Struna – rozwi ą zanie dAlemberta Ewa Jench WFiIS AGH

Plan prezentacji Rozwi ą zanie dAlemberta Warunki brzegowe Szczególne przypadki

RÓWNANIE STRUNY Zakładamy, ż e spełnione s ą nast ę puj ą ce warunki pocz ą tkowe: η =f(x),t=0 (nadanie kształtu) η t =F(x),t=0 (nadanie pr ę dko ś ci)

(ogólne) ROZWI Ą ZANIE DALEMBERTA Równanie η tt = α 2 η xx jest spełnione przez dowoln ą funkcj ę dwukrotnie ró ż niczkowaln ą od argumentu x+ α t lub x- α t, st ą d rozwi ą zanie ma posta ć : η (x,t )= φ (x+ α t) + ψ (x- α t)

DOWÓD (EULER) DOWÓD (EULER) u= x + α t v= x- α t η x = η u u x + η v v x = η u + η v η t = η u u t + η v v t = αη u - αη v η x = η u u x + η v v x = η u + η v η t = η u u t + η v v t = αη u - αη v η xx = η uu + 2 η uv + η vv η tt = α 2 ( η uu - 2 η uv + η vv ) η xx = η uu + 2 η uv + η vv η tt = α 2 ( η uu - 2 η uv + η vv ) η tt - α 2 η xx =0 4 α 2 η uv =0 η uv =0 η tt - α 2 η xx =0 4 α 2 η uv =0 η uv =0 = η v z= η v (z u =0) η (u,v)= z(v)dv + φ (u) η (u,v)= z(v)dv + φ (u) i ostatecznie otrzymujemy: η = φ (u) + ψ (v)

ROZWI Ą ZANIE (z uwzgl ę dnieniem warunków pocz ą tkowych) Pami ę taj ą c, ż e η = φ (x) + ψ (x) = f(x) i η t = αφ (x + α t) – αψ (x- α t)= F(x) otrzymujemy układ równa ń :

PRZED Ł U Ż ENIE FUNKCJI Przyjmuj ą c warunki brzegowe η =0dla x=0i x=c, dostajemy dwa dodatkowe zwi ą zki: φ ( α t) + ψ (- α t) = 0 φ (c+ α t) + ψ (c- α t) = 0 ρ = α t φ ( ρ ) = - ψ (- ρ ) φ (c+ ρ ) = - ψ (c- ρ ) Z otrzymanych warunków wida ć, ż e funkcje s ą powi ą zane zale ż no ś ciami: jedna przechodzi w drug ą przy inwersji wzgl ę dem pocz ą tku układu oraz przy inwersji wzgl ę dem punktu c obie krzywe przechodz ą przez pocz ą tek układu bo dla x=0 zarówno f(0)=0 jak i całka 0 x F(s)ds równa si ę zero dla x=c warto ś ci funkcji opisuj ą cych te krzywe s ą przeciwne, gdy ż f(c)=0

PRZYK Ł AD Rozwa ż my dowolne funkcje spełniaj ą ce:

przed ł u ż enie φ (x) na przedzia ł [c,2c] φ (c+ ρ ) = - ψ (c- ρ ) ρ c+ ρ φ (2c+ ρ ) = - ψ (- ρ ) φ ( ρ ) = - ψ (- ρ ) φ (2c+ ρ )= φ ( ρ )

przed ł u ż enie ψ (x) na przedzia ł [-c,0] φ ( ρ ) = - ψ (- ρ ) ρ - ρ - φ (- ρ ) = ψ ( ρ ) ψ (-c- ρ ) = ψ (c-2c- ρ ) =… φ (c+ ρ ) =- ψ (c- ρ ) …= - φ (3c+ ρ )= - φ (c+ ρ )= ψ (c- ρ ) funkcja ψ (x) te ż jest okresowa ψ ( ρ )= ψ (2c+ ρ )

OKRES DRGA Ń Poniewa ż φ (x) i ψ (x) s ą funkcjami o okresie 2c, funkcja η (x,t )= φ (x+ α t) + ψ (x- α t) równie ż jest cykliczna i posiada okres 2c. We ź my α t=2nc: η (x,t )= φ (x+2nc) + ψ (x-2nc)= φ (x) + ψ (x) Je ż eli rozwa ż ymy dowolny punkt x dla czasów t i t wtedy punkt ten opisuj ą dwie funkcje: η (x,t) i η(x,t). η = η gdy α (t-t)=2c T=t-t=2c/ α - okres drga ń

drobne podsumowanie Dzi ę ki uwzgl ę dnieniu warunków brzegowych w rozwi ą zywaniu równania dAlemberta uzyskali ś my rozwi ą zanie dla dowolnej chwili czasu pokazali ś my, ż e obie funkcje φ (x) i ψ (x) s ą okresowe (i maj ą okres 2c) w pełni okre ś lili ś my funkcj ę η (x,t)

SZCZEGÓLNE PRZYPADKI Rozpatrzmy dwa szczególne stany pocz ą tkowe: 1) η =f(x) i η t =0 φ (x) = ψ (x) = ½f(x) 2) η =0 i η t =F(x)

KSZTA Ł T STRUNY PO PO Ł OWIE OKRESU η (x,t )= φ (x+ α t) + ψ (x- α t) η (x, t+T/2 )= φ (x+ α (t+c/ α )) + ψ (x- α (t-c/ α ))= = φ (x+ α t+c) + ψ (x- α t-c)= φ (x+ α t+c) + ψ (x- α t+c) Dla η =0 i η t =F(x) Dla η =0 i η t =F(x)

KSZTA Ł T STRUNY PO PO Ł OWIE OKRESU Dla η =f(x) i η t =0 inwersja wzgl ę dem punktu x=c/2

…KONIEC!