Dane INFORMACYJNE ID grupy: 98/91_MF_G2 Opiekun: Jolanta Plaga Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 1 w Szczecinie ID grupy: 98/91_MF_G2 Opiekun: Jolanta Plaga Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: GEOMETRIA TRÓJKĄTA Semestr: V rok szkolny 2011/2012

SPIS TREŚCI: Trójkąty jako figury geometryczne Podział trójkątów Elementy trójkąta Trójkąt równoramienny Trójkąt prostokątny Trójkąt równoboczny Linie w trójkącie Środki trójkąta Cechy przystawania trójkątów Cechy podobieństwa trójkątów Twierdzenie o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta. Twierdzenie Talesa Wysokość w trójkącie prostokątnym Wzór Herona Słynne trójkąty Łamigłówki

1. Trójkąty jako figury geometryczne płaskie Każdy trójkąt jest wielokątem o trzech bokach. Suma kątów w dowolnym trójkącie jest równa 180o . Zbudować trójkąt możemy tylko wtedy, gdy odcinki, z których ma powstać spełniają warunki: każdy jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych boków tego trójkąta. |AB| < |AC| + |BC|, |AC| < |AB| + |BC| i |BC| < |AB| + |AC|

2. Podział trójkątów 1.Rodzaje kątów: Ostrokątne (wszystkie kąty są ostre) Prostokątne (jeden z kątów jest prosty) Rozwartokątne (jeden z kątów jest rozwarty) 2. Długości boków: Różnoboczne (wszystkie boki są różnej długości) Równoramienne (co najmniej dwa boki są tej samej długości) Równoboczne ( trzy boki mają tę samą długość)

3. Elementy trójkąta W trójkącie jeden (dowolny) bok nazywamy podstawą, a pozostałe dwa – ramionami. Wysokością trójkąta nazywamy odcinek poprowadzony z wierzchołka trójkąta prostopadle do przeciwległego boku lub do przedłużenia tego boku. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają sie w jednym punkcie.  

4. Trójkąt równoramienny Trójkąt równoramienny to taki trójkąt, w którym dwa boki mają jednakową długość. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają taką samą miarę. Wysokość opuszczona na podstawę trójkąta równoramiennego dzieli ją na dwa równe odcinki. Oznacza to, że wysokość zawiera w sobie symetralną podstawy. Wysokość opuszczona na podstawę trójkąta zawiera w sobie dwusieczną odpowiedniego kąta.

Dla trójkąta prostokątnego prawdziwe jest twierdzenie Pitagorasa: 5. Trójkąt prostokątny Boki a, b to przyprostokątne ponieważ leżą one przy kącie prostym. Bok c to przeciwprostokątna - leży ona na przeciw kąta prostego. Dla trójkąta prostokątnego prawdziwe jest twierdzenie Pitagorasa: Suma kwadratów długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej: a2 + b2 = c2 Trójkąt prostokątny o kątach 45,45,90 jest jednocześnie trójkątem równoramiennym - przyprostokątne tego trójkąta mają równe długości. 

6. Trójkąt równoboczny To szczególny trójkąt, który posiada następujące własności: - wszystkie kąty są równe i mają miarę 60°, - wysokość trójkąta równobocznego h = a 3/2 - wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne, - wysokości trójkąta i dwusieczne jego kątów zawierają się w symetralnych boków tego trójkąta, - wysokości trójkąta równobocznego dzielą się w stosunku 1:2, - punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt oraz środkiem okręgu opisanego na trójkącie, - pole trójkąta P= ah lub P= a2 ¾

7. Linie w trójkącie To są, po kolei: symetralna boku, dwusieczna kąta, środkowa, wysokość. I każdy z tych tworów pojawia się w trzech egzemplarzach, dla trzech wierzchołków czy też boków

8. Środki trójkąta Symetralne boków i dwusieczne kątów są w istocie środkami okręgów (stąd też i nazwa), okręgu opisanego na trójkącie i okręgu wpisanego w trójkąt. Spotkanie środkowych jest to środek ciężkości trójkąta. Wyobraź sobie, że trójkąt jest wycięty z blachy o stałej grubości – środek ciężkości (barycentrum) jest miejscem w którym należy podeprzeć trójkąt, by utrzymać go nieruchomo w poziomej płaszczyźnie. Środkowe są dzielone przez środek ciężkości na odcinki, z których jeden (zaczynający się w wierzchołku) jest zawsze dwa razy dłuższy od drugiego. Punkt przecięcia wysokości trójkąta nazywamy ortocentrum trójkąta.

9. Cechy przystawania trójkątów bbb - dwa trójkąty są przystające jedynie jeśli długości boków jednego trójkąta są odpowiednio równe długościom boków drugiego trójkąta bkb - dwa trójkąty są przystające jedynie jeśli długości dwóch boków jednego trójkąta i kąt między nimi zawarty są odpowiednio równe długościom dwóch boków i kątowi między nimi zawartemu w drugim trójkącie kbk - dwa trójkąty są przystające jedynie jeśli jeden z boków i dwa kąty przy nim leżące w jednym trójkącie są odpowiednio przystające do boku i kątów przy nim leżących w drugim trójkącie 

10. Cechy podobieństwa trójkątów I cecha podobieństwa trójkątów: Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne. b'b = a'a = c'c = k , k - skala podobieństwa ΔABC ~ ΔA'B'C' II cecha podobieństwa trójkątów: Jeżeli miary dwóch kątów jednego trójkąta są równe miarom odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne. α = α'; β = β'; ΔABC ~ ΔA'B'C' III cecha podobieństwa trójkątów: Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne. α = α'; b'b = a'a ; ΔABC ~ ΔA'B'C'

11. Twierdzenie o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta Jeżeli w dowolnym trójkącie połączymy środki dwóch boków, to powstały odcinek jest równoległy do trzeciego boku i jego długość jest równa połowie długości trzeciego boku.

12. Twierdzenie Talesa Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta. Dla kąta z wierzchołkiem w punkcie A, jak na rysunku, zachodzi zależność:

12.2 Praktyczne zastosowanie twierdzenia Talesa: Z pomocą twierdzenia Talesa możemy zmierzyć rzeczy duże przy pomocy rzeczy małych. Nie zapomnijmy bowiem, że starożytni nie mieli ujednoliconej jednostki miary - wg pomiarów wysokość piramidy Cheopsa wynosiła np. ponad 80 talesów (Tales w pomiarach często używał siebie jako "mniejszego przedmiotu"). Biorąc krótki przedmiot, np. kij o znanej długości "A", stawiamy go pionowo i mierzymy jego cień "B", oraz cień "C" rzucany przez drzewo. Z twierdzenia szybko ustalimy iż wysokość drzewa "D" określa wzór: D = A*C/B.

13. Wysokość w trójkącie prostokątnym W trójkącie prostokątnym długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną długości odcinków, na które ta wysokość podzieliła przeciwprostokątną. h2 = a·b

14. Pole trójkąta - Wzór Herona HERON z ALEKSANDRII (około 80 r. p.n.e.).Głównym jego dziełem jest składająca się z trzech ksiąg "Metrica" (nauka o mierzeniu). Pierwsza księga obejmuje mierzenie powierzchni. Tu podany jest słynny wzór Herona na pole trójkąta:

15. Słynne trójkąty Znamy wiele trójkątów, lecz trójkąty pitagorejskie zasługują na szczególną uwagę. Trójkąt pitagorejski. To taki trójkąt, którego boki wyrażone są liczbami naturalnymi (a, b, c) i mają się do siebie tak jak: a2 + b2 = c2 Pitagoras znalazł wzory, które pozwalają obliczyć długości boków trójkąta Pitagorejskiego: a = 2n + 1; b = 2n2 + 2n; c = 2n2 + 2n + 1 Jedynym trójkątem pitagorejskim, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi jest trójkąt egipski o bokach 3, 4, 5. Przykłady trójkątów pitagorejskich: - 9, 40, 41 - 13, 84, 85

Złoty trójkąt to trójkąt równoramienny, w którym stosunek boku do podstawy jest równy liczbie ∏. Obydwa kąty przy podstawie tego trójkąta mają po 72 stopnie. Kąt wewnętrzny wierzchołka naprzeciwko podstawy wynosi 36 stopni. Trójkąt ten można dzielić na kolejne mniejsze trójkąty, które też będą złotymi trójkątami. Złoty trójkąt jest częścią pentagramu którego WSZYSTKIE ramiona przecinają się według zasad złotego podziału. Pitagorejczycy uważali  pentagram za symbol doskonałości i zdrowia. Znakiem tym uczeni pozdrawiali się i wzajemnie rozpoznawali, kreśląc go na piasku.

Złoty trójkąt możemy dzielić w nieskończoność i otrzymywać coraz to nowe, powtarzające się harmonijnie, fraktalne wzory składające się   powyższych  dwóch "bratnich" trójkątów.

Mozaiki na bazie trójkąta równobocznego Mozaiki na bazie trójkąta równobocznego. Już Pitagoras wykazał, że płaszczyzna dokoła punktu może być całkowicie zapełniona tylko trzema rodzajami wielokątów foremnych: trójkątami równobocznymi, kwadratami lub sześciokątami foremnymi. Aby można było zgromadzić pewną ilość różnych wielokątów foremnych wokół jednego punktu, konieczne jest by suma ich kątów równa była 4 kątom prostym. Najmniejsza ilość wielokątów wynosi więc 3, największa 6.

Trójkąt Sierpińskiego (Wacław Sierpiński1882-1969) Podstawą geometryczną jego konstrukcji jest wypełniony trójkąt na płaszczyźnie. Dokonując wielokrotnego usuwania części trójkąta, wybiera się środek każdego z boków. Wybrane punkty razem z wierzchołkami trójkąta początkowego wyznaczą cztery mniejsze trójkąty, z których należy usunąć trójkąt położony w środku. Krok ten jest podstawą tworzenia trójkąta Sierpińskiego. Po przejściu tego etapu pojawiają się trzy przystające trójkąty. Każdy z boków trójkątów, które powstały, jest równy połowie początkowej długości boku i łączy się z pozostałymi trójkątami dwoma wierzchołkami. W otrzymanych trójkątach, należy powtórzyć powyższą operację. Po tej operacji otrzymuje się 9 trójkątów. W wyniku powtarzania iteracji otrzymuje się 3, 9, 27, 81, 243, … trójkąty. Każdy z nich jest dokładną wersją trójkątów z poprzednich kroków. Trójkąt Sierpińskiego jest zbiorem punktów płaszczyzny, które powstały w wyniku wykonania nieskończonej liczby kroków konstrukcji.

Trójkąt Pascala Posiada on ciekawą cechę, mianowicie jego parzyste liczby po usunięciu tworzą trójkąt Sierpińskiego:

16. ŁAMIGŁÓWKI 1. Policz trójkąty 2. Zadanie polega na odwróceniu trójkąta „do góry nogami” przy użyciu tylko trzech monet.

Dziękujemy za uwagę! Hanna Bielecka Aleksandra Domachowska Paula Flamer Robert Kacperski Aleksander Kienitz Mateusz Milewski Jakub Pryczek Aleksandra Sinior Kamila Śmiechowska Jakub Zakrzewski Patrycja Zawistowska

TO MY PRAWIE W KOMPLECIE

Materiały źródłowe: Tablice matematyczne, A. Cewe, H. Nahorska, I.Pancer Matematyka (ilustrowana encyklopedia ucznia) Matematyka z plusem (podręcznik dla gimnazjum) Czasopisma matematyczne Zasoby internetowe