Ilustracja związku dystrybuanty teoretycznej z empiryczną

Opis zadania Dla dystrybuanty F(x), która ma dobrze określoną funkcję odwrotną: losujemy niezależnie liczby u1, u2, . . . , un z rozkładu jednostajnego U [0, 1]; przekształcamy xk = F−1(uk) dla k = 1, 2, . . . , n; przez Sn(x) oznaczamy ilość tych elementów ciągu x1, x2,..., xn, których wartość jest mniejsza niż x. nazywamy dystrybuantą empiryczną. Dla kilku konkretnych przykładów dystrybuant F oraz dla kilku rzędów parametru n porównać (m.in. graficznie) otrzymaną dystrybuantę empiryczną Fn(x) z dystrybuantą teoretyczną F(x).

Dystrybuanta empiryczna a PWL Zauważamy, że Sn oznacza ilość sukcesów w n próbach Bernoulliego, gdzie sukces w i-tej próbie to zdarzenie {Xi < x} , a p=F(x) Zatem Sn ma rozkład Bernoulliego z parametrami n i p=F(x) Możemy zastosować tw. Borela, z którego wynika: Co oznacza, że dla odpowiednio dużego n Fn(x)≈F(x), czyli dystrybuanta empiryczna jest przybliżeniem dystrybuanty teoretycznej

Rozkład wykładniczy n=5 Błąd średniokwadratowy: 0,0210044 Największe odchylenie: 0,324

Rozkład wykładniczy n=20 Błąd średniokwadratowy: 0,00193983 Największe odchylenie: 0,1799

Rozkład wykładniczy n=100 Błąd średniokwadratowy: 0,000781755 Największe odchylenie: 0,0281

Rozkład wykładniczy n=1000 Błąd średniokwadratowy: 1,6035 · 10-7 Największe odchylenie: 0,0006999997

Rozkład Cauchy’ego n=5 Błąd średniokwadratowy: 0,00684262 Największe odchylenie: 0,0965

Rozkład Cauchy’ego n=20 Błąd średniokwadratowy: 7,5326 · 10-5 Największe odchylenie: 0,0381

Rozkład Cauchy’ego n=50 Błąd średniokwadratowy: 0,000646874 Największe odchylenie: 0,0256

Rozkład Cauchy’ego n=100 Błąd średniokwadratowy: 1,43857 · 10-5 Największe odchylenie: 0,0038

Rozkład Cauchy’ego n=1000 Błąd średniokwadratowy: 1,59877 · 10-7 Największe odchylenie: 0,0003999

Rozkład arcsin n=5 Błąd średniokwadratowy: 0,00706723 Największe odchylenie: 0,1878

Rozkład arcsin n=20 Błąd średniokwadratowy: 0,000405924 Największe odchylenie: 0,0442997

Rozkład arcsin n=100 Błąd średniokwadratowy: 0,000122224 Największe odchylenie: 0,0110998

Rozkład arcsin n=500 Błąd średniokwadratowy: 2,54179 · 10-7 Największe odchylenie: 0,0014028

Rozkład arcsin n=2000 Błąd średniokwadratowy: 8,76349 · 10-8 Największe odchylenie: 0,000296098

Rozkład Pareto z param. 2 n=5 Błąd średniokwadratowy: 0,0285624 Największe odchylenie: 0,1733

Rozkład Pareto z param. 2 n=20 Błąd średniokwadratowy: 0,00223757 Największe odchylenie: 0,0477

Rozkład Pareto z param. 2 n=100 Błąd średniokwadratowy: 0,000619006 Największe odchylenie: 0,0249999

Rozkład Pareto z param. 2 n=500 Błąd średniokwadratowy: 4,75187 · 10-5 Największe odchylenie: 0,00690007

Rozkład Pareto z param. 2 n=2000 Błąd średniokwadratowy: 4,00494 · 10-8 Największe odchylenie: 0,000400007

Rozkład kwadratowy n=5 Błąd średniokwadratowy: 0,0262666 Największe odchylenie: 0,183

Rozkład kwadratowy n=20 Błąd średniokwadratowy: 0,00031811 Największe odchylenie: 0,0185

Rozkład kwadratowy n=100 Błąd średniokwadratowy: 2,99292 · 10-6 Największe odchylenie: 0,0173001

Rozkład kwadratowy n=1000 Błąd średniokwadratowy: 4,57001 · 10-9 Największe odchylenie: 0,0021

Wnioski: Gdy liczba prób o rozkładzie, którego dystrybuanta wynosi F(x), dąży do nieskończoności to dystrybuanta empiryczna tych prób dąży do dystrybuanty teoretycznej Niektóre dystrybuanty empiryczne dążą szybciej do odpowiadającym im dystrybuant teoretycznych. Przy odpowiedniej liczbie prób możemy rozpoznać jakiego typu jest przybliżana dystrybuanta

Dziękujemy za uwagę!