z wypłatami ubocznymi kooperacja bez wypłat ubocznych niekooperacyjna równowaga w grze klasyczna równowaga rynkowa Z punktu widzenia konsumenta uporządkowanie jest odwrotne.

Podsumowanie Rozwiązanie q1 q2 P1 P2 cena klasyczna równowaga rynkowa 4,69 3,76 118 50 92 równowaga Nasha (Cournota) 3,75 2,96 162 87 106 rozwiązanie arbitrażowe Nasha 3,3 2,4 173 91 114 rozwiązanie z wypłatami ubocznymi 3,66 1,66 176 93 117 Monopol Producenta 1 4,48 - 260 124 Monopol Producenta 2 4,00 192 128

Ćwiczenia Zad.1 Sprawdź, że q1 = 4,69 i q2=3,76 jest (w przybliżeniu) rozwiązaniem równania MC1 = p = MC2 , oraz że dla tych wartości p=92, P1=118, P2=50 Rozwiązanie: MC1 = 64 - 8q1 + 3q12 MC2 = 80 - 8q2 + 3q22 p = 160 – 8(q1+q2) czyli 64–8q1+3q12 = 160-8q1-8q2 = 80-8q2+3q22

Ćwiczenia Otrzymujemy układ równań: 8q2 = 96 – 3q12 (1) Wstawiamy do układu q1=4,69, q2=3,76 8 * 3,76 = 96 – 3 * (4,69)2 30,08 = 96 – 65,99 30,08 = 30,01

Ćwiczenia 8 * 4,69 = 80 – 3 * (3,76)2 37,52 = 80 – 42,41 37,52 = 37,59 Granica błędu (= 0,7 ) spowodowana jest tym, że są to wartości przybliżone Sprawdźmy czy p=92, P1=118, P2=50 p = 160 – 8(q1+q2), zatem p = 160 – 8(4,69 + 3,76 ) = 160 – 67,6 = 92,4

Ćwiczenia P1 = 96q1 - 4q12 - q13 - 8q1q2 P2 = 80q2 – 4q22 - q23 - 8q1q2 zatem P1 = 96* 4,69 – 4*(4,69)2 – (4,69)3 – 8* 4,69*3,76 = 450,24 – 87,98 – 103,16 – 141,08 = 117,42 P2 = 80*3,76 – 4*(3,76)2 – (3,76)3 – 8*4,69*3,76 = 300,8 – 56,55 – 53,16 – 141,08 = 50,01

Ćwiczenia Zad.2 Sprawdź, że q1=3,75 i q2=2,96 jest (w przybliżeniu) rozwiązaniem ∂P1/∂q1 = 0 = ∂P2/∂q2 . Oraz że dla tych wartości p=106 , P1=162, P2=87 Rozwiązanie: ∂P1/∂q1 = 96 - 8q1 - 3q12 - 8q2 = 0 ∂P2/∂q2 = 80 - 8q2 - 3q22 - 8q1= 0

Ćwiczenia Wstawiamy q1=3,75 i q2=2,96 = 80 – 23,68 – 26,28 – 30 = 0,04 ∂P1/∂q1 = 96 - 8*3,75 – 3*(3,75)2 – 8*2,96 = 96 – 30 – 42,19 – 23,68 = 0,13 ∂P2/∂q2 = 80 – 8*2,96 – 3*(2,96)2 – 8*3,75 = 80 – 23,68 – 26,28 – 30 = 0,04 Sprawdźmy czy p=106, P1=162, P2=87 p = 160 – 8(q1+q2) , zatem p = 160 – 8(3,75 + 2,96) = 160 – 53,68 = 106,32

Ćwiczenia P1 = 96q1 - 4q12 - q13 - 8q1q2 P2 = 80q2 – 4q22 - q23 - 8q1q2 zatem P1 = 96*3,75 – 4*(3,75)2 – (3,75)3 – 8*3,75*2,96 = 360 – 56,25 – 52,73 – 88,8 = 162,22 P2 = 80*2,96 – 4(2,96)2 – (2,96)3 – 8*3,75*2,96 = 236,8 – 35,05 – 25,93 – 88,8 = 87,02