Przykłady zastosowań programowania nieliniowego Zagadnienie wyboru optymalnego portfela akcji Modele optymalizacji zapasów
Optymalny portfel akcji Inwestor posiadający określony kapitał chce go ulokować na giełdzie kupując akcje. Każda akcja charakteryzowana jest przez swoją stopę zwrotu określającą dochód przypadający na jednostkę zainwestowanego kapitału w momencie t: gdzie Pt - cena akcji w momencie t; Dt - dywidenda uzyskana w momencie t.
Optymalny portfel akcji Aby opisać niepewność związaną z wysokością stopy zwrotu rozważa się rozkład stopy zwrotu – możliwe do osiągnięcia wartości Rt wraz z odpowiadającymi im prawdopodobieństwami. Rozkład stopy zwrotu zależy od sytuacji finansowej spółki, otoczenia makroekonomicznego, sytuacji na giełdzie czy koniunktury w danym sektorze gospodarki.
Optymalny portfel akcji Zmienną losową Rt charakteryzują: oczekiwana stopa zwrotu akcji ryzyko akcji. Ryzyko występuje wówczas, gdy możliwa do zrealizowania stopa zwrotu różni się od oczekiwanej. Jest ono traktowane bądź jako szansa uzyskania wysokich zwrotów z inwestycji bądź jako zagrożenie zysków inwestora.
Miary ryzyka Wariancja stopy zwrotu Odchylenie standardowe stopy zwrotu Semiwariancja stopy zwrotu
Miary ryzyka Uogólniona semiwariancja stopy zwrotu gdzie p – przyjęta arbitralnie liczba Odchylenie przeciętne stopy zwrotu
Optymalny portfel akcji Gdy inwestor kupuje kilka akcji istotne jest powiązanie ich stóp zwrotu mierzone współczynnikiem korelacji. Kowariancja stóp zwrotu dana jest wzorem: zaś współczynnik korelacji liczymy jako:
Przykład Rozważany jest zakup akcji spółki A i B. Eksperci określili 5 możliwych scenariuszy stanu rynku w przyszłości Stan Prawdopodobieństwo RA RB 1 0,1 30% 10% 2 0,2 15% 7% 3 0,4 5% 4 -5% 3% 5 -20% 0%
Przykład Oczekiwane stopy zwrotu tych akcji są sobie równe: Miary ryzyka: Współczynnik korelacji:
Portfel akcji – przypadek dwóch akcji Portfelowa stopa zwrotu dana jest wzorem: gdzie - udziały akcji w portfelu Wartość oczekiwana portfelowej stopy zwrotu: Wariancja portfelowej stopy zwrotu:
Portfel akcji – przypadek dwóch akcji
Przypadek dowolnej liczby walorów Portfelowa stopa zwrotu: Wartość oczekiwana portfelowej stopy zwrotu: Wariancja portfelowej stopy zwrotu:
Model Markowitza - wariant I
Model Markowitza - wariant II
Przypadki szczególne dla dwu walorów Doskonała korelacja dodatnia Ryzyko portfela mierzone odchyleniem standardowym portfelowej stopy zwrotu jest średnią ważoną ryzyk poszczególnych walorów.
Przypadki szczególne dla dwu walorów Doskonała korelacja ujemna Ryzyko portfela może być całkowicie wyeliminowane, jeśli Dodanie waloru do portfela może nie tylko podwyższyć oczekiwaną portfelową stopę zwrotu, ale również obniżyć ryzyko lub nawet je całkowicie wyeliminować.
Przypadki szczególne dla dwu walorów Zerowa korelacja Dodanie waloru do portfela może nie tylko podwyższyć oczekiwaną portfelową stopę zwrotu, ale również obniżyć ryzyko.
Efektywność portfela Portfel efektywny – portfel, dla którego nie istnieje portfel od niego lepszy zarówno pod względem oczekiwanej stopy zwrotu jak i ryzyka. Portfel nieefektywny: istnieje portfel, który przy tym samym poziomie ryzyka ma wyższą oczekiwaną stopę zwrotu; istnieje portfel, który przy tym samym poziomie oczekiwanej stopy zwrotu ma niższe ryzyko.
Modele optymalizacji zapasów Zapasami w działalności gospodarczej są wszelkie aktywa przeznaczone do późniejszego wykorzystania. Najczęściej rozważane są zapasy materiałowe (surowce, półprodukty, produkcja w toku, wyroby gotowe, części zamienne), ale mogą to być także aktywa finansowe czy zasoby siły roboczej. Rozważamy problem utrzymywania zapasów materiałowych w działalności produkcyjnej lub handlowej, ale właściwa polityka zapasów odgrywa nie mniejszą rolę w działalności usługowej (przewozach pasażerskich, hotelarstwie, służbie zdrowia itp.).
Modele optymalizacji zapasów Przyjmujemy, iż podmioty gospodarcze zmuszone są do gromadzenia zapasów materialnych. Przypadki udanego wdrożenia systemu just-in-time należą do rzadkości. Powody utrzymywania zapasów: Utrzymanie płynności procesu produkcji pomiędzy wydziałami i stanowiskami; Wygładzanie produkcji związane ze zmianami popytu (np. jego sezonowością); Korzyści skali (redukcja kosztów stałych związanych z uruchomieniem nowej produkcji czy kosztów zmiennych poprzez upusty cenowe); Redukcja ryzyka rynkowego poprzez poprawę poziomu obsługi i wizerunku firmy.
Modele optymalizacji zapasów Utrzymywanie zapasów wiąże się z następującymi kosztami: koszty magazynowania (uznaje się je za proporcjonalne do wielkości zapasu) koszt kapitału zamrożonego w zapasach podatki i ubezpieczenia koszty fizycznej obsługi magazynowanych dóbr koszty związane z utratą wartości zapasów ze względu na fizyczne i techniczne starzenie się
Modele optymalizacji zapasów koszty odnowienia (traktuje się je jako stałe względem wielkości partii zakupu lub produkcji) koszt zamówienia koszt uruchomienia produkcji koszty zakupu lub produkcji partii zamówienia niewymierne koszty związane z postrzeganiem nagromadzonych zapasów przez otoczenie rynkowe (wysoki poziom zapasów jest traktowany jako sygnał niewłaściwego zarządzania i trudności w funkcjonowaniu firmy)
Modele optymalizacji zapasów Optymalizacja zapasów polegać będzie nie na eliminacji zapasów w ogóle, ale na eliminacji zapasów zbędnych. W zarządzaniu zapasami korzysta się z modeli zapasów (ang. inventory models), które dostarczają odpowiedzi na dwa zasadnicze pytania: Kiedy należy odnowić zapas? W jakiej wysokości zapas ma być odnowiony? Modele te dzieli się w zależności od ilości posiadanych informacji o popycie w horyzoncie planowania na: modele deterministyczne (popyt znany); modele stochastyczne (popyt losowy). Kryterium decyzyjnym dla wszystkich modeli jest minimalizacja kosztu utrzymywania zapasów.
Klasyczny model sterowania zapasami – model Willsona Jest modelem optymalnej wielkości zmówienia. Przyjmuje się założenie o równomiernym zużyciu zamawianego towaru i konstruuje funkcję kryterium w postaci kosztu całkowitego utrzymywania zapasów, na który składają się: koszt odnowienia, koszt zakupu, koszt magazynowania.
Klasyczny model sterowania zapasami – model Willsona gdzie D – popyt w ciągu roku; Q – wielkość partii zakupu; K – koszt odnowienia ponoszony D/Q razy (koszt pojedynczego zamówienia); p – cena jednostkowa surowca; h – jednostkowy koszt magazynowania.
Klasyczny model sterowania zapasami – model Willsona Stąd optymalna wielkość zamówienia wyraża się wzorem Willsona: Wówczas optymalna liczba zamówień wynosi: zaś optymalna długość cyklu zapasów (długość okresu między zamówieniami) to:
Przykład Przedsiębiorstwo zużywa rocznie 50000 sztuk półproduktu R40 do produkcji własnej. Jednostkowa cena zakupu wynosi 10 zł. Koszty związane z obsługą zamówienia, niezależne od wielkości zamówienia, wynoszą 150 zł. Przedsiębiorstwo szacuje koszt własnego kapitału obrotowego na 13,5% w skali roku. Magazynowany towar jest ubezpieczany według stawki wynoszącej 0,125% wartości towaru miesięcznie. Ustalić optymalną wielkość zamówienia. p = 10 zł D = 50000 K = 150 zł h = 13,5%*10 zł + 12*0,125%*10 zł = 1,5 zł
Przykład Wówczas:
Model II - model z kosztami odłożonego popytu W pewnych sytuacjach dopuszcza się występowanie odłożonego popytu, który nie jest tracony, lecz generuje odpowiednie koszty. Przyjmijmy b – jednostkowy koszt odłożonego popytu (trudno wymierny koszt utraty dobrego imienia firmy i przyszłych zysków); Q – rzeczywista maksymalna wielkość zapasu, Q0 – wielkość zamówienia (Q0 > Q).
Model II - model z kosztami odłożonego popytu Wówczas dodatni poziom zapasu utrzymuje się w okresie , zaś w okresie występuje niedobór. Przeciętny poziom zapasu wynosi , zaś przeciętny poziom popytu odłożonego to . Stąd całkowity koszt magazynowania wyraża się wzorem:
Model II - model z kosztami odłożonego popytu Funkcja kryterium jest funkcją nieliniową dwóch zmiennych Q i Q0. Po wyliczeniu pochodnych cząstkowych i przyrównaniu ich do 0 otrzymujemy:
Model II - model z kosztami odłożonego popytu Jeżeli koszt odłożonego popytu został oszacowany prawidłowo, polityka zapasów zgodna z modelem uwzględniającym niedobór jest lepsza od polityki nie uwzględniającej niedoboru. Jeśli , to zbiega do z modelu I. Można więc przyjąć, że w modelu pierwszym, gdzie odłożony popyt jest wykluczony, przyjmuje się nieskończony koszt jednostkowy takiego popytu.
Przykład – cd. Załóżmy, że w naszym przykładzie b = 0,5 zł. Wówczas:
Model III - model z dyskontem ilościowym Częstą praktyką jest udzielanie dyskonta ilościowego, tj. obniżanie ceny jednostkowej wraz ze wzrostem wielkości zakupowanej partii. Zazwyczaj dostawca ustala przedziały ilościowe dla kolejnych progów cenowych, np.: Przeciętnie spotyka się 3-5 przedziałów. Wówczas
Model III - model z dyskontem ilościowym Powyższa funkcja jest nieciągła, więc nie ma tu zastosowania rachunek pochodnych. W to miejsce stosujemy następujące postępowanie: Dla najniższej proponowanej ceny wyznacza się Q*. Jeśli Q* zawiera się w przedziale ilości dla tej ceny, to jest to punkt, w którym funkcja celu osiąga minimum lokalne i globalne zarazem. Jeśli Q* jest za małe, to przechodzimy do punktu 2. Obliczamy Q* dla kolejnej ceny. Jeśli zawiera się ono w przedziale dla tej ceny, to przechodzimy do punktu 3. Jeśli jest zbyt małe, to powtarzamy obliczenia dla kolejnych poziomów cen aż do uzyskania wartości zawierającej się w przedziale ilości dla danej ceny. Dla znalezionej w poprzednim punkcie wielkości Q* oraz wszystkich dolnych granic przedziałów powyżej tej wartości obliczamy koszty całkowite KC. Najniższa wartość tych kosztów wskazuje optymalną wielkość zamówienia.
Przykład Bar szybkiej obsługi zużywa tygodniowo 10 kartonów naczyń jednorazowych. Dostawca oferuje różne ceny jednostkowe kartonu naczyń w zależności od wielkości partii: Kierownictw baru szacuje koszty magazynowania na 18% wartości kartonu w skali roku. Koszt odnowienia K = 100 zł. Jaką partię kartonów powinno się zamawiać? Wielkość zamówienia Cena jednostkowa 0-99 40 zł 100-249 39,6 zł 250-499 39 zł 500- 38 zł
Jednostkowy koszt magazynowania h Przykład Popyt roczny = 10*52 = 520 kartonów Jednostkowe koszty magazynowania zależą od ceny jednostkowej i wynoszą: Cena jednostkowa Jednostkowy koszt magazynowania h 40 zł 7,2 zł 39,6 zł 7,13 zł 39 zł 7,02 zł 38 zł 6,84 zł
Przykład Dla najniższej ceny Wielkość ta nie zawiera się w przedziale ilości
Przykład KC(250) = 21366; wartość minimalna KC(500) = 21574; Stąd Q* = 250 i n* = 2.
Programowanie sieciowe Programowanie sieciowe służy planowaniu i kontroli złożonych przedsięwzięć inwestycyjnych, naukowo-badawczych, remontowych i innych. Podstawowym narzędziem analizy jest tu model sieciowy (sieć czynności), będący grafem skierowanym, acyklicznym, spójnym, obciążonym, o jednym wierzchołku początkowym i jednym końcowym. Graf ten składa się z: wierzchołków oznaczających zdarzenia, tj. pewne etapy realizacji przedsięwzięcia; łuków oznaczających poszczególne czynności projektu.
Programowanie sieciowe Konstrukcja sieci czynności ma na celu ustalenie harmonogramu przedsięwzięcia, wyznaczenie charakterystyk czasowych zdarzeń i czynności oraz wytyczenie tzw. ścieżki krytycznej. Ścieżka krytyczna jest to najdłuższy ciąg następujących po sobie czynności, tj. najdłuższa droga w grafie pomiędzy wierzchołkiem początkowym i końcowym. Ścieżka krytyczna wyznacza najkrótszy termin realizacji przedsięwzięcia.
Metoda ścieżki krytycznej Metoda ścieżki krytycznej (ang. critical path method – CPM): zakłada, że obciążenia w grafie są zadane deterministycznie (są znane). Przyjmujemy dalej, że obciążenia te to czasy trwania czynności, tij.
Metoda ścieżki krytycznej Charakterystyki czasowe zdarzeń: najwcześniejszy możliwy termin zaistnienia zdarzenia j: gdzie i < j oraz zdarzenie i bezpośrednio poprzedza zdarzenie j; przyjmujemy . najpóźniejszy dopuszczalny termin zaistnienia zdarzenia i: gdzie j > i oraz zdarzenia j następują bezpośrednio po zdarzeniu i; dla zdarzenia końcowego przyjmujemy Luz czasowy zdarzenia i: Luz czasowy wskazuje, o ile może opóźnić się zaistnienie zdarzenia bez wpływa na termin realizacji całego projektu.
Metoda ścieżki krytycznej najwcześniejszy możliwy termin rozpoczęcia czynności i-j wyznacza najwcześniejszy możliwy termin zajścia zdarzenia początkowego tej czynności, ; najpóźniejszy dopuszczalny termin zakończenia czynności i-j jest równy najpóźniejszemu dopuszczalnemu terminowi zajścia zdarzenia końcowego tej czynności, ; zapas całkowity (całkowita rezerwa czasu wykonania) czynności i-j definiuje się jako Stanowi on rezerwę czasu, który może być wykorzystany dodatkowo na wykonanie czynności bez szkody dla projektu;
Metoda ścieżki krytycznej zapas swobodny czynności i-j Informuje on, o ile można wydłużyć realizację czynności bez wpływu na zaistnienie jej zdarzenia końcowego. zapas warunkowy czynności i-j Wykorzystanie tej rezerwy czasu nie wpływa na zapasy czasu czynności poprzedzających.
Metoda ścieżki krytycznej Wyznaczone terminy zajścia zdarzeń, terminy rozpoczęcia i zakończenia czynności składają się na plan wykonania projektu zwany harmonogramem projektu. Na ścieżkę krytyczną składają się zdarzenia i czynności krytyczne. Warunkiem koniecznym i dostatecznym tego, aby dana czynność była czynnością krytyczną jest . Tym samym wydłużenie jakiejkolwiek czynności krytycznej o jednostkę powoduje opóźnienie terminu realizacji projektu o jednostkę. Dla zdarzeń krytycznych zachodzi .
Metoda ścieżki krytycznej Można zauważyć, że w sieci istnieje przynajmniej jedna ścieżka krytyczna. Może być ich więcej - w skrajnym przypadku każda ścieżka w grafie jest ścieżką krytyczną. Sytuacja ta oznacza konieczność natychmiastowego podjęcia realizacji poszczególnych czynności.
Metoda PERT Metoda PERT (ang. program evaluation and review technique) zdeterminowana struktura sieci, ale parametry sieci są zmiennymi losowymi; ma zastosowanie przy projektowaniu procesów badawczo-rozwojowych, których przebiegu w czasie nie daje się do końca zaplanować; opracowana w 1958 roku na potrzeby pocisku rakietowego POLARIS.
Metoda PERT Zakłada się, że czasy trwania czynności mają rozkłady beta (a w szczególności rozkłady normalne). Dla każdej czynności podaje się następujące czasy trwania: optymistyczny czas trwania czynności aij; pesymistyczny czas trwania czynności bij; czas modalny (najbardziej prawdopodobny) mij. Wówczas wyznacza się: wartość oczekiwaną czasu trwania czynności i-j ze wzoru: odchylenie standardowe czasu trwania czynności i-j ze wzoru:
Metoda PERT Sieć czynności buduje się i analizuje podobnie jak w metodzie ścieżki krytycznej. Niech T będzie zmienną losową oznaczającą czas trwania projektu. Możemy przyjąć, że T ~ N(te, s), gdzie te - najwcześniejszy spodziewany czas zakończenia projektu będący suma wartości oczekiwanych czasów trwania czynności krytycznych, tj.
Metoda PERT s – odchylenie standardowe najwcześniejszego czasu zakończenia projektu, przy założeniu niezależności czasów trwania poszczególnych czynności równe Innymi słowy – wariancja najwcześniejszego czasu zakończenia przedsięwzięcia jest sumą wariancji czasów trwania czynności na ścieżce krytycznej.
Metoda PERT Wówczas Celem metody PERT jest przede wszystkim ocena prawdopodobieństwa zakończenia przedsięwzięcia w pewnym terminie dyrektywnym td.: gdzie F - dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego.
Przykład Mając dane informacje o czasach trwania poszczególnych czynności projektu określić najwcześniejszy spodziewany czas zakończenia przedsięwzięcia oraz prawdopodobieństwo dotrzymania terminu dyrektywnego 20 dni.
Oceny czasów trwania czynności w dniach Przykład Czynność i-j Oceny czasów trwania czynności w dniach a m b 1-2 2 4 6 1-3 1 5 9 1-4 10 2-5 8 3-5 3-6 13 4-6 3 5-7 6-7