Wybrane wiadomości z teorii błędów

Spostrzeżeniami - nazywamy wyniki pomiarów np. geodezyjnych Spostrzeżeniami - nazywamy wyniki pomiarów np. geodezyjnych. Każdy pomiar obarczony jest różnego rodzaju błędami wynikającymi z przyjętej metody pomiarów, zastosowanych instrumentów pomiarowych oraz staranności w wykonywaniu pomiarów.

Błędy spostrzeżeń i ich klasyfikacja Błędy spostrzeżeń dzielimy na: grube (omyłki) systematyczne przypadkowe

Błąd gruby lub omyłka, różni się znacznie od wyników innych pomiarów tej samej wielkości. O tym czy dany błąd zakwalifikujemy jako omyłkę, decyduje jego wielkość. Np. w ciągu wyników pomiaru długości jednego boku: 150.10; 150.12; 170.12; 150.11 widać wyraźnie wartość obarczoną błędem grubym.

Błędy systematyczne wynikają z oddziaływania czynników związanych z warunkami pomiaru i zwykle dają się wyrazić za pomocą formuły matematycznej. Np. jeżeli pomiar długości wykonujemy taśmą która jest krótsza od swej nominalnej wartości (np. ma 19.90 m zamiast 20.00 m), możemy łatwo obliczyć poprawną długość. Powiedzmy że mierząc długość przyłożyliśmy taśmę 5 razy. Wtedy zmierzona długość nie wynosi 20.00 x 5 =100.00m, ale 100.00 - 5x 0.10 = 99.50 m. W najgorszym przypadku możemy nie znać dokładnej wartości błędu systematycznego, ale zwykle orientujemy się co do znaku, z jakim wpływa na wyniki pomiarów. Błędy systematyczne związane są zwykle z zastosowana metodą pomiaru lub narzędziem pomiarowym.

Błędy przypadkowe - zmieniają się w czasie wykonywania pomiaru zarówno co do znaku jak i co do wielkości. Przyczyny ich występowania na ogół nie są znane. A gdyby nawet były znane, to nie można ustalić ani wielkości, ani znaku powodowanego przez nie błędu.

Inny podział błędów, oparty na wzorach matematycznych, dzieli błędy na prawdziwe i pozorne. Błąd prawdziwy jest różnicą między wartością prawdziwą mierzonej wielkości - X, a wynikiem jej pomiaru L: = X - L Bląd prawdziwy = wartość prawdziwa - wartość zaobserwowana W większości wypadków nie znamy wartości prawdziwych i musimy poprzestać na ich oszacowaniach zwanych wartościami wyrównanymi x.

Błąd pozorny = wartość wyrównana - wartość zaobserwowana Błąd pozorny v jest różnicą między wartością wyrównaną mierzonej wielkości - x, a wynikiem jej pomiaru L:   Błąd pozorny = wartość wyrównana - wartość zaobserwowana Poprawka spostrzeżenia v jest to wielkość, którą należy dodać do wyniku pomiaru, aby otrzymać jego wartość wyrównaną.  

Prawo błędów przypadkowych Błędy przypadkowe, są trudne do uchwycenia. Nie można przewidzieć ich wielkości, znaku i przyczyny powstawania. Jednak na podstawie doświadczeń ustalono następujące własności prawdziwych błędów przypadkowych: Błędy o tej samej wartości i różnych znakach są jednakowo prawdopodobne; Błędy mniejsze są bardziej prawdopodobne niż większe; Bezwzględna wartość błędów przypadkowych nie może przekraczać pewnej określonej dla danych warunków pomiarowych wartości a, czyli | |<. a

Przytoczone własności błędów przypadkowych można ująć w jedno równanie zwane prawem błędów przypadkowych: gdzie: e - błąd przypadkowy (prawdziwy) spostrzeżenia, e - zasada logarytmów naturalnych, h - parametr zależny od dokładności pomiaru.

Wykres prawa błędów przypadkowych

Krzywa jest symetryczna względem osi rzędnych. Dla e = O osiąga f (e) maksymalną wartość — , natomiast dla e = - i e = + wartość zera. Krzywą charakteryzują dwa punkty przegięcia: P1 i P2 położone symetrycznie względem osi rzędnych. Prawdopodobieństwo pojawienia się błędu w przedziale [e= a, e = b ] przedstawia pole zawarte między krzywą f(e), osią odciętych a rzędnymi f(a) i f (b), co odpowiada całce: