Kierunek Teleinformatyka

Prezentacja na temat: "Kierunek Teleinformatyka"— Zapis prezentacji:

1 Kierunek Teleinformatyka
Projekt z Rachunku Prawdopodobieństwa MAEW00104 MAP1064 Gabriel Szuter, Wydział Elektroniki Kierunek Teleinformatyka Temat: Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych.

2 Metoda Monte Carlo liczenia całek podwójnych: Całkę
gdzie D to obszar zamknięty w kwadracie [a,b] x [a,b] obliczamy w następujący sposób: Losujemy niezależnie liczby u1, u2, … , un oraz v1, v2, … , vn z rozkładu jednostajnego U[0, 1]; Przekształcamy xk= a + (b - a)uk i yk= a + (b - a)vk dla k = 1, 2, , n; Jako przybliżoną wartość całki przyjmujemy: przy czym przyjmujemy 0 dla punktów leżących poza D.

3 Zajmijmy się teraz kolejno różnymi funkcjami:
1) Niech D będzie kwadratem [0,2] x [0,2], natomiast

4 Policzmy dokładną wartość całki:
Wylosowane liczby będziemy przeliczać następująco: xk=2uk yk=2vk Nasza całka przyjmie postać:

5 Policzmy wartości całki dla różnych rzędów n
Dla n=100: Dla n=1000: Dla n=3000:

6 Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli:
Wartość całki Błąd bezwzględny Wartość prawdziwa 4 n=100 4,375 0,375 n=1000 3,964 0,036 n=3000 3,993 0,007

7 Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych losowaniach:

8 Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu:
Przybliżenie całki Wartość Błąd bezwzględny Błąd względny n=100 Minimalna wartość 3,254 0,746 18,65% Maksymalna wartość 4,826 0,826 20,65% n=1000 3,72 0,28 7% 4,345 0,345 8,63% n=3000 3,815 0,185 4,63% 4,228 0,228 5,7%

9 2) Teraz niech obszar będzie ograniczony krzywymi:
Funkcją niech pozostanie:

10 Policzmy dokładną wartość całki:

11 Policzmy wartości całki dla różnych n:
Dla n=100: Dla n=1000: Dla n=3000:

12 Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli:
Wartość całki Błąd bezwzględny Wartość prawdziwa 2,133 n=100 2,317 0,184 n=1000 2,074 0,059 n=3000 2,148 0,015

13 Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych losowaniach:

14 Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu:
Przybliżenie całki Wartość Błąd bezwzględny Błąd względny n=100 Minimalna wartość 1,327 0,806 37,79% Maksymalna wartość 2,923 0,79 37,04% n=1000 1,961 0,172 8,06% 2,337 0,204 9,56% n=3000 1,938 0,195 9,14% 2,227 0,094 4,41%

15 3) Nasz obszar umieśćmy w kwadracie: [2,5] x [2,5]
Niech będzie on ograniczony prostymi: y = 3 , y = (0,5x - 2)2 + 2 , y = (x - 4)3 + 2 Nasza funkcja będzie miała postać:

16 Policzmy dokładną wartość całki:

17 Policzmy wartości całki dla różnych n:
Dla n=100: Dla n=1000: Dla n=3000:

18 Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli:
Wartość całki Błąd bezwzględny Wartość prawdziwa 13,029 n=100 14,518 1,489 n=1000 12,679 0,35 n=3000 13,022 0,007

19 Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych losowaniach:

20 Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu:
Przybliżenie całki Wartość Błąd bezwzględny Błąd względny n=100 Minimalna wartość 7,169 5,86 44,98% Maksymalna wartość 20,149 7,12 54,65% n=1000 10,732 2,297 17,63% 15,038 2,009 15,42% n=3000 11,906 1,123 8,62% 14,123 1,094 8,4%

21 4) Niech obszar znajduje się w kwadracie: [2,6] x [2,6] Zamknijmy go prostymi:
Funkcją pozostanie:

22 Policzmy dokładną wartość całki:
Znajdźmy punkty przecięcia się prostych zamykających obszar: x=2, lub x=5,707

23 Policzmy wartości całki dla różnych n:
Dla n=100: Dla n=1000: Dla n=3000:

24 Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli:
Wartość całki Błąd bezwzględny Wartość prawdziwa 32,629 n=100 35,407 2,778 n=1000 31,273 1,356 n=3000 32,539 0,09

25 Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych losowaniach:

26 Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu:
Przybliżenie całki Wartość Błąd bezwzględny Błąd względny n=100 Minimalna wartość 18,659 13,97 42,81% Maksymalna wartość 49,338 16,709 51,21% n=1000 28,701 3,928 12,04% 38,533 5,904 18,09% n=3000 29,26 3,369 10,33% 35,603 2,974 9,11%

27 Wnioski: Widzimy, iż wraz ze wzrostem ilości losowanych liczb błąd przybliżenia maleje; Przy n=3000 we wszystkich przypadkach zostało uzyskane zadowalające przybliżenie; Im mniejszą część kwadratu zajmuje badany obszar, tym bardziej błąd przybliżenia rośnie.

28 Do obliczeń, a także rysowania wykresów użyto następujących aplikacji:
MS Excel Derive 6 Obszary całkowania i funkcje podcałkowe na podstawie własnej wyobraźni 