Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 5 w Poznaniu ID grupy: 98/30_mf_g2 Opiekun: Olga Jakubczyk Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Twierdzenia i pojęcia geometryczne oraz ich ilustracja za pomocą fotografii. Semestr II rok szkolny 2010/2011

Geometria jest wszechobecna w życiu każdego człowieka, choć wiele osób nie zdaje sobie sprawy jak bardzo. Jeżeli mamy tego świadomość, to na każdym kroku możemy zaobserwować matematyczne prawidłowości w przyrodzie, sztuce, astronomii.

MATEMATYCZNE PRAWIDŁOWOŚCI W PRZYRODZIE Wiadomo, że z wielokątów foremnych płaszczyznę wypełniają szczelnie tylko trójkąty, kwadraty i sześciokąty. Wiadomo też, że im więcej boków ma wielokąt foremny, tym mniejszy jest jego obwód przy ograniczeniu tej samej powierzchni (najmniejszy obwód przy ustalonej powierzchni ma bowiem koło). Przyroda często wykorzystuje te własności geometryczne sześciokąta: PLASTER MIODU

BAZALTOWE SŁUPY W IRLANDII W świecie przyrody ożywionej symetria nie jest przypadkiem. Czasem po prostu pomaga żyć. Chyba żadne inne zwierzę nie realizuje idei symetrii osiowej w przyrodzie w sposób tak doskonały jak motyle. 

Własność obiektu ze względu na różnego rodzaju przekształcenia. SYMETRIA TO: Własność obiektu ze względu na różnego rodzaju przekształcenia.

Rodzaje symetrii: -osiowa(symetria względem prostej) -środkowa (symetria względem punktu)

Symetria osiowa (symetria względem osi) - odwzorowanie geometryczne płaszczyzny lub przestrzeni, które dla ustalonej osi tj. prostej l każdemu punktowi P swojej dziedziny przyporządkowuje punkt Q taki, że punkty P i Q wyznaczają prostą przecinającą prostopadle oś l i leżą w równej odległości od osi l po jej przeciwnych stronach.

Przykład symetrii osiowej oś symetrii o

Symetrii środkowa Symetria środkowa o środku P (symetria względem punktu P) – odwzorowanie geometryczne SP prostej, płaszczyzny lub przestrzeni takie, że SP(Q) = R wtedy i tylko wtedy, gdy punkt P, nazywany środkiem symetrii środkowej, jest środkiem odcinka QR. Punkty Q i R nazywa się punktami symetrycznymi względem środka symetrii P.

Przykład symetrii środkowej: Obraz figury F w symetrii środkowej S o środku w punkcie O: F1 = SO(F).

Symetria twarzy W symetrii występującej w przyrodzie dopuszczalne są pewne niedoskonałości. Mówimy, że twarz ludzka jest symetryczna choć możemy znaleźć elementy różniące połówki twarzy.

Odbicia lustrzane Ludzie nie dostrzegają na co dzień, że w przyrodzie można zauważyć zjawisko zwane odbiciem lustrzanym.

MATEMATYCZNE PRAWIDŁOWOŚCI WYKORZYSTYWANE PRZEZ CZŁOWIEKA Wykorzystanie wielokątów foremnych przy ułożeniu chodnika.

Wykorzystanie pola koła przy obliczaniu powierzchni jaką zajmuje pizza  WZÓR NA POLE KOŁA P = π r² r- promień koła

Zadanie Oblicz jaką powierzchnię zajmuje pizza o promieniu równym 22 cm . Przyjmijmy, że π = 3,14. OBLICZENIA: π r2 = 3,14  (22 cm)2=1409,70cm2 Odp. Pole pizzy wynosi 1409,70cm2

Wykorzystanie graniastosłupów i ostrosłupów

Graniastosłup prawidłowy to w geometrii taki graniastosłup prosty, którego każda podstawa jest jakimkolwiek wielokątem foremnym (tj. mającym równe boki oraz takie same kąty).

Pole powierzchni i objętość graniastosłupa prawidłowego V = Pp • H Pc =2Pp + Pb Pc – Pole powierzchni całkowitej Pp – Pole podstawy H – Wysokość graniastosłupa Pb – Pole powierzchni bocznej

Przykład: Ile papieru potrzeba aby opakować prezent w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 20 cm i wysokości 50 cm? Dane: Szukane: H = 50 cm Pc = ? a = 20cm Rozwiązanie: Pb= (a • H) • 4 Pb = (20cm • 50cm) • 4 Pb = 80cm • 200cm Pb = 16000 cm2 Pp = a • 4 Pp = 80cm Pc = 2Pp + Pb Pc = 2 • 80cm + 16000 cm2 Pc = 16160 cm2 Odp. Na opakowanie tego prezentu potrzeba 16160cm2

Ostrosłup Prawidłowy to w geometrii taki ostrosłup, w podstawie którego znajduje się wielokąt foremny

Pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego V = ⅓ Pp • H Pc = Pp + Pb V – objętość ostrosłupa Pc – Pole powierzchni całkowitej Pp – Pole podstawy H – Wysokość ostrosłupa Pb – Pole powierzchni bocznej

wykorzystanie wielokątów podobnych Wielokąty są podobne, jeżeli ich kąty są odpowiednio równe, a boki proporcjonalne w skali równej k. stosunek długości odpowiadających sobie odcinków jest równy skali podobieństwa k. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, a stosunek objętości tych figur - sześcianowi skali podobieństwa

Przykład: Długości boków prostokąta są równe 4cm i 5cm Przykład: Długości boków prostokąta są równe 4cm i 5cm. Oblicz pole prostokąta do niego podobnego, jeżeli jego obwód wynosi 90cm Obliczam obwód danego prostokąta 5cm . 4cm Obliczam skalę podobieństwa: obw=90cm Obliczam pole szukanego prostokąta: Obliczam pole danego prostokąta :

Wykorzystanie twierdzenia Talesa TWIERDZENIE TALESA Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to stosunek długości odcinków na jednym ramieniu jest równy stosunkowi długości odcinków leżących na drugim ramieniu kąta. O A B A1 A2 B2 B1

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa Jeżeli długości odcinków wyznaczonych przez dwie proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych na drugim ramieniu kąta, to te proste są równoległe. O A B A1 A2 B2 B1 A1 B1 || A2 B2

Wnioski Jeżeli spełnione są założenia twierdzenia Talesa, to prawdziwe są również następujące proporcje: 1) 2) O A1 A2 B2 B1 O A1 A2 B2 B1

3) O A1 A2 B2 B1

Przykład W celu zmierzenia odległości od statku S1 do miejsca latarni morskiej, ustawiono na morzu jeszcze trzy dodatkowe jednostki S2, S3, S4 w taki sposób, jak na rysunku (patrz następny slajd).

Przykład – c.d. 1750 m 2500 m 1200 m x L S4 S3 S1 S2 Okazało się, że statki S1 i S2 dzieliła odległość 2500 m, S1 i S4 odległość 1200 m, zaś statki S4 i S3 – 1750 m. W jakiej odległości od latarni morskiej znajdował się statek S4?

Przykład - rozwiązanie Na podstawie drugiego wniosku stwierdzamy: Oznaczmy: |LS4| = x Wtedy, po wykorzystaniu danych zadania, otrzymujemy: skąd x = 2800 m. Odp. Statek S4 dzieliła od latarni morskiej odległość 2800 m.

Bibliografia Podręcznik do matematyki do kl. 2 I kl. 3 gimnazjum ,,Matematyka z plusem’’ GWO Podręcznik do matematyki do kl. 2 I kl. 3 gimnazjum ,,Matematyka wokół nas’’ WSIP Zasoby Internetu m.in. http://pl.wikipedia.org , www.matematyka.wroc.pl,