LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI

Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół w Sławnie LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół w Sławnie ZSOiZ w Pogorzeli ID grupy: 97/2_mf_g1 97/63_mf_g1 Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Geometria w programie C.a.R. Semestr/rok szkolny: III / 2010/2011

Geometria w programie C.a.R. LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI Geometria w programie C.a.R.

Spis treści Compasses and Ruler 7 Środowisko C.a.R. 9 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI Spis treści Compasses and Ruler 7 Środowisko C.a.R. 9 MENU plik 10 MENU akcje 11 Menu settings 12 Menu pomoc 13 Tworzenie obiektów 14 Konstrukcje – punkt na obiekcie 15 Konstrukcje – przecięcie dwóch obiektów 17 Konstrukcje w praktyce 19 Rozwiązanie zadania 20 Konstrukcje krok po kroku 21 Dynamiczne konstrukcje euklidesowe 28

Spis treści Zadania maturalne i C.a.r 29 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI Spis treści Zadania maturalne i C.a.r 29 Matura 2010 poziom podstawowy zad. 31 29 Rozwiązanie 30 Matura 2010 poziom rozszerzony zadanie 1 31 Rozwiązanie 32 Dynamiczne konstrukcje analityczne 34 Matura 2010 poziom rozszerzony zad. 3 35 Rozwiązanie 36 Matura 2010 poziom rozszerzony zad. 8 38 Rozwiązanie 39 Matura 2010 poziom rozszerzony zad. 9 41 Rozwiązanie 42

Spis treści Odcinki i proste w trójkącie 44 Okrąg i trójkąt 48 LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI Spis treści Odcinki i proste w trójkącie 44 Wysokość 44 Symetralna 45 Dwusieczna 46 Środkowa 47 Okrąg i trójkąt 48 Okrąg wpisany w trójkąt 48 Okrąg opisany na trójkącie 49 Koniec 50

WPROWADZENIE >STATYSTYKA Compasses and Ruler C.a.R. (Compasses and Ruler) to narzędzie do badania fragmentów wiedzy matematycznej wywodzących się z geometrii euklidesowej i analitycznej. Program umożliwia tworzenie dynamicznych konstrukcji geometrycznych (dynamic geometry software, w skrócie DGS). Tworząc jedną figurę tworzy się całą rodzinę figur. Można zmieniać położenie punktów konstrukcyjnych, całość może być animowana w czasie rzeczywistym. Pozwala to na obserwację figury w świetle wielu różnych przypadków jej istnienia.

WPROWADZENIE > ZBIOROWOŚĆ STATYSTYCZNA, DANE STATYSTYCZNE Compasses and Ruler Program C.a.R (z ang. Cyrkiel i Linijka) autorstwa doktora R.Grothmanna jest bezpłatny. Program ten działa w systemie Windows i jest bardzo prosty w obsłudze.

Środowisko C.a.R. Praca w programie to praca w oknach. Figury są rysowane w oknie arkusza rysunkowego, który nie jest ograniczony do rozmiarów ekranu. Arkusz można przesuwać. Komendy operacji są zgrupowane w menu. Do wielu komend możliwy jest szybki dostęp poprzez ikonki.

MENU plik Służy do: tworzenia nowej, otwierania istniejącej oraz zapisywania konstrukcji, czyszczenia bądź dołączania makroprogramów, kompresowania, drukowania, eksportowania plików, kończenia pracy z programem.

MENU akcje Służy do rysowania punktów, prostych, półprostych, kątów, prostych prostopadłych, równoległych, okręgów, środków odcinków. Pozwala przesuwać obiekty. Umożliwia pracę z obiektami ozdobnymi, funkcjami. Pozwala na edytowanie, ukrywanie, usuwanie, rysowanie myszą obiektów, wprowadzanie nazewnictwa, oraz czyszczenia rysunku.

WPROWADZENIE > BADANIA STATYSTYCZNE > BADANIA ANKIETOWE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE Menu settings Umożliwia wszelkie ustawienia aplikacji, np. ustawienia języka w jakim ma pracować program, ustawienia okna,. Pozwala pracować w dwóch trybach, trybie szkolnym oraz dla początkujących.

Menu pomoc informuje o wersji programu, jego autorze. WPROWADZENIE > BADANIA STATYSTYCZNE > BADANIA ANKIETOWE > ZASADY DOBREJ ANKIETY LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE Menu pomoc informuje o wersji programu, jego autorze. oferuje pomoc kontekstową, łączy z internetem, konfiguruje przeglądarkę. Informuje o nowościach w bieżącej wersji. Nie wszystkie polecenie menu zostały przetłumaczone na język polski.

Tworzenie obiektów Komendy: punkt, prosta, półprosta, odcinek, okrąg, trójkąt pozwalają na tworzenie obiektów. Figury są określane w czasie naciskania, trzymania i zwalniania przycisku myszy.

Konstrukcje – punkt na obiekcie Punkt na obiekcie tzn. punkt jest zależny od obiektu - przy wskazywaniu punktu obiekt musi się podświetlić. Punkt X jest punktem na obiekcie, punkt Y nie.

Konstrukcje – punkt na obiekcie Po zmianie położenia punktu B wielokąta ABCDEFG, punkt X nadal pozostał punktem położonym na odcinku BC. Zmiana położenia punktu H drugiego wielokąta spowodowała, że punkt Y leży na zewnątrz wielokąta HIJKL.

Konstrukcje – przecięcie dwóch obiektów Punkt A jest punktem przecięcia trójkąta i okręgu (przy jego zaznaczaniu obie figury były podświetlone), natomiast punkt B nie jest punktem przecięcia obiektów.

Konstrukcje – przecięcie dwóch obiektów Zmiana położenia trójkąta i okręgu jednoznacznie wykazała, że punkt B nie był związany z żadnym obiektem.

Konstrukcje w praktyce LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI Konstrukcje w praktyce Zadanie W trójkącie ABC poprowadź: wysokości, środkowe, symetralne, dwusieczne kątów. Wpisz okrąg w trójkąt ABC (okrąg wpisany) oraz opisz na tym trójkącie okrąg (okrąg opisany).

Rozwiązanie zadania

Konstrukcje krok po kroku Tworzymy trójkąt ABC

Konstrukcje krok po kroku Prowadzimy wysokości kolorem czerwonym, Zaznaczamy punkty przecięcia wysokości i boków: A*, B*, C* Tworzymy odcinki AA* (hA), BB* (hB), CC* (hC) kolorem czerwonym, linią pogrubioną,

Konstrukcje krok po kroku Zaznaczamy środki boków trójkąta: M1 środek odcinka BC, M2 środek odcinka AC, M3 środek odcinka AB Tworzymy środkowe - odcinki AM1, BM2, CM3 kolorem niebieskim.

Konstrukcje krok po kroku Prowadzimy symetralne boków trójkąta kolorem zielonym,

Konstrukcje krok po kroku Zaznaczamy kolorem zielonym punkt S1 – punkt przecięcia symetralnych Tworzymy kolorem zielonym okrąg o środku w punkcie S i promieniu r1 równym długości odcinka o końcach S,A.

Konstrukcje krok po kroku Prowadzimy dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta – półproste dA, dB, dC

Konstrukcje krok po kroku Zaznaczamy punkt S2: przecięcie dwusiecznych. Wyznaczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt - prowadzimy prostą prostopadła do boku AB przechodzącą przez punkt S2, zaznaczmy odcinek r2 Tworzymy okrąg o(S2,r2)

Dynamiczne konstrukcje euklidesowe Animacja pozwala na obserwowanie własności różnych trójkątów: ostrokątnych, rozwartokątnych, równobocznych.

Zadania maturalne i C.a.r Matura 2010 poziom podstawowy Zadanie 31. (2 pkt) W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.

ROZWIĄZANIE Prowadzimy wysokość CE trójkąta równobocznego ABC (linia przerywana kolor czerwony) Wówczas AE=3 i stąd CD=AE=3 (odcinki zaznaczone kolorem zielonym) Następnie zapisujemy, że BC=AB=6 oraz  DA=CE= (kolor czerwony) Stąd obwód trapezu jest równy 6+6+3+ = 15+

Zadanie maturalne i C.a.r Matura 2010 poziom rozszerzony Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność Ι 2x + 4 Ι + Ι x-1 Ι ≤ 6

Rozwiązanie graficzne Rysujemy wykresy funkcji f(x)= Ι 2x + 4 Ι + Ι x-1 Ι i prostą o równaniu y=6

Rozwiązanie graficzne Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (-∞,-2), <-2,1), <1,∞) Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej Odczytujemy odcięte punktów przecięcia się wykresu funkcji f i prostej l: x=-3, x=1. Podajemy argumenty, dla których f(x)≤6: xЄ<-3,1> Rysujemy wykres funkcji f i prostą l o równaniu y = 6

Dynamiczne konstrukcje analityczne Prosta l nie musi być prostą stałą, może być malejąca, rosnąca

Zadanie maturalne i C.a.r Matura 2010 poziom rozszerzony Zadanie 3. (4 pkt) Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, by ΙCEΙ = 2ΙDFΙ. Oblicz wartość x = ΙDFΙ, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze.

ROZWIĄZANIE Program pozwala problemy w zadaniach optymalizacyjnych doświadczalnie rozwiązywać i weryfikować.

Rozwiązanie ΙBEΙ=1-2x, ΙCFΙ=1-x Pole trójkąta AEF jest funkcja zmiennej x i jest równe: Pole trójkąta AEF jest najmniejsze dla

Zadanie maturalne i C.a.r Matura 2010 poziom rozszerzony Zadanie 8. (5 pkt) Dany jest wykres funkcji . Poprowadzono prostą równoległą do osi Ox, która przecina wykres danej funkcji w punktach A, B. Niech C=(3, -1). Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2

ROZWIĄZANIE Animacja pozwala zaobserwować cechę, którą należy wykazać.

Rozwiązanie Dla dowolnej liczby a>0 zachodzi nierówność

Zadanie maturalne i C.a.r Matura 2010 poziom rozszerzony Zadanie 9. (4 pkt) Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH. Udowodnij, że ΙACΙ= ΙFGΙ.

rozwiązanie

Rozwiązanie Czworokąt ABCD jest równoległobokiem, czworokąt DCFE jest kwadratem, więc ΙABΙ= ΙCDΙ= ΙCFΙ. W kwadracie CBHG odcinki BC i CG są równe. Niech α oznacza kąt ABC danego równoległoboku. Wówczas kąt BCD wynosi 180o – α. W kwadratach CDEF oraz CBHG kąty DCF są równe 90o, więc kąt FCG jest równy α. Trójkąty ABC i FCG są przystające (cecha bkb). Stąd wnioskujemy, że Ι ACΙ = ΙFGΙ

Odcinki i proste w trójkącie wysokość WYNIKI ANKIETY > PRAWA I OBOWIĄZKI UCZNIA NASZEJ SZKOŁY > ZNAJOMOŚĆ PRAW I … Odcinki i proste w trójkącie wysokość Wysokością w trójkącie nazywamy odcinek prostopadły do boku trójkąta, przechodzący przez przeciwległy wierzchołek. Każdy trójkąt ma trzy wysokości. Powrót do zadania

Odcinki i proste w trójkącie symetralna WYNIKI ANKIETY > PRAWA I OBOWIĄZKI UCZNIA NASZEJ SZKOŁY > ZNAJOMOŚĆ PRAW I … Odcinki i proste w trójkącie symetralna Symetralną boku trójkąta nazywamy prostą prostopadłą do tego boku, przechodzącą przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków,( przecinające się w jednym punkcie), który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Powrót do zadania

Odcinki i proste w trójkącie dwusieczna WYNIKI ANKIETY > PRAWA I OBOWIĄZKI UCZNIA NASZEJ SZKOŁY > WYWIĄZYWANIE SIĘ Z … Odcinki i proste w trójkącie dwusieczna Dwusieczna kąta jest to półprosta dzieląca kąt na połowy. Każdy trójkąt ma trzy dwusieczne przecinające się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. Powrót do zadania

Odcinki i proste w trójkącie Środkowa WYNIKI ANKIETY > CZAS POŚWIĘCONY NA NAUKĘ > ŚREDNIA CZASU POŚWIĘCANEGO … Odcinki i proste w trójkącie Środkowa Środkowa boku trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości trójkąta. Powrót do zadania

Okrąg i trójkąt Okrąg wpisany w trójkąt WYNIKI ANKIETY > PRAWA I OBOWIĄZKI UCZNIA NASZEJ SZKOŁY > PRZESTRZEGANIE PRAW … Okrąg i trójkąt Okrąg wpisany w trójkąt Okręgiem wpisanym w trójkąt nazywamy okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta. Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt: rysujemy symetralne boków trójkąta, punkt przecięcia symetralnych jest środkiem okręgu stycznego do boków trójkąta. Powrót do zadania

OkrĄg i trójkąt Okrąg opisany na trójkącie WYNIKI ANKIETY > PRAWA I OBOWIĄZKI UCZNIA NASZEJ SZKOŁY > PRZESTRZEGANIE PRAW … OkrĄg i trójkąt Okrąg opisany na trójkącie . Okrąg jest opisany na trójkącie, jeżeli wszystkie wierzchołki trójkąta leżą na tym okręgu. Konstrukcja okręgu opisanego na trójkącie: rysujemy symetralne boków trójkąta, punkt przecięcia symetralnych jest środkiem okręgu, który przechodzi przez wszystkie wierzchołki tego trójkąta. Powrót do zadania

LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI DZIĘKUJEMY