Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych Onnela, Chakraborti, Kaski, Kertesz, Kanto Physica Scripta T106, 48 (2003)

macierz korelacji i macierz odległości, Plan prezentacji wprowadzenie, dane wejściowe, macierz korelacji i macierz odległości, konstrukcja drzew i grafów aktywów, charakteryzacja rynku za pomocą ww. pojęć, ewolucja grafów i drzew, rozkład stopni wierzchołków w drzewach i grafach, podsumowanie. Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Dane wejściowe podstawą rozważań jest giełda New York Stock Exchange, gdzie notowane jest N=477 spółek, z okresu od 02/01/1980 do 31/12/1999; bierzemy pod uwagę 5056 notowań dla każdej spółki τ = 1,2,... 5056 (podczas weekendów i świąt nie ma notowań) interesują nas ceny zamknięcia dla poszczególnych akcji – Pi(τ), a raczej... ... zwroty akcji, zgodnie ze wzorem: Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Dane wejściowe w efekcie dysponujemy następującą macierzą ri(τ): δT w celu wygładzenia danych, tworzone jest M okien (t=1, 2, ..., M) o długości T, kolejne okna są przesunięte względem siebie o δT (tzn. częściowo nakładają się na siebie), kolejne zwroty w danym oknie t tworzą wektor zwrotów rit Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Macierz korelacji i macierz odległości aby móc scharakteryzować ewolucję czasową spółek tworzymy współczynnik korelacji pomiędzy akcjami i oraz j w danym czasie t (t odnosi się do okna czasowego): w efekcie takiej operacji otrzymujemy macierz korelacji Ct NxN współczynników ρtij o wartościach z przedziału <-1;1> Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Macierz korelacji i macierz odległości ponieważ chcemy uzyskać grafy (lub drzewa) transformujemy wartości korelacji na odległości pomiędzy aktywami za pomocą wzoru: taka transformacja zapewnia spełnienie trzech aksjomatów przestrzeni metrycznej: w efekcie otrzymujemy macierz odległości Dt (NxN) Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Konstrukcja drzew i grafów aktywów zaproponowane są dwa podejścia do odwzorowania informacji wynikających z macierzy odległości tworzenie drzewa tworzenie grafu 1) TWORZENIE DRZEWA tworzenie drzewa odbywa się za pomocą algorytmu najkrótszego drzewa rozpinającego (Minimum Spanning Tree) wg. Kruskala, cechami charakterystycznymi tego algorytmu jest brak pętli całkowicie połączona struktura stała liczba wierzchołków Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Konstrukcja drzew i grafów aktywów Dla N-węzłowego drzewa z wagami (na krawędziach) algorytm MST jest następujący: 1 2 3 4 5 szeregujemy krawędzie wg. wag, dodajemy kolejne krawędzie, jeśli w efekcie dodania krawędzi powstałaby pętla, pomijamy krawędź, jeżeli liczba krawędzi wynosi N-1, kończymy tworzenie drzewa. 2 1 4 5 3 (3,4) 1 (2,3) 2 (2,1) (1,3) (1,4) 3 (4,5) (1,5) (2,4) 4 (3,5) 5 Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Konstrukcja drzew i grafów aktywów 2) TWORZENIE GRAFU odbywa się podobnie, ale nie pomijamy pętli: 1 2 3 4 5 szeregujemy krawędzie wg. wag, dodajemy kolejne krawędzie, jeżeli liczba krawędzi wynosi N-1, kończymy tworzenie grafu. 2 1 4 5 3 (3,4) 1 (2,3) 2 (2,1) (1,3) (1,4) 3 (4,5) (1,5) (2,4) 4 (3,5) 5 Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Konstrukcja drzew i grafów aktywów RÓŻNICE POMIĘDZY DRZEWEM A GRAFEM: tworzenie grafu jest przerywane po dodaniu N-1 krawędzi, tak aby rozmiar grafu (liczony w krawędziach) był taki sam jak drzewa, w efekcie graf nie obejmuje wszystkich wierzchołków (w odróżnieniu od drzewa), liczba wierzchołków V jest dla drzewa stała, natomiast dla grafu zmienia się w czasie, i, oczywiście, w drzewach nie istnieją pętle... Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Charakteryzacja rynku Charakteryzację rynku rozpoczynamy od wizualnego porównania rozkładów długości krawędzi. Dt Tt Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Charakteryzacja rynku Warto tu zauważyć: nieciągłość (krach z 1986 r.), dla grafów rozważamy tylko najkrótsze odległości, dla drzew większość wartości jest powyżej d=1.1, dla grafów raczej poniżej (efekt poprzedniego punktu). Gt Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Charakteryzacja rynku Zamiast korzystać z rozkładów wprowadza się następujące pojęcia (będące wartościami uśrednionymi): średnia odległość średni współczynnik korelacji znormalizowana długość drzewa znormalizowana długość grafu Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Charakteryzacja rynku Na kolejnych wykresach przedstawiono wartości średniej odległości, i znormalizowanych długości drzewa i grafu w funkcji czasu: podobne zachowanie, dla d i Lmst rp=0.98 rs=0.92, dla d i Lgraph rp=0.96 rs=0.87, wartości średnie <d>=1.29, <Lmst>=1.12 <Lgraph>=1.00 drzewo ze względu na algorytm MST jest „zmuszone” posiadać dłuższe krawędzie, graf ma tendencję do wyolbrzymiania skutków krachu, drzewo lepiej „podąża za rynkiem”. d(t) Lmst(t) Lgraph(t) t Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Charakteryzacja rynku Aby przekonać się o różnicach topologicznych powstałych pomiędzy grafem Gt=(VGt, EGt) i drzewem Tt=(VT, ETt) definiujemy przekrywanie (overlap) krawędzi jako: |...| - operator liczności zbioru, ogólnie, wielkość jest w miarę stała w czasie, średnio drzewa i grafy mają ok. 25% wspólnych krawędzi. Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Charakteryzacja rynku Interesujące jest, w jaki sposób zmienia się przekrycie podczas procesu tworzenia drzew i grafów (zakładamy, że n=1,2,..N-1 to kolejne kroki procesu): dla małych wartości n krawędzie powinny być identyczne, po przekroczeniu wartości krytycznej n=nC ten proces kończy się (pojawia się pierwsza pętla), z rysunku jasno wynika, że pierwsza pętla pojawia się bardzo wcześnie. Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Ewolucja grafów i drzew Trwałość zarówno drzew jak i grafów można określić za pomocą współczynnika przeżycia, zdefiniowanego jako stosunek liczby wspólnych krawędzi w dwóch kolejnych grafach lub drzewach (chwile t-1 i t) do całkowitej liczby krawędzi: grafy mają większe σ niż drzewa (średnie wartości 94.8% i 82.6%), fluktuacje są mniejsze dla grafu niż dla drzewa (5.3% i 6.2%), obie krzywe wspólnie fluktuują, w obu przypadkach widać efekt Czarnego Poniedziałku (dla grafu bardziej), większa stabilność grafu związana jest z procesem jego tworzenia. Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Ewolucja grafów i drzew Rozwiniętą formą σ(t) jest długoterminowy współczynnika przeżycia, do którego wkład jedynie te krawędzie, które przetrwały bez przerwania cały okres kδT: dla grafu wyróżniamy dwa obszary (1/2, 4) i (4 1/12, 16 1/6), w pierwszym jest zanik wykładniczy w drugim scale-free, dla drzewa podobne obszary (1/12, 1 ½) i (1 7/12, 11 ¼), z tym, że w pierwszym obszarze zanik jest szybszy niż exponent dla grafu < σ(t,k)>~ k-1.39, dla drzewa < σ(t,k)>~ k-1.19 w drugim obszarze sytuacja się zmienia graf szybciej zanika. Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Rozkład stopni wierzchołków w drzewach i grafach We wcześniejszych pracach, dla innej grupy akcji, zaobserwowano potęgowe skalowanie się rozkładu stopni wierzchołków dla drzewa aktywów: Dla danych wykorzystywanych w tej publikacji otrzymano: drzewo normalne podczas krachu graf podczas krachu normalny Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .

Podsumowanie w publikacji zaproponowano nowe podejście do mapowania korelacji pomiędzy akcjami: grafy zamiast drzew, struktura grafów lepiej odzwierciedla korelacje, ponieważ w tym układzie dozwolone są pętle, mimo wszystko, drzewo lepiej „śledzi” rynek, a ponadto jest mniej podatne na krachy na rynku Julek Sienkiewicz . . : Drzewa i grafy aktywów na rynkach finansowych : . .