Logika Kategoryjna Michał R. Przybyłek.

Prezentacja na temat: "Logika Kategoryjna Michał R. Przybyłek."— Zapis prezentacji:

1 Logika Kategoryjna Michał R. Przybyłek

2 Szkice słonia Teoria kategorii jest o abstrakcji
spostrzegamy, że w różnych gałęziach matematyki istnieją podobne konstrukcje i próbujemy je opisać w jeden zuniformowany sposób Teoria kategorii jest o bezelementowym podejściu do uprawiania matematyki

3 Opisy subiektywne i relatywne
Arystoteles Galileusz

4 Opisy wewnętrzne i zewnętrzne
Ustrukturyzowane elementy Relatywne zachowanie

5 Uogólnione (multi)grafy

6 Kategorie Kategoria składa się z kolekcji:
Wierzchołków Obj Ścieżek Mor Każda ścieżka f z Mor ma przyporządkowany swój wierzchołek źródłowy A i docelowy B, co będziemy zapisywać f : A -> B Dla każdych dwóch ścieżek f : A -> B i g : B -> C istnieje ścieżka f#g : A -> C Dla każdego wierzchołka A istnieje ścieżka zerowa iA : A -> A Ponadto zachodzą następujące prawa: (f#g)#h = f#(g#h) dla dowolnych kompatybilnych ścieżek f, g, h f#iB = f, iA#f = g dla dowolnego f : A -> B

7 Przykłady kategorii Graf Liczby naturalne z porządkiem
Liczby rzeczywiste z porządkiem Zbiory i funkcje Zbiory i funkcje częściowe Monoid Algebry nad ustaloną sygnaturą i homomorfizmy Przestrzenie topologiczne i przekształcenia ciągłe

8 Charakteryzacje wierzchołków

9 Charakteryzacja ścieżek
f : A -> B jest mono, jeżeli dla dowolnego wierzchołka W i ścieżek x, y : W -> A zachodzi: x#f = y#f => x = y f : A -> B jest epi, jeżeli dla dowolnego wierzchołka W i ścieżek x, y : B -> W zachodzi: f#x = f#y => x = y f : A -> B jest split mono, jeżeli istnieje taka ścieżka g : B -> A, że f#g = iA f : A -> B jest split epi, jeżeli istnieje taka ścieżka g : B -> A, że g#f = iB f : A -> B jest izo, jeżeli istnieje taka ścieżka g : B -> A, że f#g = iA oraz g#f = iB

10 Esencje pojęć Produkty Kartezjańskie

11 Systemy dedukcyjne Aksjomaty Reguły

12 Homomorfizmy

13 Struktury

14 Funktory Funktor F z kategorii C do kategorii D to para funkcji F0 : Obj(C) -> Obj(D), F1 : Mor(C) -> Mor(D) zachowująca: źródła i cele - tj. dla dowolnej ścieżki f : A -> B zachodzi: F1(f) : F0(A) -> F0(B) złożenia - tj. dla dowolnej pary składalnych morfizmów f, g zachodzi: F1(f#g) = F1(f)#F1(g) identyczności - tj. F1(iA) = iFo(A)

15 Przykłady funktorów Homomorfizm grafów Włożenia Mnożenie Kartezjańskie
Potęgowanie Struktura podzbioru Struktura listy Struktura drzewa