Wykład 4 Rozkład próbkowy dla średniej z rozkładu normalnego

Prezentacja na temat: "Wykład 4 Rozkład próbkowy dla średniej z rozkładu normalnego"— Zapis prezentacji:

1 Wykład 4 Rozkład próbkowy dla średniej z rozkładu normalnego
Próba o rozmiarze n z populacji normalnej Obserwujemy średnią próbkową Jak daleko od  może być ? Odpowiemy na to pytanie znajdując rozkład próbkowy .

2 Wyobraźmy sobie wielokrotne powtarzanie próbkowania
Wyobraźmy sobie wielokrotne powtarzanie próbkowania. Za każdym razem liczymy y. Możemy o tym myśleć jak o nowym eksperymencie w którym obserwacjami są średnie.

3 Jaki będzie rozkład (histogram) tych średnich ?
Fakt – suma dwóch zmiennych niezależnych o rozkładzie normalnym ma rozkład normalny.

4 Histogramy średnich z rozkładu standardowego normalnego
Rozmiary pojedynczych prób n=1 and n=50. Liczba powtórzeń eksperymentu N=1000.

5 Przykład: Y ~ N(30, 6). Bierzemy 10 próbek o rozmiarze n = 9: 29.89
32.27 31.19 30.86 28.68 s 5.74 5.01 6.06 6.25 6.31 29.60 30.02 31.19 29.84 30.27 s 6.83 3.81 5.13 4.82 4.90

6 Rozkład Y ma wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe SD
Oczekujemy, że średnia próbkowa Z p-stwem 0.95 będzie w odległości nie większej niż 1.96 SD od , tzn. pomiędzy a Z p-stwem 0.8 będzie w odległości nie większej niż 1.28 SD od , tzn. pomiędzy 27.4 a … … 1 SD … tzn. pomiędzy 28 a 32. Pytanie (na boku). X-liczba tych próbek (z 10) dla których średnie różnią się od  o nie więcej niż 1 SD Podaj rozkład X.

7 Centralne Twierdzenie Graniczne
Jeżeli Y ma rozkład normalny to rozkład próbkowy Y jest też normalny (z mniejszym SD). Nawet jeżeli Y nie ma rozkładu normalnego to dla dużych n rozkładY jest bliski normalnemu (warunek dostateczny – rozkład Y ma skończoną wariancję). Niezależnie od rozkładu Y wartość oczekiwana średniej próbkowej wynosi a odchylenie standardowe średniej SD =

8 Co to znaczy ``duże’’ n ? To zależy od tego jak bliski rozkładowi normalnemu jest rozkład Y i jak dużej dokładności przybliżenia oczekujemy. Jeżeli Y ma rozkład normalny to wystarczy n= Jeżeli rozkład Y jest w przybliżeniu symetryczny i nie ma ``ciężkich ogonów’’ to do typowych obliczeń wystarczy n=30.

9

10 Wniosek Techniki prezentowane na tym kursie i dotyczące konstrukcji przedziałów ufności dla  i testowania hipotez o średnich mogą być również stosowane gdy rozkład pojedynczych obserwacji nie jest normalny o ile tylko rozmiar prób jest ``wystarczająco’’ duży.