Trójkąty

Spis treści Co to jest trójkąt? Klasyfikacja trójkątów. Wysokości trójkątów. Wybrane trójkąty i ich własności. Cechy podobieństwa. Przystawanie trójkątów. Twierdzenia związane z trójkątami. Twierdzenie Pitagorasa.

Wielokąt o najmniejszej liczbie boków to trójkąt. CO TO JEST TRÓJKĄT??? Wielokąt o najmniejszej liczbie boków to trójkąt. Trójkąt to płaszczyzna ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą złożoną z trzech odcinków.

Klasyfikacja trójkątów ze względu na kąty trójkąt ostrokątny - ma wszystkie kąty ostre, trójkąt prostokątny - ma jeden kąt prosty (a dwa ostre), trójkąt rozwartokątny – ma jeden kąt rozwarty (a dwa ostre).

Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki trójkąt różnoboczny – ma boki różnej długości, trójkąt równoramienny – ma przynajmniej dwa boki równej długości, trójkąt równoboczny – ma wszystkie boki równej długości ( trójkąt równoboczny jest zarazem równoramienny).

c2 b2 a2 a2 + b2 = c2 TWIERDZENIE PITAGORASA Nawet najwięksi szkolni słabeusze wiedzą pod koniec podstawówki, że w każdym trójkącie prostokątnym kwadrat długości najdłuższego boku (przeciwprostokątnej) jest sumą kwadratów długości dwóch pozostałych boków (przyprostokątnych). c2 b2 a2 + b2 = c2 a2 Dziś twierdzenie Pitagorasa brzmi: "Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej „.

W każdym trójkącie można poprowadzić trzy wysokości: Wysokość trójkąta to odcinek prowadzony z wierzchołka trójkąta do przeciwległego boku lub jego przedłużenia pod kątem prostym. W każdym trójkącie można poprowadzić trzy wysokości: W trójkącie ostrokątnym leżą one wewnątrz trójkąta, W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego leży wewnątrz trójkąta, dwie pozostałe to przyprostokątne, W trójkącie rozwartokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego leży wewnątrz trójkąta , dwie pozostałe leżą na zewnątrz trójkąta.

Własności trójkąta prostokątnego Trójkąt prostokątny Trójkąt prostokątny – trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty, czyli o mierze 90°. Dwa boki trójkąta leżące obok kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, a trzeci bok przeciwprostokątną. trójkąt prostokątny spełnia twierdzenie Pitagorasa; średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest jego przeciwprostokątna c. W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma jak sama nazwa mówi miarę 90 stopni. Jeśli pozostałe kąty leżące przy podstawie są równej miary wtedy trójkąt prostokątny jest również trójkątem równoramiennym.

Wysokości dzielą boki i kąty na połowy ( po 30). Trójkąt równoboczny Trójkąt równoboczny to trójkąt, którego wszystkie boki mają tę samą długość (oznaczmy ją ). Taki trójkąt ma następujące własności: Kąty mają miarę 60. Wysokości dzielą boki i kąty na połowy ( po 30).

Trójkąt równoramienny Trójkąt równoramienny – trójkąt o ramionach równej długości. Trzeci bok jest podstawą trójkąta równoramiennego. Własności trójkąta równoramiennego: Kąty przy podstawie są przystające. Wysokości prowadzone z wierzchołków przy podstawie są równej długości. Wysokość prowadzona z wierzchołka między ramionami dzieli podstawę i kąt między ramionami na połowy.

k - skala podobieństwa ΔABC ~ ΔA'B'C' Cechy podobieństwa trójkątów, to warunki konieczne i wystarczające na to, aby dwa trójkąty były podobne. Podobieństwo trójkątów oznaczamy symbolem ~. I cecha podobieństwa trójkątów b1/b = a1/a = c1/c = k k - skala podobieństwa ΔABC ~ ΔA'B'C' Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.

α = α' β = β' ΔABC ~ ΔA'B'C' II cecha podobieństwa trójkątów Jeżeli miary dwóch kątów jednego trójkąta są równe miarom odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.

Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne III cecha podobieństwa trójkątów α = α' b1/b = a1/a ΔABC ~ ΔA'B'C' Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne.

Cechy przystawania trójkątów Jeżeli boki jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające. Cecha I

Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiednich boków i kąta zawartego między nimi w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające. Cecha II

Cecha III Jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiedniego boku i kątów do niego przyległych w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

Twierdzenia związane z trójkątami Symetralną boku trójkąta nazywamy prostą prostopadłą do tego boku, przechodzącą przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w jednym punkcie (p.O), który jest środkiem koła opisanego na tym trójkącie.

Dwusieczna kąta jest to półprosta dzieląca kąt na połowy Dwusieczna kąta jest to półprosta dzieląca kąt na połowy. Każdy trójkąt ma trzy dwusieczne przecinające się w jednym punkcie (p.O), który jest środkiem koła wpisanego w trójkąt.

Środkową boku trójkąta nazywamy odcinkiem łączącym środek tego boku z przeciwległym bokiem tego trójkąta. Każdy trójkąt ma trzy środkowe przecinające się w jednym punkcie (p.S), który nazywamy środkiem ciężkości tego trójkąta.

Źródła http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Pitagorasa http://www.matma.net/cgi-bin/index.cgi?a=teoria&b=trojkat&c=trojkaty http://www.math.edu.pl/trojkaty pomoce naukowe w klasie 5

Prezentację przygotowała Alicja Chlebek