„Zbiory, relacje, funkcje” Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół w Otorowie Gimnazjum im. Marii Skłodowskiej-Curie w Kaliszu Pomorskim ID grupy: 98/28_mf_g1 98/6_mf_g2 Opiekun: Lidia Piotrowska, Jolanta Cirzniewska Kompetencja: Fizyczno-matematyczna Temat projektowy: „Zbiory, relacje, funkcje” Semestr/rok szkolny: Semestr V rok szkolny 2011/2012 2

To może się przydać... Czyli objaśnienie nieznanych nam symboli. ∩ - iloczyn zbiorów U - suma zbiorów ⁄ -różnica zbiorów ⊄, ⊅ - nie zawiera się, nie jest zawarte €- należy € - nie należy

O czym będzie prezentacja? Pokażemy przykłady zbiorów i funkcji. Przedstawimy zależności funkcyjne. Przybliżymy podstawowe pojęcia dotyczące zbiorów i funkcji. Wytłumaczymy działania na zbiorach. Opowiemy o ciekawych funkcjach. Zastanowimy się nad zastosowaniem praktycznym.

Zbiory

O zbiorze słów kilka... Pojęcie „zbiór” jest pojęciem pierwotnym i niedefiniowalnym. Zbiory spotykamy wszędzie- biblioteka jest zbiorem książek, a wszyscy uczniowie gimnazjum również tworzą zbiór. Przedmioty, lub liczby należące do zbioru nazywamy elementami zbioru i oznaczamy je małymi literami (a,b,c itd.). Zbiór oznaczamy dużą literą.A, B, …

Jaki może być zbiór i co to oznacza? Skończony- można go zapisać wymieniając wszystkie jego składniki. Nieskończony- nie da się wymienić wszystkich elementów tego zbioru. Pusty- nie zawiera żadnych elementów.

Zbiór skończony- przykład Zbiór liczb naturalnych większych od 2, ale mniejszych od 6. Oznaczmy ten zbiór literą „A” Zbiór liczb rzeczywistych większych od 3, ale mniejszych od 6. A=(3;6)

Zbiór nieskończony- przykład Zbiór liczb naturalnych większych od 2. Oznaczmy ten zbiór literą „B”. Zbiór liczb rzeczywistych większych od 3. B=(3;∞)

Zbiór pusty- przykład Zbiór liczb większych od 2 i mniejszych od 1. Żadne liczby nie spełniają tego wymagania. Oznaczmy ten zbiór literą „C”.

Suma zbiorów Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B. Rozpatrzmy 3 przypadki:

Iloczyn zbiorów Iloczynem lub wspólną częścią zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które jednocześnie należą do zbioru A i zbioru B. Rozpatrzmy 3 przypadki:

Różnica zbiorów Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B.

Dopełnienie zbioru Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczamy jako A’. A’

Zbiory rozłączne - przykład

Działania na zbiorach- zadania Niech : A={1;2;3;4} B={3;4;5;6} A U B= {1;2;3;4;5;6} A ∩ B= {3;4} A \ B= {1;2} B \ A= {5;6} Niech: A=(3;10) B=(5;25) A U B= (3;25) A ∩ B= <5;10> A \ B= (3;5> B \ A= <10;25)

Własności działań na zbiorach. Prawa de Morgana. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa: I prawo De Morgana II prawo De Morgana Przemienność sumy zbiorów Prawo przemienności iloczynu zbiorów Łączność dodawania zbiorów Łączność mnożenia zbiorów Rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia Rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania Przykład:

Równość zbiorów. Zawieranie się zbiorów. Za równe uważamy zbiory, mające te same elementy. Zbiory A i B nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B co zapisujemy A = B. Między zbiorami może zachodzić relacja zawierania się (inkluzja). Zbiór A zawiera się w zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B co zapisujemy A⊂B.

„Dobry Bóg stworzył liczby naturalne, reszta jest dziełem człowieka” - Leopold Kronecker

Zbiory liczbowe. Zbiór liczbowy to zbiór, którego elementami są liczby. Liczby naturalne Liczby całkowite Liczby wymierne Liczby niewymierne Liczby rzeczywiste Liczby zespolone Kwaterniony

Funkcje

Funkcja (łac. function-, functio, „wykonanie”, od fungi, „wykonać, wypełnić, zwolnić”; być może spokr. z sanskr. bhuṅkte, „używa, cieszy się”; w mat. zapocz. prawd. Leibniz w 1692 r.)

Co to jest funkcja ? Dane są dwa zbiory A i B.  Funkcją określoną na zbiorze A o wartościach w zbiorze B nazywamy takie przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru A został przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru B.

To nie jest funkcja ponieważ jednemu    argumentowi przypisane jest kilka wartości.    Dla x=2 y=1, 2 i 3 To jest funkcja ponieważ każdemu              argumentowi przypisana jest tylko jedna    wartość np. dla x=1 y=2; dla x=2 y=3

Ściśle funkcję definiuje się jako taką relację pomiędzy elementami dziedziny (pierwszego zbioru) a elementami przeciwdziedziny (drugiego zbioru), dla której każdy element dziedziny jest w relacji z dokładnie jednym elementem przeciwdziedziny.

ĆWICZENIE Które z podanych przyporządkowań nie przedstawia funkcji określonej na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y.

ćwiczenia

Sposoby określenia funkcji   Funkcje można określić za pomocą:   - grafu   - wykresu   - wzoru   - zbioru   - tabelki   - opisu słownego

Pojęcia związane z funkcją Rodzaje funkcji  funkcje parzyste i nieparzyste  funkcje okresowe  funkcje ciągłe  funkcje różniczkowalne  funkcje monotoniczne

Pojęcia związane z funkcją Dziedzina funkcji - zbiór X  Zbiór wartości funkcji - zbiór Y  Miejsce zerowe funkcji - argument x dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, na wykresie jest to punkt przecięcia z osią X  Monotoniczność funkcji:                 Funkcja jest rosnąca gdy wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji                 Funkcja jest malejąca gdy wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji

ćwiczenia

Funkcję określoną wzorem y=ax+b     dla     a, b, x należącego do R nazywamy funkcją liniową. a i b - współczynnik funkcji. Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R. Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

Przykłady funkcji liniowej:   f(x) = 2x + 3          rosnąca   f(x) = -3x + 8        malejąca   f(x) = 7                  stała Wykres funkcji f(x) = x wygląda następująco:                          

Przesunięcie wzdłuż osi Y Aby przesunąć wykres wzdłuż osi y, należy przekształcić wzór funkcj f(x) na wzór f(x) + a   Na wykresie aby powstała funkcja f(x) + a przesuwamy funkcje f(x) o wektor długości a    do góry gdy a>0 lub w dół gdy a<0                      

Narysujmy wykres funkcji y=2x+1 Przykład 1. Narysujmy wykres funkcji y=2x+1 Obierzmy dwie wartości argumentu x. np. x1=-1 oraz x2=2 Obliczamy wartości danej funkcji dla wybranych argumentów: y1=2*x1+1=2+(-1)+1=-1 oraz y2=2*x2+1=2*2+1=5 Wykres funkcji jest prostą przechodzącą przez dwa punkty (x1,y1) i (x2,y2) tzn. przez punkty (-1,-1) oraz (2.5). Otrzymamy        x=0.5 Liczba ta jest miejscem zerowym danej funkcji. Wykres przecina oś X w punkcie (-0.5 , 0)

Przykład 2. Sporządźmy wykresy funkcji liniowych. y=  -3x Dla funkcji y=-3x obliczamy współrzędne dwóch punktów, które wyznaczają prostą będącą wykresem tej funkcji. Np.     x1=0                            x2=-1           y1=-3*0=0                  y2=-3*(-1)=3 Punkty (0,0) i (-1,3) należą do wykresu tej funkcji. Wykresem funkcji y=-3x jest prosta przechodząca przez punkty (0,0) oraz II i IV ćwiartkę układu współrzędnych. Własności tej funkcji: 1. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba x=0. Jest to miejsce w którym wykres przecina oś X 2. Wykres przecina oś Y dla y=0 3. Funkcja y=-3x jest malejąca w całej swojej dziedzinie, ponieważ dla rosnących argumentów wartości tej funkcji maleją

Funkcja kwadratowa Funkcja liniowa to funkcja określona wzorem f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a jest liczba różna od zera Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Gdy współczynnik a jest dodatni to ramiona paraboli są skierowane do góry Gdy współczynnik a jest ujemny to ramiona paraboli są skierowane w dół

współrzędne wierzchołka i miejsca zerowe. Do ich obliczenia niezbędny będzie następujący wzór:                                                   Δ = b2 - 4ac      - wierzchołek    W( p, q ) gdzie                               - miejsca zerowe     Funkcja ma 2 miejsca zerowe gdy Δ > 0   Funkcja ma 1 miejsce zerowe gdy Δ = 0     Funkcja nie ma miejsc zerowych gdy Δ < 0

Np.wykres funkcji f(x) = x2 -1 wygląda następująco:

Postacie funkcji kwadratowej    - postać ogólna    f(x) = ax2 + bx + c     - postać iloczynowa    f(x) = a(x - x1)(x - x2)     x1 i x2 są miejscami zerowymi funkcji więc aby istniała postać iloczynowa musi być  spełniony warunek Δ > 0   - postać kanoniczna f(x) = a(x-p)2 + q   p i q są współrzędnymi wierzchołka funkcji.

Zastosowania funkcji kwadratowej Czasami rozważając jakiś problem, możemy opisać zależność między badanymi wielkościami za pomocą funkcji kwadratowej.

Przykład Przy brzegu jeziora chcemy wyznaczyć kąpielisko w kształcie prostokąta, odgradzając je sznurem z bojami, do którego przyczepione są boje. Sznur, którym dysponujemy, ma 80 m długości. Jakie wymiary powinno mieć kąpielisko, aby jego powierzchnia była możliwie największa? Oblicz tę powierzchnię. Rozwiązanie Jeśli przez x oznaczymy długość boku kąpieliska, który jest prostopadły do brzegu jeziora, to bok kąpieliska równoległy do brzegu ma długość 80 - 2x (długości x i 80 - 2x wyrażone są w metrach)

Opisujemy, w jaki sposób powierzchnia kąpieliska zależy od długości boku x i ustalamy dziedzinę zapisanej funkcji p (długość x boku kąpieliska musi być liczbą dodatnią, mniejszą od połowy długości sznura) p - powierzchnia kąpieliska (w m2) p(x) = x⋅(80 - 2x) x∈(0;40) p(x) = -2x2 + 80x Parabola p(x) = -2x2 + 80x ma ramiona skierowane w dół, więc funkcja p przyjmuje największą wartość; argument, dla którego wartość funkcji jest największa

Obliczamy długość drugiego boku kąpieliska 80 - 2⋅20 = 40 Obliczamy pole powierzchni możliwie największego kąpieliska p = 20⋅40 = 800 Odp. Największą powierzchnię kąpieliska otrzymamy, gdy jego wymiary to 20 m x 40 m (krótszy bok jest prostopadły do brzegu jeziora). Powierzchnia ta będzie równa 800 m2.

Przesunięcie wzdłuż osi X należy przekształcić wzór funkcj f(x) na wzór f(x + a)   Na wykresie aby powstała funkcja f(x + a) przesuwamy funkcje f(x) o wektor długości a    w lewo gdy a>0 lub w prawo gdy a<0

Przykładowe zadania

literatura Internet Podręczniki i zbiory zadań z matematyki Encyklopedia matematyki