WARUNKI REALIZACJI STANU D LUB STANU P W MODELU t-J NADPRZEWODNIKA WT Ryszard Gonczarek Mateusz Krzyżosiak Politechnika Wrocławska Instytut Fizyki

Mechanizm konkurencji MODEL 2D NWT: -stan singletowy stan tripletowy -d-sparowanie (S=0, M=0), p-sparowanie (S=1, M=0) -relacja dyspersji  (k) – model t-J – model ciasnego wiązania z parametrami przeskoku t 0, t 1 i m  = 2t 1 / t 0 od 0 do transformacje krzywoliniowe przestrzeni odwrotnej (transformacja konforemna) -biegunowy układ współrzędnych - przestrzeń 2D [ ,  ] -oddziaływanie parujące – izotropowe (on-site) i anizotropowe z najbliższymi sąsiadami -funkcje bazowe reprezentacji nieprzywiedlnych grupy C 4v – harmoniki Fouriera -oddziaływanie parujące w bazie harmonik Fouriera – parametry zależą od  = 2t 1 / t 0 -konkurencja wpływu na T c – parametry oddziaływania parującego, relacja dyspersji

Mechanizm konkurencji -Grupa symetrii kwadratu C 4v -oś 4-krotna (r – obrót o  /2), -4 płaszczyzny symetrii – a, b, c, d, -grupa C 4v = {e, r, r 2, r 3, a, b, c, d} – 8 elementów i 5 klas równoważności – {e}, {r 2 } oraz {r, r 3 }, {a, b}, {c, d} stąd 5 (= ) nieredukowalnych reprezentacji tj. 4 – jednowymiarowe, 1 dwuwymiarowa oraz 6 funkcji bazowych tworzy 4 jednowymiarowe podprzestrzenie {f 1 }, {f 2 }, {f 3 }, {f 4 } i 1 dwuwymiarową {f 5, f 6 } – inwarianty grupy C 4v.

Mechanizm konkurencji -Własności funkcji bazowych f i -A. g f 1 = f 1 dla g  {e, r, r 2, r 3, a, b, c, d}, -B. g f 2 = f 2 gdy g  {e,r 2,a,b}, g f 2 = -f 2 gdy g  {r,r 3,c,d}, -C. g f 3 = f 3 gdy g  {e,r 2,c,d}, g f 3 = -f 3 gdy g  {r,r 3,a,b}, -D. g f 4 = f 4 gdy g  {e,r,r 2, r 3 }, g f 4 = -f 4 gdy g  {a, b, c, d}, E s g f 5 = f 5 gdy g  {e, a}, g f 5 = -f 5 gdy g  {r 2,b}, g f 5 = -(-1) s f 6 gdy g  {r, d}, g f 5 = (-1) s f 5 gdy g  {r 3,c}, oraz g f 6 = f 6 gdy g  {e, b}, g f 6 = -f 6 gdy g  {r 2,a}, g f 6 = -(-1) s f 5 gdy g  {r 3,d}, g f 6 = (-1) s f 5 gdy g  {r, c}, gdzie s= 1 lub 2.

Mechanizm konkurencji -Własności składowych wektora k = [k 1, k 2 ] g k 1 = k 1 gdy g  {e, a}, g k 1 = - k 1 gdy g  {r 2,b}, g k 1 = k 2 gdy g  {r, d}, g k 1 = -k 2 gdy g  {r 3,c}, oraz g k 2 = k 2 gdy g  {e, b}, g k 2 = - k 2 gdy g  {r 2,a}, g k 2 = k 1 gdy g  {r 3,d}, g k 2 = - k 1 gdy g  {r, c}, ponieważ g f i (k  ) = f i (g k  ) stąd

Mechanizm konkurencji -Funkcje bazowe w przestrzeni wektora k = [k 1, k 2 ] dla nieredukow. reprezent. A. B. C. D. E. ale dla g  C 4v g (cos k 1 + cos k 2 ) = cos k 1 + cos k 2 lub g cos k 1 cos k 2 = cos k 1 cos k 2, g (1  cos k 1 cos k 2 ) -1 = (1  cos k 1 cos k 2 ) -1 więc

Mechanizm konkurencji -Funkcje bazowe w k = [k 1, k 2 ] c.d. R. Gonczarek, M. Gładysiewicz M. Mulak, phys. stat. sol. (b) 233 (2002) 351 A. B. C. D. E. A. (1- cos k X cos k Y ) -1 B.(1- cos k X cos k Y ) -1 C.(1- cos k X cos k Y ) -1 D.(1- cos k X cos k Y ) -1 E.(1- cos k X cos k Y ) -1

Mechanizm konkurencji -Funkcje bazowe w k = [k 1, k 2 ] c.d. -WNIOSKI: -wybór zbioru funkcji bazowych niejednoznaczny, -przestrzeń zupełna funkcji dla funkcji bazowych dla repr. grupy C 4v posiada nieskończoną bazę, -w zupełnej przestrzeni funkcji istnieje nieskończenie wiele zbiorów funkcji bazowych dla reprezentacji grupy C 4v, -należy rozważyć wszystkie takie zbiory

Mechanizm konkurencji -Biegunowy układ współrzędnych [ ,  ] -własności współrzędnej kątowej  -zupełny układ funkcji bazy – harmoniki Fouriera 1, cos n  i sin n  gdzie n = 1, 2, 3, … -wówczas

Mechanizm konkurencji

Zbiór zupełny funkcji bazowych grupy C 4v w bazie harmonik Fouriera A. f 1 = cos 4i  i = 0, 1, 2, 3, … B. f 2 = cos(2 + 4i)  i = 0, 1, 2, 3, … C. f 3 = sin(2 + 4i)  i = 0, 1, 2, 3, … D. f 4 = sin 4i  i = 1, 2, 3, … E 1. f 5 = cos(1 + 4i) , f 6 = sin(1 + 4i)  i = 0, 1, 2, 3, … E 2. f 5 = cos(3 + 4i) , f 6 = sin(3 + 4i)  i = 0, 1, 2, 3, …

Mechanizm konkurencji Funkcje bazowe grupy C 4v w dla pierwszych harmonik Fouriera A.f 1 = 1 sym. izotropowa „s” B.f 2 = cos 2  = cos 2  - sin 2  sym. x 2 – y 2 „d” C.f 3 = sin 2  = 2sin  cos  sym. xy „d” D.f 4 = sin 4  sym. „g” E 1.f 5 = cos , f 6 = sin  sym. „p” E 2.f 5 = cos 3 , f 6 = sin 3  sym. „f” ale f 1 ’ = cos 4  sym. „g”

Mechanizm konkurencji Oddziaływanie w kanale parującym D.Y. Xing, M. Liu, Y-G, Wang, J. Dong, Phys. Rev. B 60 (1999) 9775 na węźle i z najbliższymi sąsiadami. Transformata Fouriera: V 0, V 1 amplitudy w kanale isotropowym i anisotropowym. Potencjał spinowo-singletowy

Mechanizm konkurencji Oddziaływanie w kanale parującym i relacja dyspersji Potencjał spinowo-tripletowy Relacja dyspersji – model ciasnego wiązania, 1 i 2 hopping WNIOSKI: - otrzymane formuły dają się wyrazić poprzez funkcje bazowe grupy C 4v (przestrzeń wektora falowego) - bazy tych funkcji dla potencjału parującego i relacji dyspersji są różne!

Mechanizm konkurencji Rozwiązywanie zagadnienia dla nadprzewodnika WT Podstawa – formalizm funkcji Greena Równanie na szczelinę nadprzewodzącą: równanie dla potencjału chemicznego gdzie

Mechanizm konkurencji Metoda – transformacje przestrzeni pędów do przestrzeni [ ,  ] gdzie jądro K ( ,  ) – jakobian przejścia oraz gęstość stanów N(  ) =  K ( ,  )  SKŁADANIE TRANSFORMACJI: I. k x = arccos(1 – 2x) k y = arccos(1 – 2y)

Mechanizm konkurencji SKŁADANIE TRANSFORMACJI: II.Transformacja konforemna (uogólniona) relacja dyspersji: równanie transformacji: rozwiązanie: jakobian przejścia: gdzie

Mechanizm konkurencji SKŁADANIE TRANSFORMACJI: III. Przejście do współrzędnych biegunowych [ ,  ] gdzie oraz jakobian przejścia:

Mechanizm konkurencji SKŁADANIE TRANSFORMACJI - WYNIK: Jądro gęstości stanów: gdzie:

Mechanizm konkurencji Postać jądra gęstości stanów K (z,  ) dla wybranych wartości parametru  = 2t 1 /t 0 w układzie [ , z] (z=(  -  )/2t 0 ) Wartości:  = 0.1, 0.4,  = 0.7, 1.0,  = 1.3, 1.6

Mechanizm konkurencji Potencjał parujący w bazie harmonik Fouriera w układzie [ ,  ] Potencjał separowalny, czyste sparowanie: „s” – „d” – „g” – „p” –

Mechanizm konkurencji Potencjał parujący c.d., efektywny potencjał parujący gdzie:  1 Efektywny potencjał parujący < V 1 lub << V 1 oraz

Mechanizm konkurencji Współczynniki potencjału parującego  l ( ,  )  = 2t 1 /t 0 z=(  -  )/2t 0 stanys ~ 0.1p ~ 0.8 d ~ 0.6g ~ 0.1

Mechanizm konkurencji Stan układu WNIOSKI:V 0 >> V 1 stan izotropowy s -V 1 >> V 0 -stan anizotropowy d lub p (rysunki) -Współczynniki oddziaływania parującego: V 1 < 2,9 eV -U l (  ) = V 1 [  l (  )] 2 -oraz unormowane współczynniki v l ( ,  ) =  l ( ,  ) /  l (  )  =1 wolnozmienne funkcje v l ( ,  )  1

Mechanizm konkurencji Parametr porządku – stan układu Parametr porządku: gdzie s p d g

Mechanizm konkurencji Współczynniki U l (  ), średnia gęstość stanów 0 (  ) i temperatura przejścia T c0 (l,  ) ~exp[-2/ 0 (  )U l (  )] -dominujący stan singletowy (S=0) d-wave (stany s i g) -stan dominujący – tripletowy (S=1, M=0) p-wave -przybliżenie typu BCS v l ( ,  )  1 ½V 1 0 (0) = 0.43 ½U 2 (0) 0 (0) = 0.21

Mechanizm konkurencji Oszacowania: R. Gonczarek, M. Krzyzosiak, M. Mulak J. Phys. A: Math. Gen. 37 (2004 ) 4899 R. Gonczarek, M. Krzyzosiak, Physica C, Superconductivity & its appl. (2005 ) Temperatura krytyczna - (  = T/ t 0, c = 0.1 ) Liczba cząstek – potencjał chemiczny z = z 0 -  (  )/2t 0

Mechanizm konkurencji Oszacowania: Skok ciepła właściwego ciepło właściwe fazy normalnej

Mechanizm konkurencji Oszacowania c.d.: Efekt izotopowy: Wykładnik gdzie

Mechanizm konkurencji Własności funkcji I 2n (z,l,  ): ( z =  /2t 0 )  = (z,  ) oraz z = 0 (  ) _ D( , l ) = √2 cos( l  ) oraz D( , 0) = 1 zatem (z,  ) = I 0 (z,  ) 0 (  )

Mechanizm konkurencji Nierównoważność podejść w scenariuszu Van Hove’a i rozszerzonym scenariuszu Van Hove’a Przybliżenie - scenariusz Van Hove’a stąd formuły dla T c ( l,  ) i  ( l,  ) jednakowe i zachowują zależności jak w przybliżeniu typu BCS

Mechanizm konkurencji Temperatury krytyczne T c ( l,  ) i stany realizowane w modelu t-J dla różnych  ½V 1 0 (0)= 0.43 ½V 1 0 (0.255)= 0.28 ½V 1 0 (1.6)= 0.14 ½U 2 (0) 0 (0)= 0.21 ½V 1 0 (0.255)= 0.12 ½V 1 0 (1.6)= Stan d (singletowy), gdy 0 <  < dla  > stan p (trypletowy) Tu maksymalne T c dla  = 0 T c ( 2,0 )  50 K T c (1,0)  22 K T c (2,0)  13 K przybliżenie VHS T c (2,0.255) = T c (1,0.255)  2.5 K

Mechanizm konkurencji Maksymalne temperatury krytyczne T c ( l,0) realizowane w modelu t-J dla różnych V 1 < 2.87 eV 0.26 < ½V 1 0 (0) < ½U 2 (0) 0 (0) < 0.41 Maksymalne T c dla ½U 2 (0) 0 (0) = 0.41 T c ( 2,0 )  151 K T c (1,0)  90 K T c (2,0)  66 K przybliżenie VHS T c (2,0.3) = T c (1,0.3) < 1 K

Mechanizm konkurencji Efekt izotopowy  ( l,  ) dla różnych  ½V 1 0 (0)= 0.43 ½V 1 0 (0.255)= 0.28 Stan d, gdy 0 <  < dla  > stan p (trypletowy) dla BCS  = 0.5 Punkty charakterystyczne  ( 2,0 ) = 0.23  ( 2,0.091 ) =  ( 2,0.255 ) =  (1,0) =  (1,0.255)  0.5

Mechanizm konkurencji Skok ciepła właściwego  C(T c (l,  ))/ 1 (l,  )T c (l,  ) dla różnych  ½V 1 0 (0)= 0.43 ½V 1 0 (0.255)= 0.28 Stan d, gdy 0 <  < dla  > stan p (trypletowy) BCS – 9.38 d – stan p – stan Rzędu 5.3 ± 0.1

Mechanizm konkurencji Postać współczynnika v(  ) =  0 (  ),  i (  ),  i (  ),  i (  ), (zależy od  )

Mechanizm konkurencji Podsumowanie: 1.Baza zupełna funkcji – harmoniki Fouriera 2.Przestrzeń rozważań – układ biegunowy [ ,  ] z jądrem K ( ,  ) gęstości stanów (osobliwości typu VH) 3.Oddziaływanie parujące (separowalne) opisane w bazie harmonik Fouriera – podwójny szereg Fouriera, różne współczynniki rozwinięcia U l (  ) 4.Realizowany stan o najwyższej temperaturze przejścia – konkurencja pomiędzy współczynnikami rozwinięcia U l (  ) a osobliwościami jądra K ( ,  ) 5.Stan anizotropowy, gdy dominuje oddziaływanie z najbliższymi sąsiadami; dla  stan p (trypletowy) 6.Scenariusz Van Hove’a tylko dla przypadków izotropowych 7.Harmoniki rozwinięcia dla n > 4 pomijalne.