Metody Numeryczne Wykład no 12

Metoda Runge - Kutty Równanie Rozwiązujemy stosując szereg Taylora ale

czyli

ale a Podstawiając do i porządkując mamy

Metoda Runge -Kutty

Sposób wyznaczania współczynników na przykładzie metody drugiego rzędu (p=2): Drugi składnik rozwijamy w szereg Taylora w otoczeniu punktu xn, tn Podstawiając i porządkując mamy:

a porównując z szeregiem Taylora przy tych samych potęgach h otrzymujemy:

lub w1=w2=w i rozwiązując otrzymujemy: Przyjmując w2=1 mamy: w1=0, b21=1/2 i stąd algorytm: lub w1=w2=w i rozwiązując otrzymujemy: w=0.5, b21=1 i stąd inny algorytm:

Przykład: Dany jest dławik o charakterystce: Rezystancja dławika wynosi 0.5. Obliczyć prąd płynący w obwodzie zasilanym sem e(t)=100sin314t. Schemat obwodu możemy przyjąć w postaci:

Suma spadków napięć pozwala zapisać równanie: Biorąc pod uwagę krzywą magnesowania: Podstawiając do równania obwodu i porządkując:

Warunek początkowy jest i0=i(t=0)=0. Wybór kroku całkowania: Stała czasowa liniowej części obwodu wynosi 0.1/0.5=0.2s. Krok czasowy można przyjąć 0.2/10=20ms. Okres wymuszenia T=20ms krok należy przyjąć rzędu T/20=1ms. Prawdopodobnie będzie trzecia harmoniczna więc przyjmujemy krok h=0.2ms.

Obliczenia metodą Runge – Kutty według schematu: x=i; Start: i(t=0)=i0=0 h=0.0002

i mamy: t=h=0.0002 Metoda Runge – Kutty pozwala zmienić krok na każdym etapie. Zwiększamy krok dwukrotnie. h=0.0004

i2=0.006279+K2 i2=0.056312

Jak ocenić czy wolno zmienić długość kroku? Czy zmniejszyć czy zwiększyć? Ocena błędu metodą Rungego: Dla metody rzędu p-go mamy:

stąd ocena błędu: Znając ocenę błędu można poprawić rozwiązanie podstawiając do

lub dokładniej z równania:

W obliczanym przypadku musimy powtórzyć obliczenia z krokiem 0.0002 i mamy dla t=0.0004: K1=0.012545 K2=0.0188 i1+1/2=0.02508 Dla t=0.0006 mamy: K1=0.025029 K2=0.031235 i1+2*1/2=0.056315

i1+2*1/2=0.056315 i2=0.056312 Obliczone z krokiem h=0.0004 było: W tym przypadku p=2 i ze wzoru: mamy oceną błędu:

Rozwiązanie poprawione ze wzoru: Na wykonanie jednego kroku należało policzyć funkcję f(in,tn) 2 – h=0.0004 1+2 – h=0.0002 razem 5 - razy

Metoda IV –go rzędu Przy ocenie dokładności obliczeń metodą Rungego wymaga 11-krotnego obliczenia f(x,t).

Metoda Mersona

tylko 5-cio krotne obliczanie f(x,t). Przykład Równanie wahadła: Niech =1s-2 Warunki początkowe: około 86°

Sprowadzamy do układu równań I-go rzędu Warunki początkowe: Obliczenia chcemy prowadzić z dokładnością 0.001 Startujemy z krokiem h=0.1. Krok wybrano jako 0.1 okresu wahadła liniowego.

Błąd:

Dokładność założona została osiągnięta. W następnym kroku można zwiększyć krok. Rozwiązanie w chwili t=0.1 i do następnego kroku możemy wystartować z nową wartością kroku h

Metody włożone lub Metody Fehelberga – Runge -Kutty Stosujemy metodę Runge – Kutty rzędu p i rzędu p+1 i aby zmniejszyć liczbę obliczanych współczynników wybieramy je tak, że w obu metodach jest pierwszych p współczynników K jednakowe, czyli i=2,3,..,p+1

i mamy dla metody rzędu p-go a dla metody rzędu (p+1)-go Ocenę błędu można zrobić stosunkowo prosto

Po odjęciu stronami otrzymujemy: gdzie

Znając błąd możemy postępować jak w metodzie Mersona i rozwiązanie przyjmować z dokładniejszej metody rzędu p+1. Najczęściej stosowana metoda RKF45 ma współczynniki

Błąd

Rozwiązanie wykorzystując metodę dokładniejszą jest Metoda gwarantuje obliczenia z błędem rzędu h4.

Metody Rungego – Kutty a równania sztywne Przykład z warunkiem początkowym: Rozwiązanie analityczne jest: i wykres jest:

dla t[0,5]

dla t[0,600]

Wyniki otrzymane z metody Rungego – Kutty IV rzędu dla t[0,10] i h=0.05 i błąd

a więc wystarczy liczyć do 1000s z krokiem równym 100/20=5s Po czasie t=10s można pominąć drugi wyraz w rozwiązaniu czyli praktycznie a więc wystarczy liczyć do 1000s z krokiem równym 100/20=5s i mamy:

czyli rozwiązanie się rozbiega. Po 10 krokach czyli dla t=10+5·10=60s wynik jest z błędem 107%

dla kroku dwa razy mniejszego czyli h=2.5s mamy: bardzo dobre rozwiązanie. Błąd jest:

Błąd procentowy jest do przyjęcia. Otrzymany wynik pokazuje, że istnieje granica stabilności absolutnej dla metod typu Rungego - Kutty

Wykazano, że warunek stabilności absolutnej dla metody IV rzędu jest: gdzie min jest najmniejszą stałą czasową w układzie równań sztywnych W analizowanym przypadku: stałe czasowe są: min=1s i max=100s, a więc dopuszczalny krok jest hdop=2.78. Dla kroku h=5>hdop mamy utratę stabilności, a dla h=2.5<hdop mamy prawidłowy przebieg obliczeń.