„Matematyka pod stopami” Jakub Degórski kl.Ic

Matematyka pod stopami… Matematyki można doszukać się wszędzie, wystarczy nawet tylko... spojrzeć pod nogi. W codziennym pośpiechu, zabiegani nie zwracamy na to uwagi. Tymczasem różnorodność form i bogactwo otaczającej nas symetrii wśród klap od studzienek kanalizacyjnych są przeogromne. Jak widać niemal wszystko może być interesujące z matematycznego punktu widzenia.

Rodzaje Parkietaży… Periodyczne parkietaże foremne regularne (platońskie). Istnieją tylko 3 takie parkietaże: 6^3, 4^4, 3^6. Periodyczne parkietaże półforemne regularne (archimedesowskie, półforemne). Istnieje tylko 8 takich parkietaży: (3^4, 6), (3^3, 4^2), (3^2, 6^2), (4, 8^2), (4, 6, 12), (3, 4, 6, 4), (3^2, 4, 3, 4), (3, 12^2). Z tych samych wielokątów można budować różne parkietaże. Periodyczne parkietaże półforemne nieregularne. Przykładem jest parkietaż Johnsona, który ma dwa rodzaje wierzchołków: 3^6 oraz (3^2, 4, 12). Periodyczne parkietaże nieregularne. Przykładem może być parkietaż złożony z tylko jednego pięciokąta (potocznie zwanego sfinksem). Wielokąt ten jest na razie jedynym znanym pięciokątem, za pomocą którego można wypełnić całą płaszczyznę. Parkietaże nieperiodyczne. Przykładem jest parkietaż Pearsona zbudowany z dwóch typów złotych deltoidów. Kąty deltoidu wypukłego wyrażone w stopniach: 72, 72, 72, 144. Kąty deltoidu wklęsłego wyrażone w stopniach: 36, 36, 72, 216.

Parkietaże… Parkietaż jest powtarzającym się obrazem złożonym z wielokątów foremnych wypełniającym całą dostępną przestrzeń. Wielokąty układają się koło siebie, mając wszystkie boki wspólne z sąsiednimi figurami. Definiuje się go następująco: Parkietaż jest zbiorem przystających wielokątów foremnych złożonych w ten sposób, że każdy punkt płaszczyzny należy do jakiejś figury i w danym punkcie płaszczyzny spotykają się wierzchołki określonej liczby figur.

Parkietaże foremne…  Parkietaż foremny (inne nazwy to jednorodny lub platoński) Składa się z jednakowych wielokątów foremnych. Takich parkietaży są tylko trzy rodzaje i mogą być zbudowane z: Trójkątów równobocznych Kwadratów Sześciokątów

Parkietaże półforemne nieregularne… W ich wierzchołkach spotykają się różne grupy wielokątów. Oto przykład:

Parkietaże ze zmodyfikowanych prostokątów…

Parkietaże z prostokątów i innych figur… Ciekawe możliwości daje połączenie prostokątów kilku rodzajów (w tym prostokąta z kwadratem), a także z dwunastokątem wklęsłym w kształcie krzyża greckiego.

Parkietaże z kwadratów… Wydaje się, że parkietaż wykonany z kwadratów musi być bardzo prosty i niczym nie może nas zaskoczyć. Bok pomarańczowego kwadratu z rysunku wyżej stanowi przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego. Kostki chodnika są kwadratami zbudowanymi na przyprostokątnych tego trójkąta. Można zauważyć, że suma pól jasnego i ciemnego kwadratu daje pole kwadratu pomarańczowego. 

Parkietaże z rombów… Parkietaże w pierwszym rzędzie dają złudzenie optyczne sześciennych kostek ustawionych jedne na drugich na różne sposoby. Zdjęcia drugie i trzecie przedstawiają ten sam układ, ale wrażenie jest znacznie silniejsze w przypadku trzeciego zdjęcia, na którym romby są w różnych kolorach.

Parkietaże z sześciokątów foremnych Parkietaż na trzecim zdjęciu jest właściwie zbudowany z trapezów równoramiennych stanowiących połówki foremnego sześciokąta.

Parkietaże ornamentowe… Efektowne parkietaże można łatwo uzyskiwać z form podstawowych, wprowadzając na płytce pewien ornament. Układając parkietaż np. z płytek trójkątnych lub rombowych z prostym ornamentem, otrzymuje się często nieoczekiwane desenie.

Parkietaże w sztuce… Parkietaże mają zastosowanie np. w zdobieniach posadzkowych w kościołach (wzory małych bryłek, figur). Ich ułożenie daje wrażenie trójwymiarowości czy też iluzji ruchomego dzieła tzw. op-art.

Parkietaże Eschera… Parkietaż w stylu Eschera to wypełnianie płaszczyzny dowolnymi, jednakowymi wielokątami.

PARKIETAŻE NIEPERIODYCZNE Parkietażem nieperiodycznym nazywamy takie nieskończone pokrycie płaszczyzny dla którego nie istnieje okres.

KONIEC