FALE Równanie falowe w jednym wymiarze Fale harmoniczne proste Zasada superpozycji Równanie falowe w trzech wymiarach Interferencja

RÓWNANIE FALOWE W JEDNYM WYMIARZE Przykład: drgania poprzeczne struny T(z+Dz) T(z) q(z) q(z+Dz) x z y(z,t) T0 y(z,t) - wychylenie pionowe z położenia równowagi elementu struny Dz w punkcie z w chwili t r0 - gęstość liniowa masy struny Dm= r0 Dz - masa elementu struny T(z) - naprężenie struny w punkcie z przy wychyleniu z położenia równowagi T0 - naprężenie struny w położeniu równowagi Zakładamy, że ruch elementu struny odbywa się tylko wzdłuż osi pionowej Ox.

Ogólna postać równania falowego w jednym wymiarze v - prędkość fali (prędkość fazowa)

FALE HARMONICZNE PROSTE Szczególne rozwiązanie równania falowego w postaci fali biegnącej. A - amplituda l - długość fali - najmniejsza odległość przestrzenna miedzy dwoma punktami, w których w tej samej chwili faza drgań jest jednakowa z dokładnością do 2p. k - liczba falowa (wektor falowy) T - okres fali - czas, po którym faza drgań dowolnego elementu ośrodka wzrośnie o 2p. w- częstość y(z,0) y(0,t) T l Aby y(z,t) było rozwiązaniem równania falowego, musi być spełniona relacja dyspersji Faza Prędkość fazowa - prędkość przemieszczania się stałej fazy

Przykład: fale stojace w jednym wymiarze ZASADA SUPERPOZYCJI Zaburzenie falowe osrodka, pochodzące od układu źródeł, równe jest sumie (wypadkowej) zaburzeń, pochodzących od poszczególnych źródeł. Równanie falowe jest liniowym równaniem różniczkowym cząstkowym, więc kombinacja liniowa niezależnych rozwiązań jest również jego rozwiązaniem. Przykład: fale stojace w jednym wymiarze 2p/k=l t=T/4 t=0.1T t=0.05T t=0 węzeł strzałka t=3T/4

Przykład: prędkość grupowa y(z,t) A(z,t) obwiednia Prędkość grupowa - prędkość przemieszczania się obwiedni = predkości przepływu informacji 2p/dk

RÓWNANIE FALOWE W TRZECH WYMIARACH Zaburzenie, rozchodzące się w przestrzeni trójwymiarowej, opisywane jest wektorem o trzech składowych. Każda ze składowych wektora jest funkcją trzech zmiennych przestrzennych x, y, z i spełnia równanie falowe. Operator Laplace’a (laplasjan) Równanie falowe w trzech wymiarach

Przykład: fale płaskie x l k r Płaszczyzny stałej fazy są prostopadłe do kierunku propagacji danego wektorem falowym k i odległe od siebie o l yx(z,0)

Przykład: polaryzacja fal płaskich x y yx(z,0) Fala płaska spolaryzowana liniowo - drgania zachodzą wzdłuż jednej osi. y yx yy wt Superpozycja dwóch fal płaskich spolaryzowanych liniowo jest w ogólności falą płaską spolaryzowaną eliptycznie - przy ustalonym z=const koniec wektora zaburzenia zakreśla w czasie elipsę. wt A A wt

Przykład: Fale kuliste Zasada Huyghensa: każdy punkt, do którego dociera zaburzenie, staje się źródłem nowej fali kulistej. Zaburzenie wypadkowe jest superpozycją fal kulistych, pochodzących od wszystkich punktów ośrodka. a) b) Natężenie fali kulistej: energia, przepływająca przez jednostkę powierzchni w jednostce czasu Całkowita energia, przepływająca przez powierzchnię zamkniętą, otaczającą źródło fali kulistej, nie zależy od odległości

Q INTERFERENCJA Przykład: Interferencja fal kulistych d y1 y2 P r2 r1 dsinQ Q1,max Q0,max Q2,max Q0,min Q1,min Maksimum interferencyjne Minimum interferencyjne

Maksima interferencyjne d=4l r 2,min=100l Efektywne natężenie Maksima interferencyjne Minima interferencyjne

Interferencja fal kulistych na powierzchni wody (u dołu) i światła przechodzącego przez dwie szczeliny (z prawej)

Przykład: Dyfrakcja fali płaskiej na szczelinie Przy przechodzeniu fali płaskiej przez szczelinę na ekranie ustawionym za wąską szczeliną obserwuje się obraz dyfrakcyjny. Jest on związany z interferencją fal kulistych, wzbudzonych przez padajacą falę płaską, wychodzących z poszczególnych punktów szczeliny (odległość poszczególnych punktów ekranu od poszczególnych punktów szczeliny jest różna, a różnice są rzędu długości fali)