Zakład Mechaniki Teoretycznej

Prezentacja na temat: "Zakład Mechaniki Teoretycznej"— Zapis prezentacji:

1 Zakład Mechaniki Teoretycznej
Zastosowanie teorii zbiorów rozmytych do oceny niezawodności konstrukcji budowlanych Andrzej Pownuk Politechnika Śląska Wydział Budownictwa Zakład Mechaniki Teoretycznej

2 Cel pracy Celem niniejszej pracy jest teoretyczne opracowanie
oraz komputerowa implementacja zagadnień obliczania niezawodności konstrukcji z niepewnymi parametrami przy wykorzystaniu teorii zbiorów rozmytych.

3 Plan prezentacji 1. Niezawodność konstrukcji o parametrach rozmytych.
1.1. Różne definicje bezpieczeństwa konstrukcji. 1.2. Klasyczna definicja zbioru rozmytego. 1.3. Różne interpretacje funkcji przynależności. 1.4. Górne i dolne prawdopodobieństwo zniszczenia konstrukcji.

4 Plan prezentacji 2. Metody rozwiązywania
przedziałowych układów równań. 2.1. Przedziałowe układy równań liniowych. 2.2. Przedziałowa metoda Newtona i metoda podziału. 2.3. Zastosowanie metod analizy wrażliwości. 2.4. Zastosowanie macierzy Jakobiego. 2.5. Zastosowanie metod optymalizacji.

5 3. Niezawodność konstrukcji o parametrach
Plan prezentacji 3. Niezawodność konstrukcji o parametrach losowych i rozmytych. 3.1. Niezawodność konstrukcji o parametrach przedziałowych i losowych. 3.2. Niezawodność konstrukcji o parametrach losowych o wartościach należących do zbioru rozmytego.

6 Plan prezentacji 4. Wnioski. 5. Kierunki przyszłych badań.

7 Szacowanie bezpieczeństwa w metodzie stanów granicznych
O bezpieczeństwie decyduje najsłabszy element konstrukcji. (tzn. ekstremalne wartości nośności (N) i obciążenia (P) ) Warunek stanu granicznego (nośności lub użytkowalności) można zapisać w następującej postaci:

8 Warunek stanu granicznego można również zapisać następująco.
lub bardziej ogólnie Niepewności parametrów uwzględniane są przy wykorzystaniu współczynników bezpieczeństwa . Wartość charakterystyczna Wartość obliczeniowa Wartość ekstremalna

9 Niezawodność konstrukcji w ujęciu probabilistycznym
gdzie jest wektorem losowych parametrów konstrukcji i obciążenia. R0 jest założonym poziomem bezpieczeństwa.

10 Bezpieczeństwo konstrukcji o parametrach przedziałowych
Konstrukcja o parametrach przedziałowych jest bezpieczna, jeśli stan graniczny nie zostanie przekroczony dla dowolnej wartości parametrów z przedziału

11 Projektowanie konstrukcji o parametrach przedziałowych
Uwzględniamy najbardziej niekorzystny przypadek. 

12 Klasyczna definicja zbioru rozmytego
Zbiorem rozmytym F w przestrzeni X nazywamy dowolne odwzorowanie

13 Działania na zbiorach rozmytych
Zasada rozszerzania:

14 Prawdopodobieństwo zdarzeń rozmytych
Funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Funkcja przynależności zbioru rozmytego Prawdopodobieństwo zdarzenia rozmytego A

15 Różne interpretacje funkcji przynależności zbioru rozmytego
1) Interpretacja oparta na logice wielowartościowej. 2) Interpretacja oparta na prawdopodobieństwie nieprecyzyjnym. 3) Interpretacja oparta na teorii zbiorów losowych.

16 Definicja zbioru losowego
- zbiór losowy Ekspert 4 Ekspert 3 Ekspert 2 Ekspert 1 P

17 Interpretacja funkcji przynależności zbioru rozmytego oparta na teorii zbiorów losowych
1 0.5 P

18 Górne prawdopodobieństwo
1 0.5 P

19 Dolne prawdopodobieństwo
1 0.5 P

20 Związek górnego prawdopodobieństwa z funkcją przynależności zbioru rozmytego c.d.
Jeśli spełniony jest następujący warunek to Wzór ten stanowi podstawę zastosowania teorii zbiorów rozmytych do obliczania bezpieczeństwa konstrukcji.

21 Algorytm obliczania bezpieczeństwa konstrukcji
1) Na rodzinie przedziałów określić funkcję przynależności zbioru rozmytego  2) Wykorzystując algebrę rozmytą obliczyć funkcję przynależności rozwiązań równań rozmytych  3) Obliczyć górne prawdopodobieństwo zniszczenia konstrukcji

22 Przykład Funkcja graniczna

23 Przykład

24 Warunek monotoniczności
 Ekspert 4 Ekspert 3 Ekspert 2 Ekspert 1 P

25 Przykład

26 Przykład c.d.

27 Przykład c.d.

28 Przykład c.d.

29 Z obliczeniowego punktu widzenia najbardziej kłopotliwą
częścią algorytmu jest rozwiązanie układu równań rozmytych.

30 Równania z rozmytymi parametrami
Rozwiązanie równania z rozmytymi parametrami można obliczyć przy wykorzystaniu zasady rozszerzania

31 Metoda -przekrojów

32 Metody rozwiązywania układów równań z przedziałowymi parametrami
Równania liniowe -metody dokładne -metoda kombinatoryczna -metoda programowania liniowego -metoda Rohn’a -metody przybliżone -przedziałowa metoda eliminacji Gaussa -przedziałowa metoda Gaussa-Seidla -przedziałowa metoda Krawczyka -metoda Hansena -metoda Rump’a

33 Metody rozwiązywania układów równań z przedziałowymi parametrami
Równania nieliniowe -przedziałowa metoda Newtona -metoda podziału -metoda Neumaiera -metoda Gay’a -metoda punktowych testów monotoniczności -metoda przedziałowych macierzy Jakobiego -przedziałowa metoda CSP

34 Definicje zbiorów rozwiązań układów równań z przedziałowymi parametrami

35

36 Podstawy arytmetyki przedziałowej
Działania na przedziałach Przykładowo:

37 Fundamentalna własność arytmetyki przedziałowej

38 Przedziałowa metoda Newtona
Przedziałowa metoda Newtona może być wykorzystana do rozwiązywania równań z przedziałowymi parametrami.

39 Metoda podziału

40 Zastosowanie metody podziału

41 Wykorzystanie monotoniczności funkcji
Jeśli funkcja jest monotoniczna, to ekstremalne wartości można obliczyć na podstawie końców przedziału.

42 Przedziałowy test monotoniczności
gdzie

43

44

45 Zastosowanie regularnych przedziałowych macierzy Jacobiego do modelowania układów mechanicznych z przedziałowymi parametrami

46 Przykład zastosowania
Przedziałowe parametry:

47 L=H=1 [m], P=1 [kN],

48 Zastosowanie analizy wrażliwości do modelowania niepewności w układach mechanicznych

49 Pierwszy test monotoniczności

50 Przykłady obliczeń

51

52 Metody całkowania równań różniczkowych z przedziałowymi parametrami

53 Zastosowanie metod optymalizacji do modelowania układów z niepewnymi parametrami

54 Globalne minimum nie może znajdować się
w przedziale drugim i można go pominąć w dalszych obliczeniach.

55 przedziałowej optymalizacji globalnej
Przy pomocy algorytmu przedziałowej optymalizacji globalnej można z bardzo dużą dokładnością oszacować globalne minimum funkcji z nieskończoną ilością minimów lokalnych.

56

57

58 Zalety algorytmu przedziałowej optymalizacji globalnej
Algorytm gwarantuje, że wszystkie globalne minima zostaną znalezione w skończonej liczbie kroków i z zadaną dokładnością. Algorytm może uwzględniać błędy zaokrągleń oraz inne błędy obliczeń numerycznych.

59 Bezpieczeństwo konstrukcji
o parametrach losowych i rozmytych.

60 Prawdopodobieństwo zniszczenia konstrukcji o parametrach losowych i rozmytych

61 Przykład Funkcja graniczna

62 Przykład Rozmyte obciążenie Losowa granica plastyczności

63 Przykład c.d. 0.3     1=0.84

64 Prawdopodobieństwo zniszczenia konstrukcji o parametrach losowych i zbiorowych (przedziałowych)

65 Funkcja graniczna zależy od wektora parametrów losowych o wartościach należących do zbioru rozmytego

66 Przykład

67 Wnioski Współczesna analiza przedziałowa została zapoczątkowana
przez R. Moore’a w 1966 roku. Wykorzystując arytmetykę przedziałową można skonstruować algorytmy, które są zbieżne globalnie oraz pozwalają na znalezienie rozwiązania z gwarantowaną dokładnością (tzn. z uwzględnieniem wszystkich błędów, którymi obarczone są rozwiązania numeryczne, w tym błędów zaokrągleń).

68 Stosowanie prostych algorytmów przedziałowych
prowadzi zwykle do dużych różnic pomiędzy rozwiązaniem dokładnym, a rozwiązaniem otrzymanym przy wykorzystaniu metod przedziałowych. Trudności te można częściowo pokonać konstruując specjalne algorytmy.

69 Znalezienie dokładnego rozwiązania
przedziałowego układu równań liniowych jest problemem NP-zupełnym, co znacznie ogranicza techniczne zastosowania tej metody. Przy pomocy metody podziału możemy otrzymać rozwiązanie równań nieliniowych, które są zbudowane z funkcji nieróżniczkowalnych, a nawet nieciągłych. Metoda ta ma bardzo dużą złożoność obliczeniową.

70 W bardzo wielu typowych problemach inżynierskich
zależność rozwiązań od parametrów niepewnych jest monotoniczna. W celu sprawdzenia monotoniczności można zastosować punktowe testy monotoniczności. Jeśli monotoniczność funkcji zostanie wykazana, to ekstremalne wartości funkcji mogą zostać obliczone przy pomocy końców przedziałów.

71 Korzystając z koncepcji -przekrojów
wszystkie metody rozwiązywania równań o parametrach przedziałowych można wykorzystać do rozwiązywania równań rozmytych. Parametry zbiorowe (np. parametry przedziałowe) można traktować jak parametry rozmyte, dla których funkcja przynależności jest równa funkcji charakterystycznej zbioru.

72 Zadeh zakładał, że pojęcie zbioru rozmytego
jest intuicyjnie zrozumiałe. Podejście takie wywołało dyskusję na temat związku teorii zbiorów rozmytych z rachunkiem prawdopodobieństwa. Pomimo dużej liczby przykładów praktycznych zastosowań występują trudności w jednoznacznej interpretacji technicznej pojęć intuicyjnej teorii zbiorów rozmytych.

73 Istnieje wiele różnych interpretacji
funkcji przynależności zbioru rozmytego. Ponieważ w teorii zbiorów rozmytych można posługiwać się różnymi metodologiami, dlatego w zastosowaniach należy dokładnie ustalić, co właściwie oznacza funkcja przynależności zbioru rozmytego. W pracy szczególną uwagę zwrócono na probabilistyczną interpretację funkcji przynależności zbioru rozmytego oraz na interpretację opartą na teorii zbiorów losowych.

74 Wykorzystując probabilistyczną interpretację zbioru rozmytego
teorię zbiorów rozmytych można zastosować do obliczania niezawodności układów mechanicznych. Podobne rezultaty można uzyskać wykorzystując interpretację opartą na teorii zbiorów losowych.

75 Kierunki dalszych badań
Opracowanie komputerowych programów umożliwiających obliczenie bezpieczeństwa konstrukcji z niepewnymi parametrami dla zagadnień: nieliniowych geometrycznie, nieliniowych fizycznie oraz zagadnień dynamiki. Opracowanie bardziej uniwersalnych metod modelowania niepewności parametrów układów mechanicznych. Opracowanie nowych metod rozwiązywania układów równań z przedziałowymi parametrami.

76 Dziękuję za uwagę