Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: III LO W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM ID grupy: 97_27_MF/G2 Opiekun: IWONA WENDT Kompetencja: MATEMATYCZNO-FIZYCZNA Temat projektowy: WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW. Semestr/rok szkolny: V - 2011/2012

WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW projekt międzyszkolny CZĘŚĆ I PRZYGOTOWAŁA GRUPA 97_27_MF/G2

NIEKTÓRE WIELOŚCIANY Ostrosłup, czworościan, ostrosłup prawidłowy, ostrosłup ścięty, ostrosłup czworościan ostrosłup prawidłowy ostrosłup ścięty graniastosłup równoległościan romboedr prostopadłościan graniastosłup prosty graniastosłup prawidłowy dwunastościan rombowy wielościany foremne (platońskie) czworościan foremny sześcian ośmiościan foremny dwunastościan foremny dwudziestościan foremny wielościany półforemne (archimedesowe) czworościan ścięty sześcian ścięty ośmiościan ścięty dwunastościan ścięty dwudziestościan ścięty sześcio-ośmiościan sześcio-ośmiościan rombowy wielki sześcio-ośmiościan rombowy mały dwunasto-dwudziestościan dwunasto-dwudziestościan rombowy wielki dwunasto-dwudziestościan rombowy mały sześcian przycięty dwunastościan przycięty graniastosłupy archimedesowe antygraniastosłupy pryzma klin

NIEKTÓRE WIELOŚCIANY Graniastosłup, równoległościan, romboedr, prostopadłościan, graniastosłup prosty, graniastosłup prawidłowy, dwunastościan rombowy, ostrosłup czworościan ostrosłup prawidłowy ostrosłup ścięty graniastosłup równoległościan romboedr prostopadłościan graniastosłup prosty graniastosłup prawidłowy dwunastościan rombowy wielościany foremne (platońskie) czworościan foremny sześcian ośmiościan foremny dwunastościan foremny dwudziestościan foremny wielościany półforemne (archimedesowe) czworościan ścięty sześcian ścięty ośmiościan ścięty dwunastościan ścięty dwudziestościan ścięty sześcio-ośmiościan sześcio-ośmiościan rombowy wielki sześcio-ośmiościan rombowy mały dwunasto-dwudziestościan dwunasto-dwudziestościan rombowy wielki dwunasto-dwudziestościan rombowy mały sześcian przycięty dwunastościan przycięty graniastosłupy archimedesowe antygraniastosłupy pryzma klin

Wielościany i bryły platońskie Wielościany foremne (platońskie): czworościan foremny, sześcian, ośmiościan foremny, dwunastościan foremny, dwudziestościan foremny

Wielościany wypukłe Wielościany foremne Dotknij wielościoanu foremnego

WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW Twierdzenie Eulera o wielościanach, twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłych — twierdzenie o wielościanach zwykłych opisujące zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędziami wielościanu. W+S=K+2 gdzie: W — liczba wierzchołków S — liczba ścian K — liczba krawędzi

SPRAWDZENIE WZORU EULERA DLA RÓŻNYCH PRZYPADKÓW WIELOŚCIANÓW Na kilku przykładach ostrosłupów, gdzie w oznacza liczbę wierzchołków, s liczbę ścian, a k liczbę krawędzi. dziesięciokąt w=11 k=20 s=11 11-20+11=2 sześciokąt w=7 k=12 s=7 7-12+7=2

Czy istnieje wielościan wypukły mający dokładnie 7 krawędzi? Czworościan: liczba krawędzi K=6. Ostrosłup o podstawie kwadratowej: liczba krawędzi K=8. Nie istnieje wielościan o liczbie krawędzi równej 7.

dowÓD WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW Wyobraźmy sobie wykonany z jakiegoś materiału (np. z tektury) wielościan. Jeżeli go rozetniemy wzdłuż krawędzi, tak jednak, aby jedna ściana przylegała do sąsiedniej, to możemy całą bryłę rozwinąć na płaszczyźnie. Otrzymamy w ten sposób szereg wielokątów o bokach do siebie parami przystających. Rozpatrzmy jeden z tych wielokątów, tj. jedną ze ścian: wtedy S = 1, liczba boków tego wielokąta, czyli liczba krawędzi będzie równa liczbie wierzchołków, tj. W = K, a zatem otrzymujemy zależność W+S=K+2 Rozważmy teraz dwa przyległe do siebie wielokąty łącznie. Będzie wówczas S = 2, ponieważ te wielokąty będą miały jeden bok wspólny i dwa wierzchołki wspólne, więc liczba krawędzi będzie o 1 większa niż wierzchołków: K=W+1, a więc będzie znowu W+S=K+2. Dołączając trzeci wielokąt, spostrzeżemy w taki sam sposób, że zależność poprzednio otrzymana pozostanie bez zmiany. Postępując w ten sposób dalej, stwierdzić możemy, że wciąż zależność nasza będzie taka sama, aż dopiero kiedy dołączymy ostatni wielokąt i wszystkie wielokąty zamkniemy, tworząc dany wielościan, spostrzeżemy, że przez ostatnie dołączenie liczba krawędzi i wierzchołków pozostanie bez zmiany (były one już rozważone poprzednio), przybędzie tylko jedna ściana, a zatem będzie ostatecznie W+S=K+2

SYLWETKA WIELKIEGO MATEMATYKA – euler Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk. Był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii. Dokonał licznych odkryć w tak różnych gałęziach matematyki jak: rachunek różniczkowy i całkowy oraz teoria grafów. Wniósł duży wkład w rozwój terminologii i notacji matematycznej, szczególnie trwały w dziedzinie analizy matematycznej. Jako pierwszy w historii użył na przykład pojęcia i oznaczenia funkcji. Opublikował wiele ważnych prac z zakresu mechaniki, optyki i astronomii. Euler jest uważany za czołowego matematyka XVIII wieku i jednego z najwybitniejszych w całej historii. Oto przypisywane Laplace'owi zdanie wyrażające wpływ Eulera na matematykę:

Wzór Eulera przygotowała grupa 97_12

Liczba ścian S, liczba krawędzi K i liczba wierzchołków W Wzór Eulera eix = cos x + i sin x X ϵ R i - jednostka urojona w-k+s=2 Liczba ścian S, liczba krawędzi K i liczba wierzchołków W

Wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą określany nazwiskiem Leonharda Eulera. Trójwymiarowa ilustracja wzoru Eulera

Zastosowanie Jeżeli wyznaczymy siłę krytyczną, to oczywiście uzyskamy naprężenia krytyczne (s kr = Pkr / F), przy których następuje utrata stateczności pręta ściskanego. Wprowadzając pojęcie minimalnego promienia bezwładności przekroju: a następnie wielkość charakteryzującą wymiary pręta: zwaną smukłością pręta, otrzymamy wzór na naprężenia krytyczne zwane wzorem Eulera:

Wzór Eulera możemy przedstawić na wykresie we współrzędnych s, s

Praktyczne zastosowanie wzoru Eulera W celu ominięcia kłopotów przy obliczaniu prętów ściskanych za pomocą wzoru Eulera i innych krzywych doświadczalnych skorzystajmy z normy PN-62/B-03200. Zgodnie z tą norma "Konstrukcje stalowe, obliczenia statyczne i projektowanie" sprawdzenie na wyboczenie pręta ściskanego siłą P przeprowadzamy według wzoru: gdzie (b < 1) jest współczynnikiem wyboczeniowym, zależnym od smukłości s pręta i granicy plastyczności Re materiału pręta (wg PN-62/B-03200). Nowsza norma PN-76/B-03200 wydana w miejsce poprzedniej normy zaleca przeprowadzać obliczenia według wzoru:

Wykorzystany wzór Wzór w-k+s=2 nosi nazwę wzoru Eulera. Opisuje on zależności między liczbą ścian S, liczbą krawędzi K i liczbą wierzchołków W dla graniastosłupów.

Praktyczne zadania   Sprawdź na kilku przykładach, czy dla ostrosłupów prawdziwy jest wzór Eulera: w-k+s=2, gdzie w oznacza liczbę wierzchołków, s liczbę ścian, a k liczbę krawędzi. Sformułuj słownie podaną zależność. czworokąt w=5 k=8 s=5 5-8+5=2 sześciokąt w=7 k=12 s=7 7-12+7=2 dziesięciokąt w=11 k=20 s=11 11-20+11=2 Podana zależność jest taka, że w każdym ostrosłupie jeżeli do różnicy wierzchołków i krawędzi dodamy liczbę ścian wynik będzie równy 2.

Koniec