Wycieczka w n-ty wymiar

Jak narysować sześcian? Musimy zmieścić trzy wymiary w dwóch !! Sześcian możemy skonstruować przesuwając kwadrat wzdłuż „trzeciego wymiaru ”. Patrzymy na niebiesko-czarne równoległoboki, ale bez trudu wyobrażamy sobie, że to są kwadraty!!!

Konstrukcja kostki wymiaru 4 I oto sześcian. Krawędzie odpowiadające różnym kierunkom w przestrzeni są zaznaczone różnymi kolorami. To tak, jakby zamiast x, y, z pisać czarny, niebieski, zielony. Następnie przesuwamy nasz sześcian wzdłuż czwartego wymiaru. Nieważne, gdzie ten czwarty wymiar jest. Musimy znaleźć dla niego miejsce na płaszczyźnie (podobnie jak dla wymiaru numer 3). Niech nowy wymiar będzie czerwony i na rysunku biegnie w prawo w dół.

Kostka czterowymiarowa, hipersześcian

Ile wierzchołków ma taka kostka? Odp: 2 razy tyle, co sześcian, czyli 16 . Ile ma krawędzi ?: tyle co dwa sześciany plus 8 , czyli 32 . Ile ma ścian wymiaru 2 : 24 I jeszcze „ściany” wymiaru 3, jest ich 8. Zauważmy, że 16 - 32 + 24 – 8 = 0 . Obliczmy ( 2x + 1 ) 4 = = 16x4 + 32x3 + + 24x2 + 8x + 1. Liczba ścian wymiaru k to współczynnik przy xk w rozwinięciu ( 2x + 1 ) n

(.... + akxk + ak-1xk-1 + ... ) ( 2 x + 1 ) = W kostce wymiaru n liczba ścian wymiaru k to współczynnik przy xk w rozwinięciu ( 2x + 1 ) n Ściana wymiaru k powstaje albo z przeciągnięcia jednej ściany k-1 wymiarowej w „następnym wymiarze” albo jest ścianą k-wymiarową w jednej z dwóch podstaw! Pomnóżmy jakiś wielomian przez 2x+1. Jak tworzą się współczynniki iloczynu ? (.... + akxk + ak-1xk-1 + ... ) ( 2 x + 1 ) = = ..... ( 2ak-1 + ak ) xk Obliczmy wartość (2x+1) dla x = -1 oraz dla x = 1. Suma naprzemienna = (-1)n, suma zwykła = 3n

Przekątna kostki czterowymiarowej Widoczny różowy trójkąt jest prostokątny. Jedna z przyprostokątnych jest krawędzią kostki, druga – przekątną „zwykłego” sześcianu. Zatem z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, że długość przeciwprostokątnej to Indukcja: przekątna kostki wymiaru n ma długość

Zadanie o kulach wpisanych ???????? W naroża kostki wymiaru n wpisano kule jednakowych rozmiarów, styczne do kostki i styczne do siebie wzajemnie. Obliczyć promień tych kul. Między te kule wpisano kulę styczną. Obliczyć jej promień. Odp. 4 r + 1 = n1/2

24-cell

4-symplex

Czworościan i sześcian Czy w dowolnym wymiarze n też tak jest?

Cztery żywioły i kosmos Ogień Woda Ziemia Powietrze Kosmos

Cztery żywioły i Kosmos

Mysterium cosmographicum (1596)

<<Geometry`Polytopes` Promień kuli wpisanej i kuli opisanej na wielościanie foremnym o krawędzi 1.

Mysterium cosmographicum Johannes Kepler (1571-1630)

Johannes Kepler: Mysterium Cosmographicum, 1596: Ziemia jest miarą wszystkiego. Opisz na niej dwunastościan, koło go obejmujące będzie Marsem. Opisz na Marsie czworościan, koło go obejmujące będzie Jowiszem. Opisz sześcian na Jowiszu, koło go obejmujące będzie Saturnem. A teraz w Ziemię wpisz dwudziestościan, koło w niego wpisane będzie Wenus. Wpisz w Wenus ośmiościan, koło w niego wpisane będzie Merkurym. Oto jaka jest przyczyna liczby planet. Odległości planet od Słońca: Merkury 58, Wenus 108, Ziemia 150, Mars 228, Jowisz 788, Saturn 1424.

…oto jaka jest przyczyna liczby planet… Naprawdę Według teorii Keplera 58 mln km 0,387 0,459 108 mln km 0,720 0,795 150 mln km 1 228 mln km 1,520 1,258 778 mln km 5,187 3,375 1424 mln km 9,493 6,539

Sympleks wymiaru n Widzimy, że wysokość dąży do 1/2 = 2 /2 , „zaczyna” zaś od 3 / 2 . Objętość do zera. Pole powierzchni też do zera. Obliczmy kąt nachylenia krawędzi do podstawy. Sinus kąta ABH to hn . Dąży on do 45 stopni. S

Objętości w wysokich wymiarach Wyznaczyć długość krawędzi sympleksu n-wymiarowego o objętości 1 . Rozwiązanie: Na przykład dla n = 10 jest to około 5,68 Wykres funkcji długości krawędzi sympleksu o obj. 1

Zadanie W naroża sympleksu wymiaru n wpisano kule jednakowych rozmiarów, styczne do sympleksu i styczne do siebie wzajemnie. Obliczyć promień tych kul. Między te kule wpisano kulę styczną. Obliczyć jej promień.

Opór kostki I3 Do przeciwległych wierzchołków sześcianu podłączono prąd. Opór każdej krawędzi jest równy 1. Wyznaczyć opór całego układu.

Opór kostki I4 Transportujemy 12 worków z punktu żółtego do czerwonego. Na pierwszym odcinku (żółty-brązowy) dzielimy na 4 po 3. Potrzebujemy zatem 3 jednostek czasu. Na drugim odcinku puszczamy po 1. Na trzecim (brązowy-fioletowy) to samo. Na czwartym (fioletowy-zielony) tak, jak na pierwszym, szybkość 1/3. Łącznie: transportujemy ciężar 12 w czasie 3 + 1 + 1 + 3 = 8. Odpowiedź:

Do czego dąży n przy n  ∞ ? Zadanie. Do przeciwległych wierzchołków kostki In podłączono prąd. Opór każdej krawędzi kostki jest równy 1. Wyznaczyć opór układu. Odpowiedź: Jak obliczyć n ? Do czego dąży n przy n  ∞ ?

Dla n = 100 opór jest równy w przybliżeniu 0,0202063, a dokładnie Opór n-kostki Dla n = 100 opór jest równy w przybliżeniu 0,0202063, a dokładnie

Kółko i krzyżyk dla matematyka Potnijmy sześcian na 4  4  4 małe kostki. Gracze stawiają na przemian kółka i krzyżyki (albo kropki różnych kolorów) w kostkach. Wygrywa ten, kto pierwszy ustawi swoje cztery symbole w jednej linii. Ćwiczenie (na zrozumienie reguł). Ten, na kogo przypada ruch, wygrywa. Gdzie ma postawić?

Kółko i krzyżyk dla prawdziwego matematyka Oto kostka I4. Ustaw swoje kropki na jednej linii. Narysuj kostkę I5 , pociętą na 66 kosteczek i graj ..... A może nie trzeba rysować?

Co ona i on robią w przestrzeni ? W przeciwległych wierzchołkach sześcianu siedzą mucha i pająk. Mucha zaczyna łazić po krawędziach sześcianu wybierając co minutę losowo jeden z kierunków. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że mucha przeżyje n (minut). Punkt widzenia pająka: prawdopodobieństwo obiadu po co najwyżej n minutach.

Okrągłości podobają się wszystkim... Czyli o sferze; oczywiście w n wymiarach!!!!

Hegel: zabawki dla dzieci są symbolami metafizycznymi Piłka: symbol jedności wszechogarniającej świat; Ball = Bild vom All . Sześcian – symbol równości w jedności; Kula reprezentuje ruch (teza) Sześcian reprezentuje spoczynek (antyteza) Walec łączy te dwie sprzeczności (synteza)

Sphere The God is a circle whose centre is everywhere and circumference nowhere (medieval)

Okrągłości podobają się wszystkim... czyli o sferze; oczywiście w n wymiarach!!!!

Okrągłości podobają się wszystkim Sfera jest powierzchnią zamkniętą, bez brzegu: nie ma takiej linii, za którą sfery by już nie było. Ogranicza pewien obszar: wnętrze kuli. Oglądana z każdej strony wygląda zawsze jak koło. Ze względu na doskonałą symetrię nadaje się do gier: toczy się gładko i równo – inaczej niż elipsoidalna piłka do rugby czy futbolu amerykańskiego. Ma stałą, niezerową krzywiznę i dlatego właśnie nie da się izometrycznie położyć na płaszczyźnie. Każda mapa musi coś zniekształcać. Kuli pokrytej włosami nie można gładko zaczesać; zawsze jest co najmniej jeden punkt, w którym włosy utworzą wir bez określonego kierunku. To cytat ze słynnej książki Kalejdoskop Matematyczny Hugona Steinhausa (1882 – 1976), wyrażający popularnie znakomite twierdzenie Karola Borsuka (1905 – 1982): nie istnieje ciągłe pole wektorowe nigdzie nie znikające na sferze. Inne twierdzenie Borsuka o sferze: sfera nie jest retraktem kuli. Jeszcze jedno można popularnie sformułować tak: w każdym momencie są na Ziemi dwa antypodyczne miejsca, w których jest taka sama temperatura i takie samo ciśnienie.

Objętość i pole powierzchni sfery n-wymiarowej –         =  

Jak by się żyło w wysokich wymiarach? –        W przestrzeniach o wyższych wymiarach byśmy marzli, ale bylibyśmy zwinniejsi. –        Sprawdzić ani udowodnić się nie da, to tylko czyste spekulacje, zabawa intelektualna. Ale pouczająca. Spójrzmy na wzory. Stosunek objętości kuli do pola jej powierzchni jest gorszy niż w naszym świecie. Ponieważ ciepło ucieka z ciała (albo wnika do niego) całą powierzchnią, więc im gorszy ten stosunek, tym łatwiej upiec jabłko w piekarniku i tym szybciej tracimy ciepło na mrozie. Mięśnie są blisko powierzchni ciała. Zatem im więcej ciała jest bliżej powierzchni, tym zwierzę jest zwinniejsze. Wystarczy porównać słonia i mysz. W przestrzeni czterowymiarowej tej stosunek działałby na naszą korzyść.

Homotopia Pierwsza grupa homotopii mierzy ile i jakie dziury są w przestrzeni. Matematyk rzekł zdziwiony: Ona nie ma drugiej strony!!!! Godzinami tnę ją wzdłuż - Ona cała jest i już. A ja jestem już zmęczony.

Hipoteza Poincaré Henri Poincaré (1854 – 1912) można nazwać „ojcem topologii”, zwanej wtedy Analysis Situs (analiza położenia). Hipoteza Henri Poincaré (1854 – 1912). Czy każda spójna i jednospójna rozmaitość topologiczna bez brzegu jest sferą S3 ? Problem nie rozwiązany od blisko 100 lat. Dla sfery wymiaru n > 5 rozstrzygnął to Stephen Smale w latach 60-ych. Dla n = 4 Michael Freedman w latach 80-ych. Obaj dostali medale Fieldsa. W 2000 roku hipoteza Poincare została uznana przez Instytut Claya za jeden z siedmiu najważniejszych problemów matematyki. Za rozwiązanie każdego z nich czeka nagroda w wysokości miliona dolarów.

Kody Początek Ody do Radości Ludwiga van Beethovena. Salvadore Dali, Corpus Hypercubicus, (1954). Christaian Morgenstern, Das raffinierte Tier, w przekładzie Stanisława Baranczaka

Dante Alighieri, Boska komedia – ostatnie wersy. All’alta fantasia qui manco’ possa Ma gia’ volgeva il mio disio e l’velle, Si come nota ch’igualmente é mossa, L’amor che move il sole e altre stelle. Dalej fantazja moja nie nadąży. A już wtórzyła pragnieniu i woli Jak koło, które w parze z kołem krąży. Miłość, co wprawia w ruch słońce i gwiazdy.