„Własności figur płaskich” TRÓJKĄTY

Trójkąt – wielokąt o trzech bokach Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny.

Rodzaje trójkątów Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się: Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się: 1.trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre; 2.trójkąt prostokątny, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (90 stopni); 3.trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty. Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się: 1.trójkąt różnoboczny, ma każdy bok innej długości; 2.trójkąt równoramienny, ma przynajmniej dwa boki tej samej długości; 3.trójkąt równoboczny, ma wszystkie trzy boki tej samej długości; w tym przypadku też wszystkie jego kąty są tej samej miary. Trójkąty można dzielić również ze względu na inne relacje równoważności, np. podobieństwo, przystawanie.

Klasyfikacja trójkątów

Podstawowe informacje o trójkątach Suma miar kątów trójkąta wynosi 180 stopni; Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych boków; a < b + c      b < a + c      c < a + b

Ważne elementy Wysokość trójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek i prostopadła do prostej zawierającej przeciwległy bok. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają się w punkcie zwanym ortocentrum tego trójkąta. Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

DWUSIECZNA SYMETRALNA WYSOKOŚĆ

Twierdzenie Pitagorasa Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Należy pamiętać, że twierdzenie to można stosować tylko w trójkątach prostokątnych!

Przykładowe zadanie z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa Oblicz obwód i pole rombu, którego przekątne mają długość a=6cm i b=8cm. Rozwiązanie: P=pole L=obwód P=(a*b)/2 P=1/2*a*b P=1/2*6*8 P=24   3²+4²=a² 9+16=a² a=5 L=4a L=4*5=20

Cechy przystawania trójkątów 1. (bbb) bok-bok-bok odpowiednie boki trójkąta są równe 2. (bkb) bok-kąt-bok odpowiednie dwa boki trójkąta są równe i kąt miedzy nimi 3. (kbk) kąt-bok-kąt odpowiednie dwa kąty trójkąta są równe i bok do nich przyległy 1. 2. Trójkąty ABC i A'B'C' są przystające.   Obwody trójkątów przystających są równe.   Ob = Ob’ Pola trójkątów przystających są równe.  P = P’ 3.

Cechy podobieństwa trójkątów Cecha kk.Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne. Cecha bbb. Jeśli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do boków drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.  Cecha bkb. Jeśli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta i kąty zawarte między tymi bokami są równe, to trójkąty te są podobne. Stosunek obwodów figur podobnych jest równy skali podobieństwa. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Środkowa trójkąta Środkowa trójkąta to prosta zawierająca wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem geometrycznym (barycentrum) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku.

Punkty Brocarda Punkty Brocarda –w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty. Właściwości Oba punkty Brocarda trójkąta ABC są ze sobą sprzężone izogonalnie. Punkt środkowy dwóch punktów Brocarda znajduje się na tzw. osi Brocarda, która łączy punkt środkowy koła opisanego i punkt Lemoine. Prosta łącząca punkty Brocarda jest prostopadła do osi Brocarda.

Punkt Gergonne’a Punkt Gergonne'a - punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt

Trójkąty o kątach 90 , 45 , 45 (stopni) a√2 = d – długość przekątnej kwadratu o boku długości a; Trójkąt ten jest połową kwadratu o boku a W trójkącie prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnych długości a, przeciwprostokątna ma długość a√2

Trójkąty o katach 90 , 60 , 30 (stopni) Ten trójkąt jest połową trójkąta równobocznego o boku 2a h = a√3 Przyprostokątna, leżąca naprzeciw kąta 30°, równa jest połowie długości przeciwprostokątnej.

Trójkąt równoboczny - wzory Wysokość i pole P=(a²√3):4 h=(a√3):2 Kąty w trójkącie Punkt przecięcia dzieli wysokość na odcinki w stosunku 2:1 x=2/3h y=1/3h x/y=2/1 Wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w jednym punkcie

Przykładowe zadanie na trójkącie równobocznym Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny, którego boki maja długość 12 cm. W trójkącie równobocznym punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu wpisanego. Punkt ten dzieli wysokość na odcinki 1/3h i 2/3h. Krótszy z odcinków 1/3h jest promieniem okręgu opisanego. r=1/3h czyli 1/3*12√3 /2=2√3 cm h=wysokość a=dł.boku r=promień Odp. Promień okręgu wpisanego ma długość 2√3 cm.

Nierówność trójkąta W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą a, b i c zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta: a < b + c i analogicznie b < c + a c < a + b Trójkąt o bokach, których długości wynoszą a, b i c istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci: | b - c | < a < b + c

Tyle jest w każdym poznaniu nauki, ile jest w nim matematyki. Bibliografia: http://pl.wikipedia.org/wik; MATEMATYKA 3 – podręcznik do matematyki (1,2,3 klasa gimnazjum, nowa podstawa programowa); http://www.google.pl Vademecum-Egzamin Gimnazjalny matematyka, Operon Tyle jest w każdym poznaniu nauki, ile jest w nim matematyki. Klaudia Papierkiewicz IAT Powiatowy Zespół Szkół nr 1 im.Generała Józefa Bema Immanuel Kant