Prezentacja ugp – drgania wokół nas Nazwa szkoły: ZSP w Białogardzie ID grupy: 97/22_MF_G1 Opiekun: Renata Karczewska - Siudowska Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Temat projektowy: ,, Drgania wokół nas” Semestr/rok szkolny: IV - rok 2011/2012

Skład grupy: Alicja Gąsiorowska Róża Wysocka Dominika Paluszkiewicz Michał Kunz Tomasz Krepsztul Włodzimierz Borowik Miłosz Klepuszewski Dawid Koprowski Dariusz Szłyk Tadeusz Szenichowicz

SPIS TREŚCI: Ruch drgający. Wielkości związane z tym ruchem. Oscylator harmoniczny. Ruch harmoniczny. Siła w ruchu harmonicznym. Wielkości opisujące ruch harmoniczny. Przemiany energii w ruchu harmonicznym. Wykres energii w ruchu harmonicznym. Wykres zależności energii od czasu. Wahadło matematyczne. Drgania własne i wymuszone. Rezonans mechaniczny.

RUCH DRGAJĄCY Ruch drgający prosty jest ruchem najczęściej spotykanym w przyrodzie. Przykładami takiego ruchu są: ruch struny instrumentu, ruch ciężarka zawieszonego na sprężynie, ruch wahadła czy ruch tłoka w silniku. Przyczyną tego ruchu jest siła sprężystości.

Wielkości związane z tym ruchem x - wychylenie w danej chwili-odległość ciała od położenia równowagi , A - amplituda drgań- największe wychylenie z położenia równowagi , T - okres drgań - jedno pełne drganie w czasie 1s , f - częstotliwość drgań- ilość drgań w jednostce czasu , Zależność pomiędzy częstotliwością a okresem: f = 1/T

Z rysunku odczytujemy, że: Ruch drgający można rozpatrywać jako rzut ruchu po okręgu. Z rysunku odczytujemy, że: Przekształcając równanie otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego.

Oscylator harmoniczny Ruch drgający, odbywający się pod działaniem siły sprężystości, w którym przyspieszenie w każdym punkcie ruchu jest wprost proporcjonalne do wychylenia, nosi nazwę ruchu drgającego prostego albo harmonicznego. Ciało drgające to oscylator harmoniczny. Jak widać w równaniu ruchu drgającego wychylenie w ruchu harmonicznym zmienia się w czasie sinusoidalnie. Tą zależność przedstawia wykres:

RUCH HARMONICZNY Rozważmy ponownie ruch harmoniczny jako rzut ruchu jednostajnego po okręgu. Wykorzystując zależności pokazane na rysunku wyprowadźmy wzór na prędkość w ruchu harmonicznym: prędkość ciała poruszającego się po okręgu składowa prędkości promień okręgu

Korzystamy z wzoru na prędkość w ruchu po okręgu: Jak wynika z rysunku za r możemy podstawić A (największe wychylenie) i otrzymuje wzór na prędkość w ruchu harmonicznym Prędkość maksymalną ciała osiąga w położeniu równowagi. Zależność prędkości od czasu w ruchu harmonicznym przedstawia wykres:

Wzór na prędkość w ruchu harmonicznym można także wyprowadzić obliczając pochodną v=dx/dt. Otrzymujemy: v = Aωcosωt. Wykonajmy podobny rysunek i wyprowadźmy wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym. Korzystając z rysunku odczytujemy zależności: Za a podstawiamy wzór na przyspieszenie w ruchu po okręgu: Otrzymujemy wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym:

Znak minus oznacza, że kierunek przyspieszenia jest przeciwny względem kierunku wychylenia. Zależność przyspieszenia od czasu w ruchu harmonicznym przedstawia wykres: Wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym można wyprowadzić także obliczając pochodną a = dv/dt. Ruch drgający prosty jest ruchem niejednostajnie zmiennym.

Siła w ruchu harmonicznym F = - k x

Wielkości opisujące ruch harmoniczny W dowolnej chwili F = ma Ale tutaj F = -k x ma = Więc: -k x = ma F = -kx a k m x

gdzie ω jest szybkością kątową niech gdzie ω jest szybkością kątową Niech x = A cos (ωt)

Wykres A cos (ω t ) A = amplituda drgań T = 2/ A  = w t -    q =  t = 0 q = T = 2p T = 2/ A  = w t -    A

Wykres A cos(ωt - π/2)  = /2 A  -   

Ruch Harmoniczny Prosty: Podsumowanie k s m Siła: k m s s L rozwiązanie: s = A cos(ωt + φ)

x(t) = A(t) cos(ω’t + φ )

PRZEMIANY ENERGII W RUCHU HARMONICZNYM Ciało drgające posiada energię kinetyczną i potencjalną sprężystości. Wyprowadźmy wzory na obie energie. Energia potencjalna sprężystości wyraża się ogólnym wzorem: Po podstawieniu do tego wzoru równanie ruchu drgającego otrzymujemy wzór na energię potencjalną sprężystości w ruchu drgającym:

Wykres energii w ruchu harmonicznym

Energia kinetyczna wyraża się ogólnym wzorem: Wstawiamy do niego wzór na prędkość ruchu harmonicznym i otrzymujemy wzór na energię kinetyczną w ruchu drgającym: A więc energia całkowita ciała drgającego wynosi: Energia całkowita jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy.

WyKres Zależności Energii od czasu

WAHADŁO MATEMATYCZNE Wahadło matematyczne to punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Na rysunku przedstawione są działające siły, gdzie siły F i F' to siły składowe. Siłę F' równoważy siła naciągu nitki T, więc o ruchu wahadła decyduje tylko siła F. Z rysunku odczytujemy wartość funkcji sinus:

Porównujemy obie wartości: Otrzymany wzór skłania ku wnioskowi, że siła jest wprost proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie zwrócona, więc potwierdza to wcześniejsze stwierdzenie, że jest to ruch harmoniczny. Wyprowadźmy wzór na okres drgań wahadła matematycznego. Porównujemy wzory na stałą k: Otrzymujemy:

Drgania Tłumione ( gasnące ) Z doświadczenia wiemy, że wahadło pobudzone jednorazowo do drgań przez wychylenie go z położenia równowagi waha się w miarę upływu czasu coraz słabiej, aż wreszcie zatrzymuje się. Świadczy to o rozpraszaniu energii. Drgania takie nazywamy drganiami tłumionymi lub gasnącymi. Ciało drgające musi wykonywać pracę przeciwko sile oporu, zużywając na to swoją energię. Jeśli maleje energia ciała, to maleje również amplituda drgań

Drgania własne i wymuszone Drgania, które wykonuje ciało wychylone ze stanu równowagi i pozostawione samemu sobie, tj. nie poddane działaniu dodatkowych sił zewnętrznych określamy mianem drgań własnych ciała. Drgania własne ciała mają zawsze tę samą charakterystyczną dla niego częstotliwość, niezależnie od sposobu wzbudzenia. Wiemy, że zanikaniu wahań wahadła można zapobiec przez okresowe pobudzanie go do ruchu.

Drgania wymuszone –rezonans mechaniczny Jeżeli energia dostarczana w każdym impulsie pobudzającym zrównoważy energię rozpraszaną, to drgania wahadła staną się niegasnące. Takie drgania wzbudzone za pomocą zmieniających się okresowo sił zewnętrznych albo też przenoszone z innego ciała drgającego nazywamy drganiami wymuszonymi.

Cd. Rezonans mechaniczny Przeprowadźmy doświadczenie: Pobudzamy do drgań wahadło A, obserwujemy, że jego drgania stopniowo zanikają, coraz bardziej zaczyna się wahać wahadło C. Wahadło B pozostaje cały czas w spoczynku. Zaobserwowaliśmy zjawisko rezonansu mechanicznego, czyli zjawisko przekazywania drgań (energii drgań) ciał o takiej samej częstotliwości drgań własnych.

PRZYKŁADY REZONANSU MECHANICZNEGO Ze zjawiskiem rezonansu czasami spotykamy się, jadąc autobusem. Przy pewnej prędkości obrotów silnika szyby i niektóre części karoserii zaczynają silnie drgać. Ciężki dzwon można rozbujać, używając niewielkiej siły pod warunkiem, że ciągniemy za sznur (dostarczamy energii) z częstotliwością bliską częstotliwości jego drgań własnych. W sytuacji, gdy samochód ugrzęźnie w dołku, skuteczniejsze są rytmiczne impulsy, np. do przodu, niż działanie stałej siły. Na skutek tych impulsów amplituda drgań samochodu wzrasta na tyle, aby pojazd mógł się wydobyć z „pułapki".

Negatywne skutki rezonansu Zjawisko rezonansu może doprowadzić do przykrych konsekwencji, gdy częstotliwość drgań własnych fundamentów lub części budynku powiązanych z maszyną jest porównywalna z częstotliwością drgań własnych pracujących maszyn, a szczególnie, gdy nie są one dobrze zamocowane. Powstają wówczas niebezpieczne rezonanse, które mogą powodować duże przeciążenie elementów konstrukcyjnych i w konsekwencji doprowadzić do ich uszkodzenia.

Przykład rezonansu Powtarzające się okresowo podmuchy wiatru mogą znaleźć się w rezonansie z drganiami własnymi budynków lub mostów i spowodować ich zniszczenie w wyniku wzrostu amplitudy drgań.