Dane dotyczące sprzedaży wody mineralnej Tygodnie Ilość sprzedanej wody mineralnej Y (litrów) Cena jednego litra X (płn.) 1 10 1,3 2 6 2,0 3 5 1,7 4 12 1,5 1,6 15 1,2 7 8 1,4 9 17 1,0 20 1,1

Wykres rozrzutu zmiennych X i Y

Równanie prostej regresji Ŷ - i-ta wartość teoretyczna zmiennej objaśnianej Xi – i-ta obserwacja zmiennej objaśniającej b0 - wyraz wolny b1 – współczynnik kierunkowy

Różnicę pomiędzy wartością empiryczną zmiennej objaśnianej Yi a wartością teoretyczną Ŷi nazywa się i-ta resztą

Metoda najmniejszych kwadratów opiera się na koncepcji poszukiwania takich wartości b0 b1, przy których suma kwadratów reszt osiąga minimum

Dane dotyczące sprzedaży wody mineralnej Tygodnie Ilość sprzedanej wody mineralnej Y (litrów) Cena jednego litra X (PLN) 1 10 1,3 2 6 2,0 3 5 1,7 4 12 1,5 1,6 15 1,2 7 8 1,4 9 17 1,0 20 1,1

b1 = -14,54 b0 = 32,14 Ŷ = 32,14 – 14,54 X

Równanie regresji ??? Ŷ = 32,14 – 14,54 X

Równanie regresji Ŷ = 32,14 – 14,54 X 32,14

Równanie regresji Ŷ = 32,14 – 14,54 X ??? Parametr b1 informuje, o ile wzrósł (gdy b1 > 0) lub zmalał (gdy b1 < 0) średni poziom zmiennej Y pod wpływem zwiększenia się zmiennej X o jednostkę

Równanie regresji Ŷ = 32,14 – 14,54 X Wzrost X (ceny wody mineralnej) o 1 zł spowoduje spadek Y (wielkość sprzedaży) o 14,54 litrów.

Na podstawie b0 i b1 oraz X można wyznaczyć wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej oraz reszty Wartość empiryczna (obserwowana) zmiennej Wartość teoretyczna (przewidywana) zmiennej ei ei Reszta

Reszty ei Cena jednego litra (PLN) Ilość sprzedanej wody mineralnej (litrów) Wartości empiryczne Wartości teoretyczne Reszty ei X1 = 1,3 Y1 = 10 X2 = 2,0 Y2 = 6 X3 = 1,7 Y3 = 5 X4 = 1,5 Y4 = 12 X5 = 1,6 Y5 = 10 X6 = 1,2 Y6 = 15 X7 = 1,6 Y7 = 5 X8 = 1,4 Y8 = 12 X9 = 1,0 Y9 = 17 X10 = 1,1 Y10 = 20

Ŷi = 32,14 – 14,54 Xi Ŷ1 = 32,14 – 14,54 · 1,3 = 13,24 Ŷ2 = 32,14 – 14,54 · 2,0 = 3,06 Ŷ3 = 32,14 – 14,54 · 1,7 = 7,42 Ŷ4 = 32,14 – 14,54 · 1,5 = 10,33 Ŷ5 = 32,14 – 14,54 · 1,6 = 8,88 Ŷ6 = 32,14 – 14,54 · 1,2 = 14,69 Ŷ7 = 32,14 – 14,54 · 1,6 = 8,88 Ŷ8 = 32,14 – 14,54 · 1,4 = 11,78 Ŷ9 = 32,14 – 14,54 · 1,0 = 17,60 Ŷ10 = 32,14 – 14,54 · 1,1 = 16,15

Reszty ei Cena jednego litra (PLN) Ilość sprzedanej wody mineralnej (litrów) Wartości empiryczne Wartości teoretyczne Reszty ei X1 = 1,3 Y1 = 10 Ŷ1 = 13,24 X2 = 2,0 Y2 = 6 Ŷ2 = 3,06 X3 = 1,7 Y3 = 5 Ŷ3 = 7,42 X4 = 1,5 Y4 = 12 Ŷ4 = 10,33 X5 = 1,6 Y5 = 10 Ŷ5 = 8,88 X6 = 1,2 Y6 = 15 Ŷ6 = 14,69 X7 = 1,6 Y7 = 5 Ŷ7 = 8,88 X8 = 1,4 Y8 = 12 Ŷ8 = 11,78 X9 = 1,0 Y9 = 17 Ŷ9 = 17,60 X10 = 1,1 Y10 = 20 Ŷ10 = 16,15

Reszty e1 = Y1 - Ŷ1 = 10 - 13,24 = -3,24 e2 = Y2 – Ŷ2 = 6 - 3,06 = 2,94 e3 = Y3 – Ŷ3 = 5 - 7,42 = -2,42 e4 = Y4 – Ŷ4 = 12 - 10,33 = 1,67 e5 = Y5 – Ŷ5 = 10 - 8,88 = 1,12 e6 = Y6 – Ŷ6 = 15 - 14,69 = 0,31 e7 = Y7 – Ŷ7 = 5 - 8,88 = -3,88 e8 = Y8 – Ŷ8 = 12 - 11,78 = 0,22 e9 = Y9 – Ŷ9 = 17 - 17,60 = - 0,60 e10 = Y10 - Ŷ10 = 20 - 16,15 = 3,85

Reszty ei Cena jednego litra (PLN) Ilość sprzedanej wody mineralnej (litrów) Wartości empiryczne Wartości teoretyczne Reszty ei X1 = 1,3 Y1 = 10 Ŷ1 = 13,24 e1 = -3,24 X2 = 2,0 Y2 = 6 Ŷ2 = 3,06 e2 = 2,94 X3 = 1,7 Y3 = 5 Ŷ3 = 7,42 e3 = -2,42 X4 = 1,5 Y4 = 12 Ŷ4 = 10,33 e4 = 1,67 X5 = 1,6 Y5 = 10 Ŷ5 = 8,88 e5 = 1,12 X6 = 1,2 Y6 = 15 Ŷ6 = 14,69 e6 = 0,31 X7 = 1,6 Y7 = 5 Ŷ7 = 8,88 e7 = -3,88 X8 = 1,4 Y8 = 12 Ŷ8 = 11,78 e8 = 0,22 X9 = 1,0 Y9 = 17 Ŷ9 = 17,60 e9 = -0,60 X10 = 1,1 Y10 = 20 Ŷ10 = 16,15 e10 = 3,85

Równanie regresji Ŷ = 32,14 – 14,54 X b0=32,14 Różnica niewyjaśniona regresją (reszta) Różnica całkowita Róznica wyjaśniona regresją 11,2=Y̅

Równanie regresji Ŷ = 32,14 – 14,54 X b0=32,14 Y10 =20 Różnica niewyjaśniona regresją (reszta) Ŷ10=16,15 Różnica wyjaśniona regresją 11,2=Y̅

różnica niewyjaśniona regresją (reszta) różnica wyjaśniona regresją b0=32,14 różnica całkowita różnica wyjaśniona regresją Y Ŷ Y̅

Pierwszy z tych składników (Ŷi – Y̅ ) można traktować jako tę część całkowitych różnic Yi i Y̅ , która jest wyjaśniona regresją Y względem X. Drugi składnik (Yi - Ŷi) jest resztą ei , a zatem jest to ta część całkowitych różnic Yi i Ŷ, która nie została wyjaśniona regresją.

Analogiczna równość zachodzi także dla sum kwadratów odpowiednich różnic

całkowite wyjaśnione regresją niewyjaśnione regresją SST = SSR + SSE różnice różnice różnice całkowite wyjaśnione regresją niewyjaśnione regresją

SS – Sum of Squares T – Total R – Regression E – Error SST = SSR + SSE różnice różnice różnice całkowite wyjaśnione regresją niewyjaśnione regresją

Współczynnik determinacji (R2) informuje, jaka część całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej (Y) jest wyjaśniona przez X

Dane dotyczące sprzedaży wody mineralnej X Y Ŷ Y-Ŷ (Y-Ŷ)2 Y-Y̅ (Y-Y̅ )2 1,3 10 13,24 -3,24 10,47 -1,2 1,44 2 6 3,06 2,94 8,65 -5,2 27,04 1,7 5 7,42 -2,42 5,86 -6,2 38,44 1,5 12 10,33 1,67 2,80 0,8 0,64 1,6 8,87 1,13 1,27 1,2 15 14,69 0,31 0,10 3,8 14,44 -3,87 15,01 1,4 11,78 0,22 0,05 1 17 17,60 -0,60 0,36 5,8 33,64 1,1 20 16,14 3,86 14,87 8,8 77,44 Średnia 11,2 Suma 0,00 59,42 233,60 SSE SST

Dane dotyczące sprzedaży wody mineralnej SST = 233,60 SSE = 59,42 74,6% zmienności sprzedaży wody mineralnej jest wyjaśnione zmianami cen.

Odchylenie standardowe reszt Odchylenie standardowe reszt (standardowy błąd estymacji) informuje o ile średnio wartości obserwowane Y odchylają się od wartości przewidywanych Ŷ modelu n – liczba obserwacji k – liczba współczynników w równaniu

Dane dotyczące sprzedaży wody mineralnej X Y Ŷ Y-Ŷ (Y-Ŷ)2 1,3 10 13,24 -3,24 10,47 2 6 3,06 2,94 8,65 1,7 5 7,42 -2,42 5,86 1,5 12 10,33 1,67 2,80 1,6 8,87 1,13 1,27 1,2 15 14,69 0,31 0,10 -3,87 15,01 1,4 11,78 0,22 0,05 1 17 17,60 -0,60 0,36 1,1 20 16,14 3,86 14,87 Średnia 11,2 Suma 0,00 59,42 Rzeczywiste wielkości sprzedaży wody mineralnej różnią się od przewidywanych przeciętnie o 2,725 litrów.