Zastosowania geodezyjne arkusza kalkulacyjnego Cz.2 Obliczenia na macierzach Andrzej Borowiecki Kraków 2009

Macierze i krakowiany zaliczają się do liczb zespołowych. Są to tabele liczb uporządkowanych w wierszach i kolumnach. A2,3 – to element leżący w drugim wierszu i trzeciej kolumnie

Dla liczb zespołowych zdefiniowano podstawowe działania: dodawanie i odejmowanie mnożenie obliczanie odwrotności transponowanie (czyli zamiana wierszy i kolumn) Dodawanie i odejmowanie: C = A + B Ci,j = Ai,j + Bi,j C = A – B Ci,j = Ai,j – Bi,j

Mnożenie macierzy: A(2,4) B(4,3) C(2,3)

Transponowanie macierzy BT B

Funkcje arkusza kalkulacyjnego związane z działaniami na macierzach Mnożenie macierzy: MACIERZ.ILOCZYN Odwrotność macierzy: MACIERZ.ODW Transponowanie macierzy: TRANSPONUJ

Mnożenie macierzy: MACIERZ.ILOCZYN

Odwrotność macierzy: MACIERZ.ODW

Transponowanie macierzy: TRANSPONUJ

Mnożenie macierzy: Macierze należy wpisać do arkusza. Można nadać im nazwy np. zakres B4:E5 ma nazwę A.

Macierz będąca wynikiem mnożenia ma tyle wierszy ile pierwszy czynnik i tyle kolumn ile drugi czynnik (tu 2 i 3).

Po zaznaczeniu obszaru wynikowego wywołujemy funkcję MACIERZ Po zaznaczeniu obszaru wynikowego wywołujemy funkcję MACIERZ.ILOCZYN, wpisujemy nazwy czynników A i B, po czym naciskamy klawisze Ctrl+Shift+Enter

Obliczanie odwrotności macierzy: MACIERZ.ODW Macierz musi być kwadratowa żeby miała odwrotność. Macierz wynikowa ma takie same wymiary jak macierz odwracana.

Po zaznaczeniu obszaru wynikowego wywołujemy funkcję MACIERZ Po zaznaczeniu obszaru wynikowego wywołujemy funkcję MACIERZ.ODW, wpisujemy nazwę macierzy odwracanej N, po czym naciskamy klawisze Ctrl+Shift+Enter

Transponowanie macierzy: TRANSPONUJ W efekcie transponowania wiersze zamieniają się w kolumny a kolumny w wiersze.

Po zaznaczeniu obszaru wynikowego wywołujemy funkcję TRANSPONUJ, wpisujemy nazwę macierzy transponowanej T, po czym naciskamy klawisze Ctrl+Shift+Enter

Zastosowania rachunku macierzowego: Rozwiązywanie układów równań liniowych jednoznacznie określonych (tyle równań ile niewiadomych) Rozwiązywanie układów równań liniowych nadokreślonych (więcej równań niż niewiadomych) Rozwiązywanie układów równań liniowych niedookreślonych (mniej równań niż niewiadomych)

Zapis macierzowy: A . X = L Rozwiązywanie układów równań liniowych jednoznacznie określonych (tyle równań ile niewiadomych) Zapis macierzowy: A . X = L

Rozwiązanie zadania: X = A-1 . L

2. Rozwiązywanie układów równań liniowych nadokreślonych (więcej równań niż niewiadomych) x y

3. Rozwiązywanie układów równań liniowych niedookreślonych (więcej niewiadomych niż równań) 20.0000 30.0000 40.0000 50.0030 70.0020 4 1 2 3 5

A . V = W