Wykład no 9 sprawdziany: 2-06-2006

Zadanie 1: Wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji f(t)=Ume-α|t|, gdzie α>0. i mamy:

Podstawiając at=x mamy adt=dx czyli dt=dx/a i dla a>0 mamy: Zadanie 2: Jeżeli transformata Fouriera funkcji u(t) jest U(ω), to jaka jest transformata Fouriera funkcji: u(at). Niech wtedy: Podstawiając at=x mamy adt=dx czyli dt=dx/a i dla a>0 mamy:

łącząc obie równości mamy: dla a<0 mamy: łącząc obie równości mamy: Zadanie 3: Jeżeli transformata Fouriera funkcji u(t) jest U(ω), to czemu jest równa transformata Fouriera funkcji: u(t-t0). Jeżeli , to

Dowód: ostatecznie: Zadanie 4: Podać definicję pasma 3dB.

dolnoprzepustowy |U| pasmowy Um U3dB ω ωp ωp

Modulacją nazywamy proces, w którym pewien Zadanie 5: Jaką modulację nazywamy modulacją ciągłą? Modulacją nazywamy proces, w którym pewien parametr fali nośnej jest zmieniany zgodnie z sygnałem informacyjnym (falą modulującą) Najczęściej jako falę nośną stosuje się przebieg sinusoidalny i w tym przypadku modulację nazywamy modulacją ciągłą

Modulator przełączajacy Zadanie 6: Opisać działanie prostego modulatora przełączającego. Modulator przełączajacy c(t)=Accos(2πfct) u1(t) R1 m(t) u2(t) Przyjmujemy diodę idealną o rezystancji w kierunku przewodzenia Rd i dobieramy R1>>Rd wtedy:

u2 π/4 u1 Jeżeli |m(t)|<<Ac, to napięcie u2(t) opisuje zależność: co można krótko zapisać:

gdzie funkcja g(t) reprezentuje falę prostokątną o okresie Tc=1/fc i połówkowym współczynniku wypełnienia g(t) c(t) Tc

reprezentuje pożądany zmodulowany amplitudowo Szereg Fouriera funkcji g(t) jest: i podstawiając mamy: Składnik: reprezentuje pożądany zmodulowany amplitudowo sygnał

zawartą w widmie: funkcje δ[(fc -2nfc)], gdzie n=1,2,... resztę: zawartą w widmie: funkcje δ[(fc -2nfc)], gdzie n=1,2,... i δ(0) eliminujemy za pomocą filtru środkowoprzepustowego o częstotliwości środkowej fc i szerokości 2W.

Prosty demodulator zwany detektorem obwiedni Zadanie 7: Podać schemat prostego demodulatora. Prosty demodulator zwany detektorem obwiedni Rs R uwyj(t) C s(t)

fala modulujaca m(t) fala zmodulowana s(t) fala nośna c(t) Zadanie 8: Podać schemat modulatora pierścieniowego. Modulator pierścieniowy a b fala modulujaca m(t) fala zmodulowana s(t) c d fala nośna c(t)

m(t) t c(t) t

s(t) t Rozwinięcie prostokątnej fali nośnej ma postać: Sygnał wyjściowy modulatora pierścieniowego

ma postać: Jeżeli widmo sygnału m(t) ma szerokość 2W, to widmo sygnału s(t) jest: S(f) filtr środkowo- przepustowy -fc -3fc fc f 3fc 2W Jeżeli fc>W, to nie ma nakładania się wstęg bocznych

Modulator iloczynowy Filtr dolno- przepustowy Oscylator lokalny Zadanie 9: Na czym polega detekcja koherentna i gdzie jest stosowana? Detekcja koherentna Sygnał modulujący m(t) może zostać odzyskany z fali zmodulowanej s(t) gdy pomnożymy przez lokalnie wygenerowaną falę sinusoidalną: Modulator iloczynowy Filtr dolno- przepustowy v(t) v0(t) s(t) Oscylator lokalny

V(f) 0.5AdAcM(0)cos 2W 2fc -2fc f

Jeżeli =0, to sygnał wyjściowy proporcjonalny do m(t) natomiast dla =π/2 sygnał wyjściowy jest równy zeru przypadek =π/2 nazywamy efektem zera kwadraturowego Niestety faza zmienia się losowo co powoduje kłopoty z detekcją i dlatego należy zadbać aby lokalny generator był w synchronizmie zarówno jeżeli chodzi o częstotliwość jak i fazę z falą nośną nadajnika

stosowany dla demodulacji fal DSB-SC Odbiornik Costasa stosowany dla demodulacji fal DSB-SC kanał I 0.5Accosm(t) modulator iloczynowy filtr dolno- przepustowy cos(2πfct+) oscylator sterowany napięciem dyskrymi- nator fazy DSB-SC Accos(2πfct)m(t) przesuwnik fazy - 900 sin(2πfct+) modulator iloczynowy filtr dolno- przepustowy 0.5Acsinm(t) kanał Q

Detektor kanału I jest nazywany detektorem koherentnym synfazowym a detektor kanału Q detektor koherentny kwadraturowy Jeżeli =0, to sygnał wyjściowy jest 0.5Acm(t) w kanale I oraz zero w kanale Q. Jeżeli nastąpi odchylenie od =0, to dla małych kątów  mamy sin≈ i pojawia się proporcjonalny do  sygnał w kanale Q co jest wykorzystane do sterowania oscylatora sterowanego napięciem.

kf – czułość częstotliwościowa modulatora Zadanie 10: Na czym polega modulacja częstotliwości? kf – czułość częstotliwościowa modulatora Biorąc pod uwagę, że mamy: Sygnał zmodulowany częstotliwośiowo ma postać:

Generacja sygnałów modulowanych częstotliwościowo Dwie podstawowe metody: pośrednia, bezpośrednia. Uproszczony schemat pośredniej metody modulacji FM Powielacz częstotliwości Sygnał z pasma podstawowego Wąskopasmowy modulator fazy sygnał FM oscylator sterowany kwarcem

Przykładowy schemat blokowy generacji wąskopasmowego sygnału FM

Zakładając sygnał fali modulującej w postaci: m(t)=Amcos(2πfmt) częstotliwość chwilowa fi(t) sygnału FM jest: gdzie Δf=kfAm – dewiacja częstotliwości Kąt Stosunek jest nazywany wskaźnikiem modulacji czyli

i sygnał FM ma postać: Modulacja wąskopasmowa β<1 radiana i mamy: ale jeżeli β<1, to i czyli w przypadku modulacji wąskopasmowej sygnał s(t) fali zmodulowanej częstotliwościowo możemy zapisać w postaci

czyli szerokość pasma będzie podobnie jak dla modulacji amplitudy Sygnał możemy zapisać: Wynik jest podobny do wyniku dla modulacji amplitudy: czyli szerokość pasma będzie podobnie jak dla modulacji amplitudy równa 2fm Dla uniknięcia resztkowej modulacji amplitudy β<0.3

Następnie sygnał FM zostaje powielony: Wąskopasmowy modulator fazy Powielacz częstotliwości Sygnał z pasma podstawowego sygnał FM oscylator sterowany kwarcem Powielacz częstotliwości jest realizowany w schemacie blokowym:

który składa się z bezinercyjnego elementu nieliniowego, czyli Częstotliwość środkowa f0 filtru środkowoprzepustowego jest ustawiona na nfc, a więc na wyjściu filtru mamy sygnał: Przykład typowego nadajnika FM opartego na metodzie pośredniej użwanego do transmisji sygnałów akustycznych w zakresie od 100Hz do 15kHz, sygnał wyjściowy winien mieć częstotliwość nośną fc=100MHz i minimalna dewiacja częstotliwości Δf=75kHz

Dla zapewnienia modulacji bez zniekształceń przyjmujemy wskaźnik modulacji β1=0.2 radiana, a więc na wyjściu wąsko- pasmowego modulatora fazy mamy Δf1=0.2·100=20Hz, a maksymalna wartość wynosi Δf1=0.2·15=3kHz. Dla dolnej Δf1=20Hz mamy współczynnik zwielokrotnienia częstotliwości: 75kHz/20Hz=3750

Gdyby zastosować jednostopniowy układ to mamy częstotliwość nośną 3750·0.1MHz=375MHz, a naszym celem jest tylko 100MHz. Niech n1 – zwielokrotnienie częstotliwości w stopniu pierwszym a n2 – w drugim. M Mamy: n1n2=3750 Drugi stopień stosuje zmieszanie sygnału o częstotliwości n1f1 z sygnałem o częstotliwości f2=9.5MHz. Częstotliwość na wyjściu mieszacza winna wynosić fc/n2 i porownując mamy: Podstawiając f1=0.1MHz, f2=9.5MHz i fc=100MHz z powyższego układu równań wyznaczamy: n1=75, n2=50

Dewiacja częstotliwość i otrzymujemy: I modulator fazy I powielacz n1=75 Mieszacz wyjście II powielacz n2=50 Częstotliwość nośna 0.1MHz 7.5MHz 2.0MHz 100MHz Dewiacja częstotliwość 20Hz 1.5kHz 75kHz

Bezpośrednia modulacja częstotliwości W systemie bezpośredniej modulacji FM częstotliwość fali nośnej polega zmianom wywoływanym przez sygnał informacyjny Jest to realizowane za pomocą oscylatora sterowanego napięciem Można zrealizować korzystając z generatora Hartley’a warikap

Jeżeli częstotliwość sygnału modulującego jest fm, to czyli częstotliwość generatora jest: gdzie W praktyce i z bardzo dobrym przybliżeniem możemy napisać: gdzie

Dla wygenerowania szerokopasmowego sygnału FM stosuje się układ:

Niestety przedstawiony układ szerokopasmowego modulatora częstotliwości z generatorem sterowanym napięciem ma wadę polegającą na tym, że generator ten nie gwarantuje stabilnej częstotliwości. Stosowane układy ze sprzężeniem zwrotnym i stabilnym generatorem częstotliwości.

Demodulacja sygnałów FM Bezpośrednia demodulacja za pomocą dyskryminatora częstotliwości Dyskryminator częstotliwości składa się z obwodu rezonansowego pracującego na zboczu krzywej rezonansowej, a następnie mamy detektor obwiedni. Charakterystykę amplitudowo-fazową idealnego obwodu LC można przedstawić dla zadanego przedziału częstotliwości: gdzie BT – szerokość pasma, fc – częstotliwość nośna

Charakterystyki można opisać równaniem:

Zastępując obwód rezonansowy równoważnym filtrem mamy: dla f>0 i mamy:

Wejściowy sygnał FM jest: Przy założeniu, że fc>>BT jego obwiednia zespolona ma postać: Transformata Fouriera S1(f) po przejściu przez filtr charaktrystyce Hf(f) jest:

i odwracając transformatę mamy: i podstawiając mamy: a więc rzeczywista funkcja wyjściowa ma postać:

Jeżeli spełniona jest nierówność: dla wszystkich t. Czyli mamy sygnał o obwiedni, którą odtwarzamy za pomocą detektora obwiedni: czyli z dokładnością do stałej daje nam sygnał informacyjny. Dla wyeliminowania składowej stałej stosujemy filtr komplementarny H2(f)=Hf(-f).

i na wyjściu tego filtru mamy sygnał s2(t)

Składając oba sygnały mamy: idealny dyskryminator częstotliwości można zrealizować na bazie dwóch rozstrojonych obwodów rezonansowych. Jest to tzw. zrównoważony dyskryminator częstotliwości

zrównoważonego dyskryminatora częstotliwości Schemat blokowy zrównoważonego dyskryminatora częstotliwości

zrównoważonego dyskryminatora częstotliwości Schemat ideowy zrównoważonego dyskryminatora częstotliwości

Charakterystyka częstotliwościowa zrównoważonego dyskryminatora częstotliwości