Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Rungego - Kutty Wykonał: Łukasz Klof Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność: Mechanika Komputerowa Semestr: VII

Cel pracy Celem pracy jest utworzenie programu całkującego równanie ruchu układu drgającego o jednym stopniu swobody metodą Rungego - Kutty. Należy znaleźć funkcje określające położenie oraz prędkość masy. W tym celu trzeba rozwiązać równie różniczkowe ruchu, które dla danego układu przybiera postać:

Wzory Rungego - Kutty Najlepszą metodą przybliżonego rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych oraz ich układów, nadającą się dla elektronicznych maszyn cyfrowych, jest metoda Rungego - Kutty (RK). Metoda RK drugiego rzędu, dla równania Wykorzystuje się tu wzory:

Wzory Rungego – Kutty c.d. Proces obliczeniowy jest następujący: (I) Należy wybrać wielkość kroku całkowania h. (II) Ze wzorów oblicza się k1 i k2. (III) Ze wzoru oblicza się yn+1. Przy obliczaniu yn+2, yn+3, .... powtarza się kolejno kroki (I), (II), (III).

Wzory Rungego – Kutty c.d. Formuły trzeciego rzędu: k1 = hf(x0, y0)   k2 = hf(x0+h/2, y0+k1/2) k3 = hf(x0 + h, y0 - k1 + 2k2) Δy = (k1 + 4k2 + k3 ), formuły czwartego rzędu: k1 = hf(x0, y0)   k2 = hf(x0+h/2, y0+k1/2) k3 = hf(x0 + h/2, y0 + k2/2) k4 = hf(x0 + h, y0 + k3) Δy = (k1 + 2k2 + 2k3 + k4).

Oszacowanie błędu Znając już wartość funkcji yn=y(xn), oblicza się ze wzorów określonych metodą RK wartość [1]yn+1=y(xn+h). Następnie powtarza się obliczenia, ale z krokiem dwa razy mniejszym (h/2), tak że po dwukrotnym zastosowaniu wzorów RK oblicza się ponownie wartość [2]yn+1=y(xn+h). Można teraz łatwo sprawdzić przybliżoną wartość błędu gdzie k jest rzędem metody.

Program komputerowy Program umożliwia numeryczne rozwiązanie równań opisujących drgania nieliniowe układu używając w tym celu wzorów Rungego – Kutty czwartego rzędu: gdzie: m – masa, c – tłumienie, k – sztywność sprężyny, k*- nieliniowość.   Zakładamy również warunki początkowe x(0) oraz .

Program komputerowy c.d. Powyższe równanie należy zapisać w postaci dwóch równań pierwszego rzędu: Warunki początkowe x1(0) oraz x2(0).

Rozwiązanie

Rozwiązanie c.d.

Rozwiązanie c.d. Wyniki otrzymane przy pomocy programu RK. Dla drugiego kroku Dla trzeciego kroku

Wnioski Różnice pomiędzy otrzymanymi wynikami w obydwu programach są bardzo niewielkie i wynikają z dokładności obliczeń poszczególnych programów. Metoda Rungego – Kutty, ze względu na nie skomplikowany proces programowania oraz dużą dokładność otrzymywanych wyników jest wykorzystywana do rozwiązywania równań różniczkowych w wielu programach (np. MATLAB).

Literatura [1] Rao S. S.: Mechanical vibrations. Addison-Wesley Publishing Company, 1986   [2] Jan Kruszewski, Stefan Sawiak, Edmund Wittbrodt.: Wspomaganie komputerowe CAD/CAM Metoda sztywnych elementów skończonych w dynamice konstrukcji.Wydawnictwa Naukowo – Techniczne, Warszawa 1999. [3] Jean Legras: Praktyczne metody analizy numerycznej. Wydawnictwa Naukowo – Techniczne, Warszawa 1974.