Zagadnienia transportowe sudoku ciąg dalszy….

Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F. L Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowym, opracowana została przez G.B.Dantziga (1951) i jest szczególnym przypadkiem algorytmu simpleks. Pierwotnie zagadnienie transportowe było rzeczywiście stosowane do rozwiązywania problemów związanych z transportem, później okazało sie, ze stosuje sie do wielu innych zagadnień praktycznych. Najbardziej znane warianty zagadnienia transportowego to: 1. zagadnienie transportowe (zamknięte i otwarte) 2. zagadnienie transportowo-produkcyjne 3. zagadnienie lokalizacji produkcji 4. zagadnienie minimalizacji pustych przebiegów

ZZT Mamy m dostawców i n odbiorców jakiegoś dobra. Znamy podaż każdego dostawcy, popyt każdego odbiorcy oraz koszty transportu od dostawców do odbiorców. Zagadnienia transportowe polegają na tym, by ustalić plan przewozu towarów w taki sposób, aby łączne koszty transportu były minimalne. Jeśli łączna podaż równa jest łącznemu popytowi, to jest to ZZT (zamknięte zadanie transportowe). W przeciwnym razie jest to zadanie otwarte.

Trochę wzorów… xij – wielkość przewozów ai – podaż dostawców bj – popyt odbiorców cij – jedn.koszt transportu od dostawcy do odbiorcy (podaż = popyt; ZZT) (minimalny łączny koszt transportu) (każdy dostawca wyśle tyle towaru, ile ma) (każdy odbiorca dostanie tyle towaru, ile chce)

ZZT można rozwiązać za pomocą: Metody górnego lewego rogu (metody kąta północno-zachodniego) Metody najmniejszego elementu Metody VAM (metody aproksymacji Vogela) Metodę rozwiązania zagadnienia nadal stosuje się z dużym powodzeniem. Na przykład w latach 90-tych firma Procter and Gamble przebudowała system wytwarzania i dystrybucji swoich produktów w Stanach Zjednoczonych w oparciu o zagadnienie transportowe. Roczną oszczędność oszacowano na ok. 200 mln dolarów.

Metoda górnego lewego rogu (metoda północno-zachodniego kąta) Wozimy oranżadę ;-) Czterech producentów tej oranżady dysponuje odpowiednio 20, 30, 10 i 40 skrzynkami napoju. Pięć sklepów chętnie kupi odpowiednio 10, 15, 30, 10 i 35 skrzynek. Mamy jak najmniejszym kosztem porozwozić wszystkie skrzynki, znając koszty drogi od dostawcy do odbiorcy. Źródło: http://www.truck1.pl/Ciezarowki-c5gm 20 30 10 40 P1 P2 P3 P4 5 2 1 S1 3 4 S2 15 S3 S4 6 S5 35 Producenci (dostawcy) Sklepy (odbiorcy) Koszty

S1 P1 S2 P2 S3 P3 S4 P4 S5

Zaczynamy od lewego górnego rogu. Jaki popyt? Jaka podaż? 20 30 10 40   15 35 20 30 10 40 10    15 35 Zaczynamy od lewego górnego rogu. Jaki popyt? Jaka podaż? 20-10=10 30 10 40 10    10-10=0 15 35 10 30 40 10   0   15 35

10 30 40 10   0   15 35 10 30 40 10   0   15 35 10 30 40 10   0   15 35 10-10=0 30 10 40 10   0   15-10=5 35

30 10 40 10   0   5 35 30 10 40 10   0  5   5 35 30-5=25 10 40 10   0  5   5-5=0 30 35 25 10 40 10   0  5 0    30 35

25 10 40 10   0  5 0    30 35 25 10 40 10   0  5 0   25   30 35 25-25=0 10 40 10   0  5 0   25   30-25=5 35 10 40 10   0  5 0   25   5 35

10 40 10   0  5 0   25   5 35 10 40 10   0  5 0   25   5 35 10-5=5 40 10   0  5 0   25   5-5=0 10 35 5 40 10   0  5 0   25   10 35

5 40 10   0  5 0   25   10 35 5 40 10   0  5 0   25 5    10 35 5-5=0 40 10   0  5 0   25 5 5    10-5=5 35 40 10   0  5 0   25 5 5    35

40 10   0  5 0   25 5 5    35 40 10   0  5 0   25 5 5    35 40-5=35 10   0  5 0   25 5 5  5-5=0   35 35 10   0  5 0   25 5 5   

35 10   0  5 0   25 5 5    35 10   0  5 0   25 5 5   35 35-35=0 10   0  5 0   25 5 5   35 10   0  5 0   25 5 5   35

Koniec  Na końcu tabelka powinna mieć wszystkie wartości popytu i podaży równe zero. W ten sposób mamy rozwiązanie dopuszczalne Elementy równe zero (we wnętrzu tabeli) to tzw. elementy niebazowe Elementy bazowe to te różne od zera. Jaki jest koszt przewozu oranżady od dostawców do odbiorców?

20 30 10 40 P1 P2 P3 P4 5 2 1 S1 3 4 S2 15 S3 S4 6 S5 35 20 30 10 40 P1 P2 P3 P4 10   0 S1  5 0  S2 15  25 5 S3 5  S4  35 S5 35

20 30 10 40 P1 P2 P3 P4 10   0 S1  5 0  S2 15  25 5 S3 5  S4  35 S5 35 20 30 10 40 P1 P2 P3 P4 5 2 1 S1 3 4 S2 15 S3 S4 6 S5 35 5x10  0 3x10 1x5 0  1x25 2x5 5x5 6x35 KOSZT PRZEWOZU TO 5x10 + 3x10 + 1x5 + 1x25 + 2x5 + 5x5 + 1x5 + 6x35 = 360

Metoda najmniejszego elementu Wozimy oranżadę ;-) Czterech producentów tej oranżady dysponuje odpowiednio 20, 30, 10 i 40 skrzynkami napoju. Pięć sklepów chętnie kupi odpowiednio 10, 15, 30, 10 i 35 skrzynek. Mamy jak najmniejszym kosztem porozwozić wszystkie skrzynki, znając koszty drogi od dostawcy do odbiorcy. Źródło: http://www.truck1.pl/Ciezarowki-c5gm 20 30 10 40 P1 P2 P3 P4 5 2 1 S1 3 4 S2 15 S3 S4 6 S5 35 Producenci (dostawcy) Sklepy (odbiorcy) Koszty

Zaczynamy od góry, szukamy najmniejszego kosztu. Podaż Popyt 20 30 10 40  5  2  1  3  4 15  6 35 Zaczynamy od góry, szukamy najmniejszego kosztu. Jaki popyt? Jaka podaż? 20 30 10-10=0 40    10 15 10 35 20 30 40   10  15 10 35

20 30 40 0  10     0 15 10 35 20 30 10 40  5  2  1  3  4 15  6 35 20 30 10 40  5  2  1  3  4 15  6 35 20 30-15=15 40 0  10   15  0 15-15=0   30 10 35

20 15 40 0  10   15  0   30 10 35 20 15 40  5  2  1  3  4 30 10  6 35 20 15 40  5  2  1  3  4 30 10  6 35 20-20=0 15 40 0  10   15  0 20    30-20=10 10 35

15 40 0  10   15  0 20    10 35 15 40  5  2  1  3  4 10  6 35 15 40  5  2  1  3  4 10  6 35 15-10=5 40 0  10   15  0 20   10   10-10=0 10 35

5 40 0  10   15  0 20   10   10 35 5 40  5  2  1  3  4 10  6 35 5 40  5  2  1  3  4 10  6 35 5-5=0 40 0  10   15  0 20   10  5   10-5=5 35

40 0  10   15  0 20   10  5   5 35 40  5  2  1  3  4 5  6 35 40  5  2  1  3  4 5  6 35 40-5=35 0  10   15  0 20   10  5 5-5=0   35

40-5=35 0  10   15  0 20   10  5 5-5=0   35 35  5  2  1  3  4  6 35  5  2  1  3  4  6 35-35=0 0  10   15  0 20   10  5  35

Koniec  Na końcu tabelka powinna mieć wszystkie wartości popytu i podaży równe zero. W ten sposób mamy rozwiązanie dopuszczalne Elementy równe zero (we wnętrzu tabeli) to tzw. elementy niebazowe Elementy bazowe to te różne od zera. Jaki jest koszt przewozu oranżady od dostawców do odbiorców?

20 30 10 40 P1 P2 P3 P4 5 2 1 S1 3 4 S2 15 S3 S4 6 S5 35 20 30 10 40 P1 P2 P3 P4 0  10  S1  15  0 S2 15 20   10 S3  5 S4  35 S5 35

KOSZT PRZEWOZU TO 1x20 + 1x15 + 1x10 + 1x5 + 1x10 + 1x5 + 6x35 = 275 30 10 40 P1 P2 P3 P4 0  10  S1  15  0 S2 15 20   10 S3  5 S4  35 S5 35 20 30 10 40 P1 P2 P3 P4 5 2 1 S1 3 4 S2 15 S3 S4 6 S5 35 1x10 1x15 1x20 1x5 6x35 KOSZT PRZEWOZU TO 1x20 + 1x15 + 1x10 + 1x5 + 1x10 + 1x5 + 6x35 = 275

Metoda VAM (Vogel’s approximation Method) Wozimy oranżadę ;-) Czterech producentów tej oranżady dysponuje odpowiednio 20, 30, 10 i 40 skrzynkami napoju. Pięć sklepów chętnie kupi odpowiednio 10, 15, 30,10 i 35 skrzynek. Mamy jak najmniejszym kosztem porozwozić wszystkie skrzynki, znając koszty drogi od dostawcy do odbiorcy. Źródło: http://www.truck1.pl/Ciezarowki-c5gm 20 30 10 40 P1 P2 P3 P4 5 2 1 S1 3 4 S2 15 S3 S4 6 S5 35 Producenci (dostawcy) Sklepy (odbiorcy) Koszty

20 30 10 40  5  2  1  3  4 15  6 35 20 30 10 40  5  2  1  3  4 15  6 35 20 30 10 40  5  2  1  3  4 15  6 35 2-1=1 1-1=0 3-1=2  5  2  1  3  4  6

1 2  5  2  1  3  4  6 1 2  5  2  1  3  4  6 40-10=30 20 30 10 40 15 35 20 30 10 15 35 10-10=0

1 2  5  2  1  3  4  6 2-1=1 1-1=0 4-3=1  5  2  1  3  4  6 1  5  2  1  3  4  6 1  5  2  1  3  4  6

20-20=0 20 30 10 15 35 30 10 15 20 35 30-20=10 1  2  1  5  4  3  6 1-1=0 4-3=1  2  1  5 2-1=1  4  3  6

1  2  1  5  4  3  6 1  2  1  5  4  3  6 10-10=0 30 10 15 20 35 30 10 15 20 35 10-10=0

1  1  4  3  6 1-1=0 4-3=1  1  4 4-1=3  3 3-1=2  6 6-1=5 1  1  4 3  3 2  6 5 30 10 15 20 35

30-30=0 30 10 15 20 35 30 10 15 20 5 35-30=5 1  4 3  3 2  6 5 4-3=1  4  3  6

1  4  3  6 30 10 15 20 5 30-10=20 30 10 15 20 5 20 10 15 30 5 10-10=0

1  4  6 6-4=2  4  6 20-15=5 20 10 15 30 5 20 10 15 30 5 15-15=0

 6 5 10 15 20 30 5-5=0 5 10 15 20 30 10 15 20 30 5 5-5=0

20 30 10 40 P1 P2 P3 P4 S1 15 S2 S3 S4 5 S5 35 20 30 10 40 P1 P2 P3 P4 5 2 1 S1 3 4 S2 15 S3 S4 6 S5 35

KOSZT PRZEWOZU TO 1x20 + 1x30 + 1x10 + 4x15 + 3x10 + 1x10 + 6x5 = 190 40 P1 P2 P3 P4 S1 15 S2 S3 S4 5 S5 35 20 30 10 40 P1 P2 P3 P4 5 2 1 S1 3 4 S2 15 S3 S4 6 S5 35 1x10 4x15 1x20 3x10 1x30 6x5 KOSZT PRZEWOZU TO 1x20 + 1x30 + 1x10 + 4x15 + 3x10 + 1x10 + 6x5 = 190

ZZT rozwiązaliśmy za pomocą: Metody górnego lewego rogu (metody kąta północno-zachodniego) koszt transportu 360 Metody najmniejszego elementu koszt transportu 275 Metody VAM (metody aproksymacji Vogela) koszt transportu 190

Zad. 1. Trzech dostawców dostarcza towar trzem odbiorcom Zad. 1. Trzech dostawców dostarcza towar trzem odbiorcom. Należy ustalić taki plan przewozów, który minimalizuje koszty tych przewozów. 20 30 P1 P2 P3 7 4 5 S1 18 13 S2 32 11 8 S3 Zad. 2. Trzech dostawców dostarcza towar czterem odbiorcom. Należy ustalić taki plan przewozów, który minimalizuje koszty tych przewozów. 200 300 500 P1 P2 P3 4 5 3 S1 100 2 S2 250 S3 350 S4