Estymacja reprezentacji biegunowych: POLIDEM Maciej Sac STI

Plan prezentacji: Sygnał analityczny Reprezentacje biegunowe sygnałów zespolonych POLIDEM Przykłady zastosowań reprezentacji biegunowych Analiza biegunowa przykładowych sygnałów

Sygnał analityczny – wstęp Reprezentacje biegunowe można wyznaczyć dla każdego sygnału zespolonego. W celu wyznaczenia reprezentacji biegunowych sygnału rzeczywistego należy go poddać przekształceniu Hilberta. W jego wyniku powstaje równoważnik analityczny sygnału rzeczywistego.

Sygnał analityczny analogowy transformata Hilberta odwrotna transformata Hilberta charakterystyka częstotliwościowa transformatora Hilberta Sygnał analityczny u (t) jest sygnałem zespolonym. Częścią rzeczywistą równoważnika analitycznego sygnału rzeczywistego x (t) jest ten właśnie sygnał rzeczywisty, natomiast jego częścią urojoną jest transformata Hilberta sygnału x (t) → y (t). Transformatę Hilberta można wyznaczyć jako splot (filtrację) sygnału x (t) z sygnałem (odpowiedzią impulsową idealnego transformatora Hilberta) 1/πt. Transformata Hilberta sygnału pozostaje w tej samej dziedzinie (czasu) co transformowany sygnał. Odpowiedź impulsowa odwrotnego transformatora Hilberta różni się tylko znakiem od odpowiedzi impulsowej transformatora Hilberta. Poddawanie sygnału przekształceniu Hilberta nie zmienia jego widma amplitudowego (charakterystyka amplitudowa idealnego transformatora Hilberta – poza f=0 – przyjmuje wartość 1), tylko fazowe. Składowe parzyste sygnału przechodzą w nieparzyste i odwrotnie. Transformator Hilberta nie przenosi składowej stałej. Widmo sygnału analitycznego jest prawostronne, tzn: składowe sygnału x (t) na dodatnich częstotliwościach zostają podwojone, składowa stała sygnału x (t) pozostaje przeniesiona bez zmian, sygnał analityczny nie posiada składowych na ujemnych częstotliwościach. widmo transformaty Hilberta, zmiana składowych: parzyste↔nieparzyste WIDMO SYGNAŁU ANALITYCZNEGOPRAWOSTRONNE

Sygnał analityczny cyfrowy transformata Hilberta odpowiedź impulsowa transformatora Hilberta charakterystyka częstotliwościowa transformatora Hilberta W przypadku wyznaczania sygnałów analitycznych cyfrowych sytuacja jest analogiczna jak dla analogowych. Jedyną różnicą jest inna odpowiedź impulsowa idealnego transformatora Hilberta. Co druga jej próbka jest zerowa, a pozostałe przyjmują wartości dwukrotnie większe w porównaniu do idealnego analogowego transformatora Hilberta. widmo transformaty Hilberta, zmiana składowych: parzyste↔nieparzyste WIDMO SYGNAŁU ANALITYCZNEGOPRAWOSTRONNE

N=39 okno Hamminga Od góry: Odpowiedź impulsowa o długości N=39 transformatora Hilberta wyznaczona za pomocą metody okien (okno Hamminga). Jak było powiedziane wcześniej – co druga jej próbka jest niezerowa. Charakterystyka amplitudowa tego filtru (kolor niebieski) na tle idealnej (kolor czarny). Niestety, odpowiedź idealnego transformatora Hilberta jest obustronnie nieskończona i nieprzyczynowa, więc takiego filtru nie da się zrealizować w rzeczywistości. Trzeba go zastąpić realizowalnym w czasie rzeczywistym filtrem FIR o liniowej charakterystyce fazowej (stałe opóźnienie grupowe niezależnie od częstotliwości). Składowa rzeczywista (kolor niebieski) i urojona (kolor czerwony) równoważnika analitycznego sygnału x [n] danego wzorem zapisanym na slajdzie. Jest to sygnał o liniowo narastającej częstotliwości i wykładniczo malejącej amplitudzie. Dla początkowych wartości czasu dyskretnego n widać ustalanie się odpowiedzi filtru analitycznego. Cechą charakterystyczną sygnałów analitycznych jest to, że ekstremom ich części rzeczywistej odpowiada zerowanie się części urojonej oraz ekstremom ich części urojonej odpowiada zerowanie się części rzeczywistej. Widmo amplitudowe sygnału rzeczywistego x [n] (niebieskie) i odpowiadającego mu równoważnika analitycznego (czerwone). W wyniku nieidealności filtru analitycznego składowe sygnału x [n] na ujemnych częstotliwościach nie zostały całkowicie wytłumione.

Reprezentacje biegunowe – wstęp Sygnał zespolony jest reprezentowany przez wskaz na płaszczyźnie XY. Koniec wskazu kreśli trajektorię. W oparciu o pojęcie wskazu znajdują swą interpretację następujące definicje: Źródło: [2]

Reprezentacje biegunowe – sygnały analogowe Amplituda chwilowa (długość wskazu, moduł sygnału): Faza chwilowa: Pulsacja chwilowa (chwilowa kątowa prędkość obrotu wskazu): Amplituda chwilowa jest długością wskazu (odległością końca wskazu od początku układu współrzędnych) w danej chwili czasu t. Wyznacza się ją jako moduł sygnału. Faza chwilowa jest kątem skierowanym pomiędzy osią OX a wskazem w danej chwili czasu t. Wyznacza się ją jako argument sygnału (część urojoną zespolonego logarytmu z sygnału u (t) ). Mierzy się ją w radianach. Pulsacja chwilowa jest chwilową kątową prędkością obrotu wskazu. Wyznacza się ją jako pochodną fazy chwilowej i mierzy w radianach na sekundę. Należy podkreślić, że sygnał zespolony nie jest reprezentowany jednoznacznie przez samą amplitudę, fazę lub pulsację chwilową. Do jednoznacznego określenia sygnału wymagana jest jednoczesna znajomość więcej niż jednego z tych przebiegów np. amplitudy i fazy chwilowej (reprezentacja AM∙PM – wzór w czerwonej ramce), bądź amplitudy chwilowej, pulsacji chwilowej i fazy chwilowej w chwili t=0 (reprezentacja AM∙FM – wzór w niebieskiej ramce). Częstotliwość chwilowa: Źródło: [2]

Reprezentacje biegunowe – sygnały analogowe Zespolona faza chwilowa (część rzeczywista – poziom chwilowy lub logobwiednia): Zespolona pulsacja chwilowa (część rzeczywista – względna chwilowa prędkość radialna, reprezentuje względną szybkość wydłużania się lub skracania wskazu): Zespolona faza chwilowa jest wyznaczana jako logarytm zespolony z sygnału zespolonego u (t). Jej część urojoną stanowi opisana na poprzednim slajdzie faza chwilowa. Jej częścią rzeczywistą jest tzw. poziom chwilowy lub logobwiednia (amplituda chwilowa wyrażona w mierze logarytmicznej – w neperach). Zespolona pulsacja chwilowa jest pochodną po czasie zespolonej fazy chwilowej. Jej część urojoną stanowi opisana na poprzednim slajdzie pulsacja chwilowa. Jej częścią rzeczywistą jest tzw. względna chwilowa prędkość radialna, która reprezentuje względną szybkość wydłużania się lub skracania wskazu. Mierzy się ją w neperach na sekundę. Zespolona faza chwilowa ma znaczenie raczej teoretyczne. W praktyce wykorzystuje się zespoloną pulsację chwilową.

Reprezentacje biegunowe – sygnały cyfrowe Amplituda chwilowa (długość wskazu, moduł sygnału): Faza chwilowa: Pulsacja chwilowa (chwilowa kątowa prędkość obrotu wskazu): Ciągła pulsacja chwilowa (CPCh) – spróbkowana pulsacja chwilowa sygnału analogowego u(t) Dyskretna pulsacja chwilowa (DPCh) Interpretacja amplitudy, fazy, pulsacji i częstotliwości chwilowej (jak również zespolonej fazy i pulsacji chwilowej – wzory na następnym slajdzie) w przypadku sygnałów cyfrowych jest taka sama jak analogowych. Również wzory (poza pulsacją chwilową i zespoloną pulsacją chwilową) są analogiczne. Pulsację chwilową sygnałów cyfrowych można wyznaczać na dwa sposoby: jako spróbkowaną pulsację chwilową sygnału analogowego odpowiadającego danemu sygnałowi cyfrowemu (CPCh), poprzez zastąpienie idealnego, nierealizowalnego operatora pochodnej dyferatą (pierwszą różnicą wstecz) (DPCh) Jednostką pulsacji chwilowej sygnałów dyskretnych jest radian na próbkę ([rad/Sa]). Różnice pomiędzy CPCh i DPCh będą przedstawione później. Podobnie jak w przypadku sygnałów analogowych, sygnał cyfrowy można jednoznacznie określić za pomocą reprezentacji AM∙PM (wzór w czerwonej ramce), bądź AM∙FM (wzór w niebieskiej ramce).

Reprezentacje biegunowe – sygnały cyfrowe Częstotliwość chwilowa: Zespolona faza chwilowa (część rzeczywista – poziom chwilowy lub logobwiednia): Zespolona pulsacja chwilowa (część rzeczywista – względna chwilowa prędkość radialna): Ciągła zespolona pulsacja chwilowa (CZPCh) – spróbkowana zespolona pulsacja chwilowa sygnału analogowego u(t) Dyskretna zespolona pulsacja chwilowa (DZPCh) Zespoloną pulsację chwilową sygnałów cyfrowych można wyznaczać na dwa sposoby: jako spróbkowaną zespoloną pulsację chwilową sygnału analogowego odpowiadającego danemu sygnałowi cyfrowemu (CZPCh), poprzez zastąpienie idealnego, nierealizowalnego operatora pochodnej dyferatą (pierwszą różnicą wstecz) (DZPCh) Jednostką części rzeczywistej zespolonej pulsacji chwilowej sygnałów dyskretnych jest neper na próbkę ([Np/Sa]).

Reprezentacje biegunowe – CPCh a DPCh na ogół nieograniczona szer. widma, nie określa jednoznacznie sygnału, problem z wyznaczaniem pochodnej. DPCh: bez znajomości u(t), pozbawiona wad CPCh, konieczność rozwijania fazy. Ciągła pulsacja chwilowa (CPCh – wzór na górze) opiera się o analogowy pierwowzór sygnału cyfrowego u [n]. Jej widmo ma na ogół nieograniczoną szerokość, co powoduje zjawisko aliasingu podczas próbkowania. Z tego też powodu CPCh nie określa jednoznacznie sygnału cyfrowego. Ponadto po stronie analogowej występuje problem w wyznaczaniem pochodnej po czasie i w wyniku tego błędy „analogowej” pulsacji chwilowej przenoszą się na CPCh. Dyskretna pulsacja chwilowa (DPCh – wzór na górze) opiera się na zastąpieniu nierealizowalnego operatora różniczkowania dyferatą. Jak widać na rysunku, dla małych wartości częstotliwości cyfrowych charakterystyki częstotliwościowe dyferatora i operatora pochodnej pokrywają się. DPCh jest pozbawiona omówionych wcześniej wad CPCh. Trzeba jednak pamiętać, że wymaga rozwijania fazy (o czym później). Po omówieniu slajdu należy uruchomić w MATLABie dołączony skrypt przyklad1.m (bez żadnych parametrów, polecenie: przyklad1). Figure 1: przedstawiona wcześniej odpowiedź impulsowa i charakterystyka amplitudowa użytego transformatora Hilberta. Figure 2: przedstawiony wcześniej przebieg sygnału analitycznego (o liniowo narastającej częstotliwości i wykładniczo malejącej amplitudzie) oraz jego widmo na tle widma jego składowej rzeczywistej. Figure 3: obwiednia (amplituda chwilowa ze znakiem + i -) sygnału analitycznego, oraz kolejno składowa rzeczywista i urojona jego dyskretnej zespolonej pulsacji chwilowej. Po naciśnięciu dowolnego klawisza otworzy się okno Figure 4 z trajektoriami sygnału analitycznego (po lewej) i jego DZPCh (po prawej). Rozpoczęcie rysowania nastąpi po naciśnięciu spacji. Jego zakończenie jest możliwe poprzez użycie klawisza ESCape. Charakterystyki częstotliwościowe ––– dyferatora - - operatora pochodnej Źródło: [4] Przykład w MATLABie (przyklad1.m) !!!

POLIDEM – koncepcja analogowa Tor (gałąź) amplitudy POLIDEM pozwala wyznaczyć wszystkie reprezentacje sygnału. Jego działanie opiera się na przedstawionych wcześniej wzorach. Po przejściu przez filtr analityczny zostaje wyznaczony równoważnik analityczny sygnału rzeczywistego x (t). W gałęzi amplitudy (gdzie następuje demodulacja amplitudy) kolejno: wyznaczany jest moduł sygnału analitycznego – amplituda chwilowa, wyznaczany jest poziom chwilowy poprzez logarytmowanie amplitudy chwilowej, wyznaczana jest względna chwilowa prędkość radialna (jako pochodna po czasie z poziomu chwilowego). W gałęzi fazy (gdzie następuje demodulacja częstotliwości/fazy) kolejno: wyznaczany jest argument główny (tzw. arcus tangens czteroćwiartkowy) sygnału analitycznego czyli jego faza główna należąca do przedziału [-π, π), faza główna jest rozwijana (może to być źródłem błędów, stąd „daszek” pokazujący estymację; rozwijanie fazy będzie szczegółowo omówione później) wyznaczana jest pulsacja chwilowa (jako pochodna po czasie z rozwiniętej fazy chwilowej). Tor (gałąź) fazy HT – transformator Hilberta, HA – zespolony (analityczny) filtr Hilberta, od x(t) do a(t) demodulator amplitudy, od x(t) do ω(t) demodulator częstotliwości, Arg(∙) – arcus tangens czteroćwiartkowy, np. funkcja angle w MATLABie, unw{∙} – operator rozwijania fazy, np. funkcja unwrap w MATLABie.

POLIDEM – koncepcja cyfrowa Tor (gałąź) amplitudy Koncepcja POLIDEMu dla sygnałów cyfrowych jest analogiczna do tej dla sygnałów analogowych. Na rysunku zastąpiono nierealizowalny operator pochodnej dyferatą, w wyniku czego wyznaczana jest DZPCh. Tor (gałąź) fazy HT – transformator Hilberta, HA – zespolony (analityczny) filtr Hilberta, od x[n] do a[n] demodulator amplitudy, od x[n] do ω[n] demodulator częstotliwości, Arg(∙) – arcus tangens czteroćwiartkowy, np. funkcja angle w MATLABie, unw{∙} – operator rozwijania fazy, np. funkcja unwrap w MATLABie.

POLIDEM – realizowalność HT, HA – filtry cyfrowe FIR liniowo-fazowe, operator pochodnej – zastąpienie dyferatą, operator rozwijania fazy: faza główna: rozwijanie fazy – dodawanie wielokrotności liczby 2π zależnie od numeru próbki: znajdowanie wφ – zaawansowane algorytmy, skończone nakłady obliczeniowe, nieprzewidywalne błędy → obliczanie pulsacji chwilowej nazywa się estymacją, np. funkcja unwrap w MATLABie rozwija fazę poprzez dodawanie wielokrotności ±2π kiedy skoki pomiędzy sąsiadującymi próbkami fazy są większe niż zadana wartość zwana tolerancją skoków (domyślnie równa π). Implementacja POLIDEMU wymaga realizacji schematów koncepcyjnych przedstawionych na poprzednich slajdach. Niektóre ich elementy są idealne (nierealizowalne) i trzeba je zastąpić realizowalnymi odpowiednikami: Idealny transformator Hilberta (i w związku z tym także filtr analityczny) jest nierealizowalny, dlatego zastępuje się go filtrem FIR liniowo-fazowym (o opóźnieniu grupowym niezależnym od częstotliwości). Jak już wcześniej wspomniano, idealny operator pochodnej, najczęściej zastępuje się dyferatą (pierwszą różnicą wstecz). Nie można zrealizować idealnego operatora rozwijania fazy, w związku z czym obliczanie pulsacji chwilowej nazywa się estymacją. Faza główna wyznaczana jako argument główny sygnału zespolonego zawiera się w przedziale [-π, π). Rozwijanie fazy polega na dodawaniu wielokrotności liczby ±2π zależnie od numeru próbki. Wykonywane jest to przy pomocy zaawansowanych algorytmów, co przy skończonych nakładach obliczeniowych prowadzi do błędów rozwijania. Rysunek przedstawia rozwijanie fazy na pomocą MATLABowej funkcji unwrap – opis w treści slajdu.

Przykłady zastosowań reprezentacji biegunowych – synchronizacja symbolowa w odbiorniku PSK; [6] Wykorzystanie zespolonej pulsacji chwilowej, Przejściom między symbolami odpowiadają pętle zataczane przez ICF, Kształt międzysymbolowej pętli ICF zależy od odpowiedzi impulsowej filtru formującego, Zespoloną pulsację chwilową można wykorzystać do wyznaczania chwil optymalnego próbkowania sygnałów zmodulowanych PSK (tzw. chwil symbolowych). Rysunek przedstawia trajektorie sygnałów zmodulowanych PSK (dla różnych filtrów formujących) i odpowiadające im trajektorie zespolonej pulsacji chwilowej (Instantaneous Complex Frequency, ICF) z zaznaczonymi (jako czerwone punkty) chwilami symbolowymi. Przejściom między symbolami odpowiadają pętle zataczane przez ICF. Kształt tych pętli zależy od odpowiedzi impulsowej filtru formującego.

Przykład w MATLABie (przyklad2_idealny_pi_4_QPSK.m) !!! Przykłady zastosowań reprezentacji biegunowych – synchronizacja symbolowa w odbiorniku PSK; [6] Amplituda pętli jest większa dla przejść pomiędzy odległymi symbolami, Wartości ICF w chwilach symbolowych skupiają się w kwadracie. Amplituda pętli międzysymbolowych ICF jest większa dla przejść pomiędzy odległymi symbolami. Na rysunku po lewej stronie slajdu można zauważyć, że przejściu pomiędzy symbolami w kierunku dodatnim (przeciwnie do obrotu wskazówek zegara) odpowiadają czerwone pętle ICF (w kierunku ujemnym). Z kolei przejściu pomiędzy symbolami w kierunku ujemnym odpowiadają czarne pętle ICF (w kierunku ujemnym). Rysunki po prawej stronie slajdu (przypadki dla różnych filtrów formujących) ilustrują fakt, że wartości ICF w chwilach symbolowych skupiają się w kwadracie. Po omówieniu slajdu należy uruchomić w MATLABie dołączony skrypt przyklad2_idealny_pi_4_QPSK.m (bez żadnych parametrów, polecenie: przyklad2_idealny_pi_4_QPSK). Figure 2: przedstawiona na poprzednim slajdzie trajektoria (statyczna, wyrysowana) sygnału zmodulowanego PSK. Figure 3: trajektoria ZDPCh (statyczna, wyrysowana) odpowiadająca sygnałowi z z Figure 2. Po naciśnięciu dowolnego klawisza otworzy się okno Figure 1 z trajektoriami sygnału zmodulowanego PSK (po lewej) i jego DZPCh (po prawej). Rozpoczęcie rysowania nastąpi po naciśnięciu spacji. Jego zakończenie jest możliwe poprzez użycie klawisza ESCape. Przykład w MATLABie (przyklad2_idealny_pi_4_QPSK.m) !!!

Przykłady zastosowań reprezentacji biegunowych – estymacja tonu krtaniowego; [7] Ton krtaniowy jest fizycznym (akustycznym) wynikiem drgań fałd (strun) głosowych człowieka podczas wypowiadania samogłosek. Ton krtaniowy jest (prawie) okresowym ciągiem impulsów krtaniowych, które stanowią tzw. pobudzenie krtaniowe traktu głosowego podczas artykulacji samogłosek. Najważniejszym parametrem tonu krtaniowego jest jego wysokość (ang. pitch) mierzona częstotliwością powtarzania impulsów krtaniowych (ang. pitch frequency) albo ich okresem (ang. pitch period). Pomiar tego parametru w oparciu o dostępny sygnał mowy nazywamy estymacją tonu krtaniowego (ang. pitch estimation/determination/extraction/tracking). Wynikiem estymacji tonu krtaniowego jest jego estymata w postaci przebiegu częstotliwości chwilowej w hercach [Hz] albo w postaci przebiegu okresu chwilowego w milisekundach [ms].

Przykłady zastosowań reprezentacji biegunowych – estymacja tonu krtaniowego; [7] Decymator: prążek podstawowy maksymalnie na częstotliwości f0 300-400 Hz, wystarcza Fs=1000 Sa/s HA1- HA5: bank analitycznych filtrów półoktawowych Rysunek przedstawia schemat estymatora tonu krtaniowego. Sygnał mowy jest na wstępie decymowany. Ponieważ prążek podstawowy w sygnale mowy znajduje się maksymalnie na częstotliwości 300-400 Hz, wystarcza szybkość próbkowania 1000 Sa/s. Decymacja pozwala zachować niską złożoność numeryczną. Zdecymowany sygnał jest poddawany filtracji pasmowej poprzez bank pięciu analitycznych filtrów półoktawowych o charakterystykach (rysunek z czerwoną ramką) specjalnie dopasowanych do sygnału mowy i postrzegania go przez człowieka. Na wyjściu każdego z filtrów otrzymuje się pasmowy sygnał analityczny. Dla każdego z sygnałów analitycznych dokonuje się estymacji pulsacji chwilowej (blok IFE) i wyznaczenia amplitudy chwilowej. Blok decyzyjny wybiera tę pulsację chwilową (z pięciu dostępnych), której odpowiada największa amplituda chwilowa i na wyjściu podaje ją przetworzoną na częstotliwość chwilową lub okres chwilowy tonu krtaniowego). IFE (ang. Instantaneous Frequency Estimator): estymator pulsacji chwilowej abs( ): demodulator amplitudy chwilowej Blok decyzyjny: wybiera pulsację chwilową odpowiadającą największej amplitudzie chwilowej

Przykłady zastosowań reprezentacji biegunowych – estymacja tonu krtaniowego; [7] Główny rysunek przedstawia przebiegi amplitud chwilowych sygnałów analitycznych z wyjścia filtrów półoktawowych (na dole – intensywniejsze zaczernienie oznacza większą amplitudę) przykładowego sygnału mowy (przedstawionego u góry). Rysunek w czerwonej ramce przedstawia porównanie estymatora tonu krtaniowego opisanego w artykule [7] (czarny przebieg) z estymacją metodą korelacyjną (szary przebieg) dla tego samego sygnału mowy.

Analiza biegunowa przykładowych sygnałów – sygnały P. Króla Przykłady w MATLABie: przyklad3a_dzwon.m przyklad3b_klarnet.m Analiza biegunowa sygnałów P. Króla (sygnały te są omówione w jego prezentacji). Należy uruchomić w MATLABie dołączone skrypty przyklad3a_dzwon.m, przyklad3b_klarnet.m (bez żadnych parametrów, polecenia: przyklad3a_dzwon oraz przyklad3b_klarnet). Figure 1: odpowiedź impulsowa i charakterystyka amplitudowa użytego transformatora Hilberta. Figure 2: przebieg sygnału analitycznego oraz jego widmo na tle widma jego składowej rzeczywistej. Figure 3: obwiednia (amplituda chwilowa ze znakiem + i -) sygnału analitycznego, oraz kolejno składowa rzeczywista i urojona jego dyskretnej zespolonej pulsacji chwilowej. Po naciśnięciu dowolnego klawisza otworzy się okno Figure 4 z trajektoriami sygnału analitycznego (po lewej) i jego DZPCh (po prawej). Rozpoczęcie rysowania nastąpi po naciśnięciu spacji. Jego zakończenie jest możliwe poprzez użycie klawisza ESCape.

Źródła [1] M. Rojewski – „Podstawy i algorytmy przetwarzania sygnałów”, wykład [2] „Komputerowa analiza sygnałów”, instrukcja do laboratorium, ćwiczenie 5 [3] „Podstawy i algorytmy przetwarzania sygnałów”, instrukcja do laboratorium, ćwiczenie 8 [4] M. Blok, M. Rojewski – „Cztero-gałęziowy estymator dyskretnej pulsacji chwilowej sygnałów zespolonych” [5] „MATLAB Help”, The MathWorks Inc. [6] K. Świder – „Wykorzystanie zespolonej częstotliwości chwilowej do odtwarzania sygnału synchronizacji symbolowej sygnałów PSK” [7] M. Blok, M. Rojewski, A. Sobociński – „Dwupunktowy estymator pulsacji chwilowej w zastosowaniu do estymacji tonu krtaniowego”

Dziękuję za uwagę