ZAAWANSOWANA ANALIZA SYGNAŁÓW Metody pomiaru częstotliwości Maciej K. Lipski

Częstotliwość Częstotliwość określa liczbę cykli zjawiska okresowego występujących w jednostce czasu. W układzie SI jednostką częstotliwości jest herc (Hz). Częstotliwość 1 herca odpowiada występowaniu jednego zdarzenia (cyklu, okresu) w ciągu 1 sekundy. Najczęściej rozważa się częstotliwość w ruchu obrotowym, częstotliwość drgań, napięcia, fali. gdzie T - okres

Klasyczne metody pomiaru częstotliwości Metody oscyloskopowe: pomiar okresu figury Lissajous Metody oscyloskopowe – metody „najprostsze”, o najmniejszej złożoności obliczeniowej, jednakże obciążone dużym błędem

Klasyczne metody pomiaru częstotliwości Metody oscyloskopowe: pomiar okresu - znając ustawioną wcześniej podstawę czasu możemy określić okres, a co za tym idzie częstotliwość sygnału: Dzięki znajomości podstawy czasu ustawionej na oscyloskopie, oraz odpowiedniemu przekształceniu wzoru (slajd 2), możemy obliczyć częstotliwość sygnału jako odwrotność długości okresu. Używając przykładowych przebiegów bez problemu możemy obliczyć ich częstotliwość (1 kHz), jednakże jak widać, nie jest to dokładny pomiar (częstotliwość ustawiona na 1,01 kHz).

Klasyczne metody pomiaru częstotliwości Metody oscyloskopowe: figury Lissajous – figury, opisywane przez równania: których kształt jest bezpośrednio uzależniony od współczynnika a/b. Uzyskuje się je przez podanie na kanały X i Y oscyloskopu odpowiednio sygnału badanego i sygnału wzorcowego/generatora. Dzięki znajomości kształtów uzyskiwanych w zależności od współczynnika możliwy jest pomiar częstotliwości.

Klasyczne metody pomiaru częstotliwości Powyższa tabela prezentuje wpływ współczynnika a/b (fx/fy) na kształt uzyskiwanych figur. Ponadto pokazuje również zależność kształtu figur od różnicy faz pomiędzy sygnałami: wzorcowym i badanym.

Klasyczne metody pomiaru częstotliwości Metoda rezonansowa: Rezonans mechaniczny to zjawisko polegające na przepływie energii pomiędzy kilkoma (najczęściej dwoma) układami drgającymi. Zjawisko to zachodzi gdy częstotliwość siły wymuszającej zbliża się do częstości drgań własnych. Gdy siła wymuszająca drgania działa na drgające ciało z odpowiednią częstotliwością to amplituda drgań może osiągnąć bardzo dużą wartość nawet przy niewielkiej sile wymuszającej. Zjawisko rezonansu mechanicznego znalazło zastosowanie w częstościomierzu wibracyjnym lub języczkowym.

Klasyczne metody pomiaru częstotliwości Prąd płynący przez cewkę pobudza te wibratory, których częstotliwość własna jest równa lub bliska dwukrotnej częstotliwości prądu Prąd płynący przez cewkę pobudza wibratory (języczki - reeds), które dzięki odpowiednio dobranej długości, a co za tym idzie częstotliwości rezonansowej wskazują nam częstotliwość mierzonego prądu (sytuacja widoczna na obrazku C – najmocniej drgają języczki o częstotliwości rezonansowej najbardziej zbliżonej do częstotliwości prądu)

Klasyczne metody pomiaru częstotliwości Cyfrowy pomiar częstotliwości: Nieco dokładniejsze od metod oscyloskopowych, jednakże również niedokładne. Prosta realizacja (ze względu na powszechność rozwiązań cyfrowych). Dla uproszczenia schematu zastosowano „skrót myślowy” – Dzielnik częstotliwości w rzeczywistości składa się z układu formującego, dzielnika częstotliwości, oraz układu sterującego bramką. Sposób działania: badany sygnał (o częstotliwości fx) podawany jest na wejście układu (wykres 1 na następnej stronie), następnie na skutek działania układu formującego (najczęściej jest to układ wstawiający impulsy w miejscach przejścia przez zero ze poziomu ujemnego na dodatni) sygnał przyjmuje postać widoczną na wykresie 2 (następny slajd). Z generatora podajemy częstotliwość wzorcową (fw), która wpierw jest poddawana działaniu układu formującego, następnie dzielnika częstotliwości i wreszcie układu bramkowania, który umożliwia sterowanie bramką (sygnał wyjściowy znajduje się na wykresie 3 na następnym slajdzie). Dzięki znajomości częstotliwości sygnału sterującego bramką i liczby impulsów zliczonych przez licznik (wykres 4 na następnej stronie) możliwe jest oszacowanie częstotliwości badanego sygnału.

Klasyczne metody pomiaru częstotliwości Cyfrowy pomiar częstotliwości:

Pomiar częstotliwości za pomocą DFT metodą ML DFT – dyskretna transformata Fouriera – jest transformacją Fouriera wyznaczoną dla sygnałów dyskretnych (spróbkowanych).

Pomiar częstotliwości za pomocą DFT metodą ML ML (Maximum Likelihood) – metoda najwyższego prawdopodobieństwa, która opiera się na estymacji poszukiwanego parametru poprzez wybór ze zbioru wartości tej o maksymalnym prawdopodobieństwie. W przypadku pomiaru częstotliwości metoda ta sprowadza się do wyboru „najwyższego” prążka DFT.

Pomiar częstotliwości za pomocą DFT metodą ML W tym celu należy funkcję szukanej zmiennej θ zwaną funkcją prawdopodobieństwa maksymalizuje się:

Pomiar częstotliwości za pomocą DFT metodą ML Po przystosowaniu do naszych potrzeb powyższy wzór prezentuje się następująco: Co, dzięki znajomości szybkości próbkowania i numeru próbki o maksymalnej amplitudzie, umożliwia nam poznanie częstotliwości, która jest najbardziej prawdopodobna (ma „najwyższy” prążek widma).

Pomiar częstotliwości za pomocą DFT metodą ML

Pomiar częstotliwości za pomocą DFT metodą ML Na przykładzie widma wcześniej przygotowanego sygnału można pokazać jak działa metoda pomiaru częstotliwości za pomocą DFT metodą ML. Najpierw sprawdza się pierwszy prążek widma, który przyjmuje się za ten o najwyższej amplitudzie, następnie sprawdza się kolejny i jeżeli ma on większą amplitudę to zastępuje on poprzedni prążek o najwyższej amplitudzie, natomiast w przeciwnym przypadku poprzedni prążek pozostaje tym o największym prawdopodobieństwie. Po przebadaniu w ten sposób całego widma, zapisany prążek informuje nas o położeniu najbardziej prawdopodobnej częstotliwości sygnału.

Uściślanie częstotliwości (metody udokładniania na bazie DFT) W jakim celu potrzebujemy udokładniania DFT? Otóż jak widać na powyższej animacji – istnieje możliwość „nie trafienia” z prążkami widma w maksima widma i przez to bardzo dużej różnicy w pomiarze sygnału.

Uściślanie częstotliwości (metody udokładniania na bazie DFT) metoda z zastosowaniem interpolacji: wykorzystując sąsiednie prążki (zazwyczaj trzy poprzednie) widma dokonuje się interpolacji sygnału wybraną metodą (najlepiej odpowiadającą przewidywanej charakterystyce sygnału – najczęściej metoda paraboliczna) , dzięki czemu możliwe jest zmniejszenie błędu estymacji częstotliwości.

Uściślanie częstotliwości (metody udokładniania na bazie DFT) metoda z zastosowaniem interpolacji:

Uściślanie częstotliwości (metoda filtrowa) Ogólna koncepcja opiera się na tym, iż podczas filtracji sygnału dokonuje się zmiana amplitudy proporcjonalna do charakterystyki amplitudowej filtru dla częstotliwości równej częstotliwości sygnału. Dzięki znajomości charakterystyki filtru możliwe jest obliczenie częstotliwości sygnału. Filtr: ,gdzie h[n] – odpowiedź impulsowa fitru AH(f0) – charakterystyka amplutudowa ΦH(f0) – charakterystyka fazowa

Uściślanie częstotliwości (metoda filtrowa) W celu wyznaczenia częstotliwości sygnału wykorzystamy funkcję odwrotną do charakterystyki amplitudowej filtru: gdzie Ze względu na to, iż w przypadku tym operujemy czasowym oknem prostokątnym (wycinamy sygnał), możemy dokonywać pomiaru dla częstotliwości innej niż mierzona (pod warunkiem odpowiedniej szerokości okna). Dzięki tej własności unikamy problemu zaznaczonego wcześniej – „nie trafienia” w prążki widma.

Uściślanie częstotliwości (metoda filtrowa) Najprostszym filtrem umożliwiającym zastosowanie tej metody jest dyferator (filtr pierwszej różnicy wstecz)o odpowiedzi impulsowej: , charakterystyce częstotliwościowej:

Uściślanie częstotliwości (metoda filtrowa) i charakterystyce amplitudowej:

Porównanie metod Teraz porównamy przedstawione metody (poza klasycznymi).

Dla częstotliwości unormowanej wynoszącej n=1.5708 Porównanie metod Dla częstotliwości unormowanej wynoszącej n=1.5708 Metoda DFT-ML Interpolacja Dyferator Wynik 2.0944 1.6035 1.2733 Błąd 0.5236 0.0327 0.2975

Porównanie metod - 2

Dla częstotliwości unormowanej wynoszącej n=1.0472 Porównanie metod - 2 Dla częstotliwości unormowanej wynoszącej n=1.0472 Metoda DFT-ML Interpolacja Dyferator Wynik 1.3464 1.0939 1.0510 Błąd 0.2992 0.0467 0.0038

Bibliografia Wikipedia – http://en.wikipedia.org mgr. inż. E. Blok: Filtracja cyfrowa w zastosowaniu do udokładniania częstotliwości mgr. inż. S. Sienkowski: Pomiar częstotliwości i czasu mgr. inż. E. Blok, dr inż. M. Blok: Zwiększanie dokładności pomiaru częstotliwości krótkich obserwacji sinusoidy przy użyciu filtracji cyfrowej M. Barcz, P. Kosiedowski: Detekcja i estymacja krótkich impulsów sinusoidalnych z modulacją kwadraturową

PYTANIA?!?