Klasa III b

Z gimnazjum nr 1 w Szprotawie

Prezentuje

Rozwiązanie zagadki nr 2!!! Mamy 9 jednakowych monet, ale jedna spośród nich jest fałszywa, gdyż ma inną wagę od pozostałych. Ludzkie ręce jednak nie są w stanie wyczuć, która to z nich i czy fałszywa moneta jest lżejsza czy cięższa? Jak w trzech ważeniach, za pomocą zwykłej wagi szalkowej (bez żadnych odważników), wyłonić fałszywą monetę? Czy jest ona cięższa czy lżejsza?

Ustalmy możliwości rozwiązania Mamy dziewięć monet które dzielimy na trzy grupy A, B i C. Każda z grup ma odpowiednio 3 monety: A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3. Sposób znalezienia szukanej monety podzielony jest na przypadki: Ia), Ib), Ic)(nie istnieje), IIa), IIb), IIc)(nie istnieje), IIIa), IIIb), IIIc)(nie istnieje); Tak więc jest rozpatrzonych 9 przypadków z czego 3 nie są możliwe. Każdy z przypadków wyłania grupę A B lub C która posiada monetę o innej wadze, a w każdym 3°ważeniu wyszukuje także pojedynczą monetę, która jest różna od reszty.

Oto możliwości wagi monety: B2-lżejsza od reszty; przypadek IIIa); B2-cięższa od reszty; przypadek IIa); B3-lżejsza od reszty; przypadek IIIa); B3-cięższa od reszty; przypadek IIa); C1-lżejsza od reszty; przypadek Ia); C1-cięższa od reszty; przypadek Ib); C2-lżejsza od reszty; przypadek Ia); C2-cięższa od reszty; przypadek Ib); C3-lżejsza od reszty; przypadek Ia); C3-cięższa od reszty; przypadek Ib); Jest 18 możliwości wagi szukanej monety: A1-lżejsza od reszty; przypadek IIb); A1-cięższa od reszty; przypadek IIIb); A2-lżejsza od reszty; przypadek IIb); A2-cięższa od reszty; przypadek IIIb); A3-lżejsza od reszty; przypadek IIb); A3-cięższa od reszty; przypadek IIIb); B1-lżejsza od reszty; przypadek IIIa); B1-cięższa od reszty; przypadek IIa);

Po pierwsze... Przypadek a) Ważenie 1° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramiona są w równowadze (A=B), stąd w grupie C jedna z monet jest o różnej wadze. Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C: Ramię z monetami A opada, a z monetami C unosi się. Stąd wiadomo, że A=B>C więc w grupie C jedna z monet jest lżejsza od pozostałych.  Ważenie 3° Stawiamy na jedno ramię monetę C1, a na drugie monetę C2: Jeśli moneta C1 będzie na równowadze z monetą C2, tzn. że moneta C3 jest lżejsza od pozostałych (C1=C2<C3) Jeśli po stronie monety C1 ramię uniesie się, a po stronie monety C2 opadnie, tzn. że moneta C1 jest lżejsza od pozostałych (C2=C3>C1) Jeśli po stronie monety C1 ramię opadnie, a po stronie monety C2 uniesie się, tzn. że moneta C2 jest lżejsza od pozostałych (C1=C3>C2)

Po pierwsze... Przypadek b) Ważenie 1° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramiona są w równowadze (A=B), stąd w grupie C jedna z monet jest o różnej wadze. Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C: Ramię z monetami A unosi się, a z monetami C opada. Stąd wiadomo, że A=B<C więc w grupie C jedna z monet jest cięższa od pozostałych. Ważenie 3° Stawiamy na jedno ramię monetę C1, a na drugie monetę C2: Jeśli moneta C1 będzie na równowadze z monetą C2, tzn. że moneta C3 jest cięższa od pozostałych (C1=C2<C3) Jeśli po stronie monety C1 ramię uniesie się, a po stronie monety C2 opadnie, tzn. że moneta C2 jest cięższa od pozostałych (C1=C3<C2) Jeśli po stronie monety C1 ramię opadnie, a po stronie monety C2 uniesie się, tzn. że moneta C1 jest cięższa od pozostałych (C2=C3<C1)

Po pierwsze... Przypadek c) Ważenie 1° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramiona są w równowadze (A=B), stąd w grupie C jedna z monet jest o różnej wadze.   Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C. Nie ma trzeciego przypadku kiedy to monety A i C są w równowadze, ponieważ zachodzi równanie A=B=C co jest sprzeczne z warunkami zadania, kiedy to jedna z grup monet ma inną wagę od reszty.

Po drugie... Przypadek a) Ważenie 1° Ważenie 2° Ważenie 3° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramię z monetami A unosi się, a z monetami B opada. (A<B).  Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C: Ramię z monetami A jest w równowadze z monetami C. Stąd wiadomo, że A=C<B więc w grupie B jedna z monet jest cięższa od pozostałych. Ważenie 3° Stawiamy na jedno ramię monetę B1, a na drugie monetę B2: Jeśli moneta B1 będzie na równowadze z monetą B2, tzn. że moneta B3 jest cięższa od pozostałych (B1=B2<B3) Jeśli po stronie monety B1 ramię uniesie się, a po stronie monety B2 opadnie, tzn. że moneta B2 jest cięższa od pozostałych (B1=B3<B2) Jeśli po stronie monety B1 ramię opadnie, a po stronie monety B2 się uniesie, tzn. że moneta B1 jest cięższa od pozostałych (B2=B3<B1)

Po drugie... Przypadek b) Ważenie 1° Ważenie 2° Ważenie 3° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramię z monetami A unosi się, a z monetami B opada. (A<B).  Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C: Ramię z monetami A unosi się, a z monetami C opada. Stąd wiadomo, że B=C>A więc w grupie A jedna z monet jest lżejsza od pozostałych.  Ważenie 3° Stawiamy na jedno ramię monetę A1, a na drugie monetę A2: Jeśli moneta A1 będzie na równowadze z monetą A2, tzn. że moneta A3 jest lżejsza od pozostałych (A1=A2>A3) Jeśli po stronie monety A1 ramię uniesie się, a po stronie monety A2 opadnie, tzn. że moneta A1 jest lżejsza od pozostałych (A2=A3>A1) Jeśli po stronie monety A1 ramię opadnie, a po stronie monety A2 się uniesie, tzn. że moneta A2 jest lżejsza od pozostałych (A1=A3>A2)

Po drugie... Przypadek c) Ważenie 1° Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramię z monetami A unosi się, a z monetami B opada (B>A).   Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C. Nie ma trzeciego przypadku kiedy to ramię z monetami A opada, a z monetami C unosi się, ponieważ zachodzi nierówność B>A>C co jest sprzeczne z warunkami zadania, kiedy to dwie grupy monet są równe a trzecia ma inną wagę.

Po trzecie... Przypadek a) Ważenie 1° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramię z monetami A opada, a z monetami B unosi się. (A>B).  Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C: Ramię z monetami A jest w równowadze z monetami C. Stąd wiadomo, że A=C>B więc w grupie B jedna z monet jest lżejsza od pozostałych.  Ważenie 3° Stawiamy na jedno ramię monetę B1, a na drugie monetę B2: Jeśli moneta B1 będzie na równowadze z monetą B2, tzn. że moneta B3 jest lżejsza od pozostałych (B1=B2>B3) Jeśli po stronie monety B1 ramię uniesie się, a po stronie monety B2 opadnie, tzn. że moneta B1 jest lżejsza od pozostałych (B2=B3>B1) Jeśli po stronie monety B1 ramię opadnie, a po stronie monety B2 się uniesie, tzn. że moneta B2 jest lżejsza od pozostałych (B1=B3>B2)

Po trzecie... Przypadek b) Ważenie 1° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramię z monetami A opada, a z monetami B unosi się. (A>B).  Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C: Ramię z monetami A opada, a z monetami C unosi się. Stąd wiadomo, że B=C<A więc w grupie A jedna z monet jest cięższa od pozostałych.  Ważenie 3° Stawiamy na jedno ramię monetę A1, a na drugie monetę A2: Jeśli moneta A1 będzie na równowadze z monetą A2, tzn. że moneta A3 jest cięższa od pozostałych (A1=A2<A3) Jeśli po stronie monety A1 ramię opadnie, a po stronie monety A2 się uniesie, tzn. że moneta A1 jest cięższa od pozostałych (A2=A3<A1) Jeśli po stronie monety A1 ramię uniesie się, a po stronie monety A2 opadnie, tzn. że moneta A2 jest cięższa od pozostałych (A1=A3<A2)

Po trzecie... Przypadek c) Ważenie 1° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy B: Ramię z monetami A opada, a z monetami B unosi się. (A>B).   Ważenie 2° Stawiamy na jedno ramię monety z grupy A, a na drugie monety z grupy C. Nie ma trzeciego przypadku kiedy to ramię z monetami A unosi się, a z monetami C opada, ponieważ zachodzi nierówność B<A<C co jest sprzeczne z warunkami zadania, kiedy to dwie grupy monet są równe a trzecia ma inną wagę.

~KONIEC~ Opracowanie: Klasa III b z Gimnazjum nr 1 Im. M.Kopernika w Szprotawie Pod kierownictwem p. Marii Dec