Hipersześciany i przestrzenie wielowymiarowe

Prezentacja na temat: "Hipersześciany i przestrzenie wielowymiarowe"— Zapis prezentacji:

1 Hipersześciany i przestrzenie wielowymiarowe
Bartłomiej Pawlik, 29 kwietnia 2009r.

2 I. Wstęp

3 I. Wstęp

4 I. Wstęp

5 I. Wstęp

6 I. Wstęp

7 I. Wstęp Wymiarem nazywamy liczbę współrzędnych, które są niezbędne do precyzyjnego określenia położenia punktu w danej przestrzeni.

8 I. Wstęp Wymiarem nazywamy liczbę współrzędnych, które są niezbędne do precyzyjnego określenia położenia punktu w danej przestrzeni. Wymiar jest największą możliwą liczbą prostych prostopadłych przechodzących przez jeden punkt danej przestrzeni.

9 II. Hipersześciany

10 II. Hipersześciany Sześcianem (heksaedrem) nazywamy wielościan foremny o sześciu bokach w kształcie identycznych kwadratów.

11 II. Hipersześciany Sześcianem (heksaedrem) nazywamy wielościan foremny o sześciu bokach w kształcie identycznych kwadratów. Sześcian jest obiektem trójwymiarowym.

12 II. Hipersześciany Sześcianem (heksaedrem) nazywamy wielościan foremny o sześciu bokach w kształcie identycznych kwadratów. Sześcian jest obiektem trójwymiarowym. Aby skonstruować sześcian, wystarczy złożyć ze sobą sześć kwadratów, które są obiektami dwuwymiarowymi.

13 II. Hipersześciany dla pewnego układu współrzędnych.
Sześcian o boku można zdefiniować również jako zbiór punktów przestrzeni kartezjańskiej o współrzędnych spełniających układ nierówności dla pewnego układu współrzędnych.

14 II. Hipersześciany Hipersześcianem nazywamy uogólnienie sześcianu w n-wymiarowych przestrzeniach kartezjańskich

15 II. Hipersześciany Hipersześcian o krawędzi długości a w n-wymiarowej przestrzeni kartezjańskiej jest zbiorem jej punktów o współrzędnych , które spełniają układ nierówności dla pewnego układu współrzędnych.

16 II. Hipersześciany Hipersześcian o krawędzi długości w n-wymiarowej przestrzeni kartezjańskiej jest zbiorem jej punktów o współrzędnych , które spełniają nierówność dla pewnego układu współrzędnych.

17 II. Hipersześciany Hipersześciany:

18 II. Hipersześciany Hipersześciany:

19 II. Hipersześciany Hipersześciany:

20 II. Hipersześciany Hipersześciany:

21 III. Podstawowe własności hipersześcianów

22 III. Podstawowe własności hipersześcianów
Liczba wierzchołków n-wymiarowego hipersześcianu wynosi

23 III. Podstawowe własności hipersześcianów
Liczba wierzchołków n-wymiarowego hipersześcianu wynosi np. odcinek – 2 wierzchołki

24 III. Podstawowe własności hipersześcianów
Liczba wierzchołków n-wymiarowego hipersześcianu wynosi np. sześcian – 8 wierzchołków

25 III. Podstawowe własności hipersześcianów
Liczba wierzchołków n-wymiarowego hipersześcianu wynosi np. tesserakt – 16 wierzchołków

26 III. Podstawowe własności hipersześcianów
2. Hipersześcian n-wymiarowy jest złożony z 2n hipersześcianów (n-1)-wymiarowych.

27 III. Podstawowe własności hipersześcianów
2. Hipersześcian n-wymiarowy jest złożony z 2n hipersześcianów (n-1)-wymiarowych. Ściślej rzecz biorąc, hipersześcian n-wymiarowy ma 2n ścian (n-1)-wymiarowych, będących również hipersześcianami.

28 III. Podstawowe własności hipersześcianów
2. Hipersześcian n-wymiarowy jest złożony z 2n hipersześcianów (n-1)-wymiarowych. Ściślej rzecz biorąc, hipersześcian n-wymiarowy ma 2n ścian (n-1)-wymiarowych, będących również hipersześcianami. Przykładowo kwadrat ma cztery ściany jednowymiarowe (odcinki), sześcian ma sześć ścian będących kwadratami. Analogicznie tesserakt ma osiem ścian trójwymiarowych (komórek), będących sześcianami, a penterakt (hipersześcian pięciowymiarowy) ma dziesięć ścian czterowymiarowych, będących tesseraktami.

29 III. Podstawowe własności hipersześcianów
3. Objętość (n-wymiarowa miara Lebesgue’a) hipersześcianu o boku a wyraża się wzorem

30 III. Podstawowe własności hipersześcianów
3. Objętość (n-wymiarowa miara Lebesgue’a) hipersześcianu o boku a wyraża się wzorem Uwaga! To, co tutaj nazywamy objętością, w przypadku kwadratu jest powszechnie znane jako jego pole, a w przypadku odcinka jako jego długości.

31 III. Podstawowe własności hipersześcianów
3. Objętość (n-wymiarowa miara Lebesgue’a) hipersześcianu o boku a wyraża się wzorem Ogólnie rzecz ujmując za jednostkę objętości w przestrzeni n-wymiarowej przyjmuje się n-wymiarowy hipersześcian o długości krawędzi odpowiadających jednostce długości w rozpatrywanym systemie miar (przykładową długością krawędzi jednostkowej może być 1 metr).

32 III. Podstawowe własności hipersześcianów
4. Długość przekątnej n-wymiarowego hipersześcianu o boku a wyraża się wzorem

33 III. Podstawowe własności hipersześcianów
4. Długość przekątnej n-wymiarowego hipersześcianu o boku a wyraża się wzorem . Uwaga! Za przekątną n-wymiarowego hipersześcianu uznajemy taką jego przekątną, która nie jest jednocześnie przekątną żadnego zawartego w nim hipersześcianu o wymiarze mniejszym niż n.

34 III. Podstawowe własności hipersześcianów
4. Długość przekątnej n-wymiarowego hipersześcianu o boku a wyraża się wzorem . Z powyższego wzoru wynika, że długość przekątnej odcinka o boku a wynosi a, długość przekątnej odpowiedniego sześcianu wynosi , a przekątna tesseraktu ma długość 2a.

35 III. Podstawowe własności hipersześcianów
5. Promień hiperkuli wpisanej w hipersześcian wyraża się wzorem:

36 III. Podstawowe własności hipersześcianów
6. Promień hiperkuli wpisanej w hipersześcian wyraża się wzorem: . 7. Promień hiperkuli opisanej na hipersześcianie wyraża się wzorem: .

37 III. Podstawowe własności hipersześcianów
8. Wzór na objętość n-wymiarowej hiperkuli wpisanej w n-wymiarowy hipersześcian to:

38 III. Podstawowe własności hipersześcianów
8. Wzór na objętość n-wymiarowej hiperkuli wpisanej w n-wymiarowy hipersześcian to: 9. Wzór na objętość n-wymiarowej hiperkuli opisanej na n-wymiarowym hipersześcianie to:

39 IV. Konstrukcja hipersześcianów

40 IV. Konstrukcja hipersześcianów
Konstrukcja sześcianu:

41 IV. Konstrukcja hipersześcianów
Konstrukcja sześcianu:

42 IV. Konstrukcja hipersześcianów
Konstrukcja kwadratu:

43 IV. Konstrukcja hipersześcianów
Konstrukcja tesseraktu:

44 V. Płaszczaki

45 V. Płaszczaki Płaszczak – popularnonaukowa nazwa oznaczające istoty istniejące w przestrzeni dwuwymiarowej (np. na płaszczyźnie lub powierzchni kuli).

46 V. Płaszczaki Płaszczak – popularnonaukowa nazwa oznaczające istoty istniejące w przestrzeni dwuwymiarowej (np. na płaszczyźnie lub powierzchni kuli). Edwin Abbott – angielski teolog i znawca literatury, twórca idei płaszczaków.

47 V. Płaszczaki

48 V. Płaszczaki

49 V. Płaszczaki

50 V. Płaszczaki

51 V. Płaszczaki

52 V. Płaszczaki

53 V. Płaszczaki

54 V. Płaszczaki Trójwymiarowa siatka tesseraktu:

55 V. Płaszczaki

56 VI. Hipersześciany i przestrzenie wielowymiarowe poza matematyką

57 V. Hipersześciany i przestrzenie wielowymiarowe poza matematyką
1. Motyw czterowymiarowego hipersześcianu został wykorzystany przez reżysera Andrzeja Sekułę w kanadyjskim horrorze pt. Cube 2: Hypercube z 2002 roku.

58 V. Hipersześciany i przestrzenie wielowymiarowe poza matematyką
Literatura. Jedną z najczęściej wykorzystywanych własności przestrzeni czterowymiarowych jest możliwość nieciągłego przemieszczania się obiektu w danej przestrzeni, przy pomocy przestrzeni o wyższym wymiarze.

59 V. Hipersześciany i przestrzenie wielowymiarowe poza matematyką
Literatura. Herbert Wells Robert Heinlein Marcel Proust Fiodor Dostojewski

60 V. Hipersześciany i przestrzenie wielowymiarowe poza matematyką
3. Malarstwo. Salvador Dali – Corpus Hypercubus (1954)

61 V. Hipersześciany i przestrzenie wielowymiarowe poza matematyką
3. Malarstwo. Czwarty wymiar odgrywał również ważną rolę w narodzinach kubizmu (właściwie była to bardzo popularna idea na przełomie XIX i XX wieku). Sama nazwa kubizm wywodzi się łacińskiego słowa cubus, co oznacza kostka, lub sześcian.

62 V. Hipersześciany i przestrzenie wielowymiarowe poza matematyką
Fizyka. Teoria strun. Teoria superstrun. M-teoria.

63 V. Hipersześciany i przestrzenie wielowymiarowe poza matematyką
Fizyka. Teoria superstrun. 10 – 26 wymiarów; nadmiarowe wymiary długości rzędu długości Plancka ( metra).

64 V. Hipersześciany i przestrzenie wielowymiarowe poza matematyką
Fizyka. Wymiary są w zasadzie wynalazkami i powinny być stosowane z dużą zręcznością, jeśli mają przynieść pożytek z zastosowań w fizyce. Paul Wesson