WYKŁAD 5 OPTYKA FALOWA OSCYLACJE I FALE

Oscylacje (drgania) harmoniczne PLAN WYKŁADU Oscylacje (drgania) harmoniczne Fale płaskie Równanie falowe Odbicie fal Fale kuliste Fale walcowe PODSUMOWANIE

Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznych drganie liniowe punktu materialnego

Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznych drganie liniowe punktu materialnego oscylacja wielkości skalarnej p

Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznych drganie liniowe punktu materialnego oscylacja wielkości skalarnej p trójwymiarowa oscylacja punktu materialnego

Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznych drganie liniowe punktu materialnego oscylacja wielkości skalarnej p trójwymiarowa oscylacja punktu materialnego oscylacja harmoniczna wielkości wektorowej

Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznych drganie liniowe punktu materialnego oscylacja wielkości skalarnej p trójwymiarowa oscylacja punktu materialnego oscylacja harmoniczna wielkości wektorowej amplituda, częstość kątowa, faza – argument funkcji cos, faza początkowa

RÓWNOŚĆ EULERA gdzie

RÓWNOŚĆ EULERA gdzie

RÓWNOŚĆ EULERA gdzie

Składanie oscylacji

Składanie oscylacji w zapisie zespolonym

Trójwymiarowe harmoniczne drgania punktu materialnego

Trójwymiarowe harmoniczne drgania punktu materialnego

Trójwymiarowe harmoniczne drgania punktu materialnego

Trójwymiarowe harmoniczne drgania punktu materialnego

Trójwymiarowe harmoniczne drgania punktu materialnego

Trójwymiarowe harmoniczne drgania punktu materialnego

krzywa stożkowa, elipsa

elipsa wpisana w równoległobok zbudowany na wektorach A i B, A i B - osie sprzężone elipsy

OSCYLACJE A FALE

Jednowymiarowe fale bieżące profil zaburzenia przesuwa się w przestrzeni z prędkością v

Jednowymiarowe fale bieżące profil zaburzenia przesuwa się w przestrzeni z prędkością v

Jednowymiarowe fale bieżące profil zaburzenia przesuwa się w przestrzeni z prędkością v

Jednowymiarowe fale bieżące profil zaburzenia przesuwa się w przestrzeni z prędkością v

Jednowymiarowe fale bieżące profil zaburzenia przesuwa się w przestrzeni z prędkością v - profil zaburzenia

Jednowymiarowe fale bieżące fala bieżąca w kierunku +x fala bieżąca w kierunku -x

Jednowymiarowe fale bieżące fala bieżąca w kierunku +x fala bieżąca w kierunku -x W czasie Δt profil przesunie się o odległość Δx

Jednowymiarowe fale bieżące fala bieżąca w kierunku +x fala bieżąca w kierunku -x W czasie Δt profil przesunie się o odległość Δx

Jednowymiarowe fale bieżące fala bieżąca w kierunku +x fala bieżąca w kierunku -x W czasie Δt profil przesunie się o odległość Δx

Jednowymiarowe fale bieżące Zmiany w czasie i przestrzeni zaburzenia wielkości fizycznej ψ, rozchodzącego się z prędkością v w kierunku +x („odwrócony” profil)

Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne

Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne  , pewna długość charakterystyczna

Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne  , pewna długość charakterystyczna Z warunku okresowości, dla odpowiedniego Δx:

Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne  , pewna długość charakterystyczna Z warunku okresowości, dla odpowiedniego Δx:

Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne  , pewna długość charakterystyczna Z warunku okresowości, dla odpowiedniego Δx:

Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne  , pewna długość charakterystyczna Z warunku okresowości, dla odpowiedniego Δx:

Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne  , pewna długość charakterystyczna Z warunku okresowości, dla odpowiedniego Δx:

Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne

Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne

Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne

Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne

Jednowymiarowe fale bieżące harmoniczne

Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowej uogólnienie postaci fazy

Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowej uogólnienie postaci fazy narzucając warunek stałej fazy otrzymamy równanie wiążące wektor falowy k, wektor położenia r i czas t

Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowej uogólnienie postaci fazy narzucając warunek stałej fazy otrzymamy równanie wiążące wektor falowy k, wektor położenia r i czas t

Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowej uogólnienie postaci fazy narzucając warunek stałej fazy otrzymamy równanie wiążące wektor falowy k, wektor położenia r i czas t płaszczyzna stałej fazy Równanie – zbiór rozwiązań to będzie zbiór punktów…

Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowej

Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowej równanie płaszczyzny; A, B, C składowe wektora normalnego

Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowej równanie płaszczyzny; A, B, C składowe wektora normalnego odległość p-zny od początku układu współrz.

Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowej równanie płaszczyzny; A, B, C składowe wektora normalnego odległość p-zny od początku układu współrz.

Płaskie harmoniczne fale bieżące w przestrzeni trójwymiarowej równanie płaszczyzny; A, B, C składowe wektora normalnego odległość p-zny od początku układu współrz. p-zna oddala się od początku układu współrz.

Fale płaskie nieharmoniczne w przestrzeni trójwymiarowej

Fale płaskie nieharmoniczne w przestrzeni trójwymiarowej argument funkcji kształtu dla fali nieharmonicznej:

Fale płaskie nieharmoniczne w przestrzeni trójwymiarowej argument funkcji kształtu dla fali nieharmonicznej: dla mamy jak poprzednio

RÓWNANIE FALOWE Niech zaburzenie wielkości fizycznej ψ rozchodzi się w postaci fali płaskiej:

Pokażemy że zaburzenie to jest rozwiązaniem równania falowego: RÓWNANIE FALOWE Niech zaburzenie wielkości fizycznej ψ rozchodzi się w postaci fali płaskiej: Pokażemy że zaburzenie to jest rozwiązaniem równania falowego:

Pokażemy że zaburzenie to jest rozwiązaniem równania falowego: RÓWNANIE FALOWE Niech zaburzenie wielkości fizycznej ψ rozchodzi się w postaci fali płaskiej: Pokażemy że zaburzenie to jest rozwiązaniem równania falowego:

Ogólne rozwiązanie równania falowego

Ogólne rozwiązanie równania falowego

Ogólne rozwiązanie równania falowego

Zasada superpozycji Jeśli dwie funkcje: są rozwiązaniami równania falowego, to jest nim także dowolna kombinacja liniowa tych funkcji:

ODBICIE FAL na granicy dwóch ośrodków Fala padająca f(x+vt), fala odbita g(x-vt)

i „sztywnej” ściany „wychylenie” równe jest zero Ponieważ dla mamy zatem

co pozwala znaleźć profil fali odbitej dla dowolnego x i t co oznacza, że: czyli: co pozwala znaleźć profil fali odbitej dla dowolnego x i t

możemy zatem wprowadzić fale „wirtualne” w obszarze „ściany” możemy zatem wprowadzić fale „wirtualne” w obszarze „ściany”. Fale te stają się „rzeczywiste” gdy występują w obszarze „przed ścianą”

FALE KULISTE Powierzchnie stałej fazy kuliste, źródło fali w początku układu współrzędnych

Argument funkcji profilu: FALE KULISTE Powierzchnie stałej fazy kuliste, źródło fali w początku układu współrzędnych Argument funkcji profilu: czyli:

Argument funkcji profilu: FALE KULISTE Powierzchnie stałej fazy kuliste, źródło fali w początku układu współrzędnych Argument funkcji profilu: czyli: a nie:

Argument funkcji profilu: FALE KULISTE Powierzchnie stałej fazy kuliste, źródło fali w początku układu współrzędnych Argument funkcji profilu: czyli: a nie: czy też:

Sprawdzimy czy funkcja: będzie spełniać równanie falowe: FALE KULISTE Sprawdzimy czy funkcja: będzie spełniać równanie falowe:

FALE KULISTE Sprawdzimy czy funkcja: będzie spełniać równanie falowe: oraz czy jej argument będzie postaci:

FALE KULISTE Sprawdzimy czy funkcja: będzie spełniać równanie falowe: oraz czy jej argument będzie postaci: Zaczynamy od laplasjanu (lewej strony równania). Liczymy pochodne względem x, y i z. Dla x mamy:

FALE KULISTE Sprawdzimy czy funkcja: będzie spełniać równanie falowe: oraz czy jej argument będzie postaci: Zaczynamy od laplasjanu (lewej strony równania). Liczymy pochodne względem x, y i z. Dla x mamy:

Sumując trzy pochodne po x, y i z otrzymamy:

Sumując trzy pochodne po x, y i z otrzymamy: co jest równoważne:

Sumując trzy pochodne po x, y i z otrzymamy: co jest równoważne: gdyż:

Zatem równanie falowe: będzie spełnione gdy:

Zatem równanie falowe: będzie spełnione gdy: czyli gdy będzie spełnione następujące równanie, przypominające równanie dla fali płaskiej:

Zatem równanie falowe: będzie spełnione gdy: czyli gdy będzie spełnione następujące równanie, przypominające równanie dla fali płaskiej: A to równanie będzie spełnione gdy:

czyli gdy:

czyli gdy: Fala rozbieżna, emitowana ze źródła i fala zbieżna, np. po przejściu przez soczewkę skupiającą.

czyli gdy: Fala rozbieżna, emitowana ze źródła i fala zbieżna, np. po przejściu przez soczewkę skupiającą. W szczególności kulista fala rozbieżna, harmoniczna, będzie opisana wyrażeniem:

czyli gdy: Fala rozbieżna, emitowana ze źródła i fala zbieżna, np. po przejściu przez soczewkę skupiającą. W szczególności kulista fala rozbieżna, harmoniczna, będzie opisana wyrażeniem: lub:

FALE WALCOWE oś z jest osią walca gdzie

FALE WALCOWE oś z jest osią walca gdzie

FALE WALCOWE oś z jest osią walca gdzie

Pokażemy, że dla dużych r prawa strona jest równa:

Pokażemy, że dla dużych r prawa strona jest równa:

Pokażemy, że dla dużych r prawa strona jest równa: no i jest tak rzeczywiście gdy pominiemy wyraz z r2.

Równanie falowe będzie spełnione gdy:

Równanie falowe będzie spełnione gdy: jednowymiarowe równanie falowe. Po przemnożeniu przez otrzymamy: jednowymiarowe równanie falowe.

Równanie falowe będzie spełnione gdy: Po przemnożeniu przez otrzymamy: jednowymiarowe równanie falowe. Równanie to będzie spełnione gdy:

Czyli gdy:

Dla walcowej fali harmonicznej i rozbieżnej: Czyli gdy: Dla walcowej fali harmonicznej i rozbieżnej:

PODSUMOWANIE Dla oscylacji i fal harmonicznych wprowadzamy zapis zespolony. Część rzeczywista przedstawia realną fizyczną oscylację lub falę, urojona nie ma znaczenia fizycznego. Reprezentacja zespolona płaskiej fali harmonicznej opisującej zmienną w czasie i przestrzeni wektorową wielkość fizyczną ma postać: jest zespoloną amplitudą, k wektorem falowym, ω częstością kątową gdzie

PODSUMOWANIE Wektory A i B wyznaczają równoległobok, w który wpisana jest elipsa polaryzacji, kierunek wektora wyznacza kierunek rozchodzenia się fali, a jego wartość (liczba falowa k) związana jest z długością fali. Częstość kątowa ω związana jest z okresem T. Stosunek prędkości kątowej ω i liczby falowej k odpowiada prędkości rozchodzenia się fali.

PODSUMOWANIE Równanie falowe dla przypadku jednowymiarowego (płaska fala rozchodząca się wzdłuż osi x) ma postać: Jedyny warunek, jaki musi spełnić funkcja ψ jest taki, by jej argument był postaci: lub

PODSUMOWANIE Argument funkcji opisującej trójwymiarową falę płaską opisany jest wyrażeniem: gdzie α, β, γ to cosinusy kierunkowe a v prędkość rozchodzenia się fali. Dla fali harmonicznej cosinusy kierunkowe określone są przez składowe wektora falowego i argument funkcji przyjmuje postać:

PODSUMOWANIE Amplituda trójwymiarowej fali płaskiej nie zależy od r, fali kulistej maleje z r a fali walcowej z pierwiastkiem z r, gdzie r jest odległością od źródła. Jednowymiarowa fala padająca na “sztywną” granicę ulega odbiciu, zmieniając znak “wychylenia”.