Wykład no 9

Wyznaczanie obszaru stabilności bezwzględnej Przekształćmy równanie charakterystyczne do postaci:

i stawiamy pytanie odwrotnie: Jeżeli z leży wewnątrz lub na kole jednostkowym to gdzie będzie leżało  płaszczyzna  płaszczyzna z Im() iy x Re()

Przykłady metoda jawna Adamsa - Bashfortha schemat Eulera Przyjmując, że z leży na okręgu jednostkowym i podstawiając do równania:

dla metody Eulera otrzymujemy: Wnętrze koła i dla rzeczywistych  mamy:

Algorytm Adamsa – Bashfortha II-go rzędu i po odpowiednich przekształceniach mamy:

Odwzorowanie koła jednostkowego jest Jeżeli  rzeczywiste

Dla rzędu III-go Dla rzeczywistych 

Dla czwartego rzędu h jeszcze mniejsze niż dla metody rzędu trzeciego

Metody niejawne Adamsa – Moultona metoda niejawna Eulera Obszar stabilności określa równanie: Jest to równanie okręgu o środku w punkcie –1 i promieniu 1. Obszar stabilności na zewnątrz tego okręgu.

niejawna metoda Eulera: Oznacza to, że niejawna metoda Eulera: jest stabilna dla dowolnej długości kroku h. Oczywiście nie możemy zapomnieć o fizyce procesu opisywanego równaniem czy układem równań różniczkowych

Algorytm II-go rzędu (algorytm trapezów) Dla odwzorowania koła jednostkowego mamy: Badamy jak odwzorowuje się koło czyli

Wnętrze koła odwzorowuje się na prawą półpłaszczyznę co oznacza, że jeżeli rozwiązanie równania jest stabilne, czyli Re()  0, to krok całkowania h może być dowolny. Zawsze nie możemy zapomnieć o fizyce procesu opisywanego równaniem czy układem równań różniczkowych i to jest główne ograniczenie wielkości kroku.

Algorytm III-go rzędu Adamsa - Moultona i dla koła jednostkowego czyli

dla rzeczywistych  mamy warunek:

Algorytm VI-go rzędu Adamsa - Moultona i mamy odwzorowanie:

i Zbierając wyniki: Metody jawne Adamsa – Bashfortha: i algorytm niejawny Adamsa –Moultona: h – dowolny h  – dowolny h  < 6 h  < 3

Otrzymane wyniki pokazują wyższość metod niejawnych nad metodami jawnymi. W metodzie predyktor – korektor, gdzie metoda jawna służy tylko i wyłącznie do otrzymania zerowego przybliżenia rozwiązania równania metody niejawnej, o stabilności decyduje tylko metoda niejawna. Jak widać również z podanych ocen z punktu widzenia stabilności zbyt wysoki rząd metody nie jest korzystny

na kondensatorze jest: Równania sztywne Dany jest obwód elektryczny: Równanie różniczkowe dla napięcia uC na kondensatorze jest: uC Warunki początkowe są: i Równanie charakterystyczne: które ma pierwiastki: i

r2=-10000 r1=-10

Zapiszmy równanie: w postaci normalnej: lub podstawiając dane: warunki początkowe: Wybierzmy metodę jawną Eulera, krok h=10-5

stała czasowa 0.1 więc można Ponieważ dla czasów 0.005 zanikła składowa u2(t)~exp(-10000t) weźmy dokładne wartości startowe w punkcie t=0.005 i(t=0.005)=0.09521816 uC(t=0.005)=4.781839 stała czasowa 0.1 więc można przyjąć krok h=0.01

krok h=0.00001

krytyczny krok hkr<0.0002 start w punkcie t=0.005 z dokładnych wartości początkowych

Rozważamy układ n równań różniczkowych: i=1,2,...,n i może być liczbą zespoloną postaci: Jedno z rozwiązań układu równań różniczkowych będzie postaci: gdzie Ci jest stałą całkowania. Przypadek 1. ponieważ =h, więc czyli jest to prawa półpłaszczyzna

rozwiązanie powinno być i dokładne i stabilne, bo składowa przejściowa Im liczba  dobrana tak, że po jednym kroku praktycznie: III stabilny W obszarze:  Re rozwiązanie powinno być i dokładne i stabilne, bo składowa przejściowa nie znikła i mamy oscylacje Dla uzyskania dokładności w fazie początkowej powinno być N<1/8. Oznaczając =ih Liczba oscylacji:

rozwiązanie numeryczne Im mamy: czyli III  stabilny II W obszarze II rozwiązanie numeryczne musi być: dokładne i stabilne  Re - Przypadek 2. jest narastające i można liczyć tylko odpowiednio małym krokiem Rozwiązanie

dokładny i względnie stabilny III  Im czyli algorytm powinien być dokładny i względnie stabilny III  stabilny II I Algorytmy spełniające warunki I, II, III nazywamy sztywno stabilnymi -  Re - Twierdzenie Dahlquista: Algorytm wielokrokowy, stabilny bezwzględnie w obszarze nie może być rzędu wyższego niż 2. Najlepszy jest algorytm trapezów.

Trapezy prawa półpłaszczyzna =0

=0 trzeci rząd dla rzeczywistych  mamy warunek:

=0 czwarty rząd

Algorytmy sztywno stabilne Geara Pierwszego

drugiego:

trzeciego:

czwartego:

Metoda Runge - Kutty Równanie Rozwiązujemy stosując szereg Taylora ale

czyli

ale a Podstawiając do i porządkując mamy

Metoda Runge -Kutty

Sposób wyznaczania współczynników na przykładzie metody drugiego rzędu (p=2): Drugi składnik rozwijamy w szereg Taylora w otoczeniu punktu xn, tn Podstawiając i porządkując mamy:

a porównując z szeregiem Taylora przy tych samych potęgach h otrzymujemy:

lub w1=w2=w i rozwiązując otrzymujemy: Przyjmując w2=1 mamy: w1=0, b21=1/2 i stąd algorytm: lub w1=w2=w i rozwiązując otrzymujemy: w=0.5, b21=1 i stąd inny algorytm:

Przykład: Dany jest dławik o charakterystce: Rezystancja dławika wynosi 0.5. Obliczyć prąd płynący w obwodzie zasilanym sem e(t)=100sin314t. Schemat obwodu możemy przyjąć w postaci:

Suma spadków napięć pozwala zapisać równanie: Biorąc pod uwagę krzywą magnesowania: Podstawiając do równania obwodu i porządkując:

Warunek początkowy jest i0=i(t=0)=0. Wybór kroku całkowania: Stała czasowa liniowej części obwodu wynosi 0.1/0.5=0.2s. Krok czasowy można przyjąć 0.2/10=20ms. Okres wymuszenia T=20ms krok należy przyjąć rzędu T/20=1ms. Prawdopodobnie będzie trzecia harmoniczna więc przyjmujemy krok h=0.2ms.

Obliczenia metodą Runge – Kutty według schematu: x=i; Start: i(t=0)=i0=0 h=0.0002

i mamy: t=h=0.0002 Metoda Runge – Kutty pozwala zmienić krok na każdym etapie. Zwiększamy krok dwukrotnie. h=0.0004

i2=0.006279+K2 i2=0.056312

Jak ocenić czy wolno zmienić długość kroku? Czy zmniejszyć czy zwiększyć? Ocena błędu metodą Rungego: Dla metody rzędu p-go mamy:

stąd ocena błędu: Znając ocenę błędu można poprawić rozwiązanie podstawiając do

lub dokładniej z równania:

W obliczanym przypadku musimy powtórzyć obliczenia z krokiem 0.0002 i mamy dla t=0.0004: K1=0.012545 K2=0.0188 i1+1/2=0.02508 Dla t=0.0006 mamy: K1=0.025029 K2=0.031235 i1+2*1/2=0.056315

i1+2*1/2=0.056315 i2=0.056312 Obliczone z krokiem h=0.0004 było: W tym przypadku p=2 i ze wzoru: mamy oceną błędu:

Rozwiązanie poprawione ze wzoru: Na wykonanie jednego kroku należało policzyć funkcję f(in,tn) 2 – h=0.0004 1+2 – h=0.0002 razem 5 - razy

Metoda IV –go rzędu Przy ocenie dokładności obliczeń metodą Rungego wymaga 11-krotnego obliczenia f(x,t).

Metoda Mersona

tylko 5-cio krotne obliczanie f(x,t). Przykład Równanie wahadła: Niech =1s-2 Warunki początkowe: około 86°

Sprowadzamy do układu równań I-go rzędu Warunki początkowe: Obliczenia chcemy prowadzić z dokładnością 0.001 Startujemy z krokiem h=0.1. Krok wybrano jako 0.1 okresu wahadła liniowego.

Błąd:

Dokładność założona została osiągnięta. W następnym kroku można zwiększyć krok. Rozwiązanie w chwili t=0.1 i do następnego kroku możemy wystartować z nową wartością kroku h

Metody włożone lub Metody Fehelberga – Runge -Kutty Stosujemy metodę Runge – Kutty rzędu p i rzędu p+1 i aby zmniejszyć liczbę obliczanych współczynników wybieramy je tak, że w obu metodach jest pierwszych p współczynników K jednakowe, czyli i=2,3,..,p+1

i mamy dla metody rzędu p-go a dla metody rzędu (p+1)-go Ocenę błędu można zrobić stosunkowo prosto

Po odjęciu stronami otrzymujemy: gdzie

Znając błąd możemy postępować jak w metodzie Mersona i rozwiązanie przyjmować z dokładniejszej metody rzędu p+1. Najczęściej stosowana metoda RKF45 ma współczynniki

Błąd

Rozwiązanie wykorzystując metodę dokładniejszą jest Metoda gwarantuje obliczenia z błędem rzędu h4.