FUNKCJE Pojęcie funkcji Funkcją określoną w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru Y. Funkcje można określać za pomocą opisu słownego, wzoru tabelki, wykresu lub grafu. wartość argument f(x) Zbiór argumentów Zbiór wartości

OGÓLNE POJĘCIA FUNKCJI Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowujemy tylko jeden element ze zbioru Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji. Elementy zbioru X nazywamy argumentami funkcji. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Zbiór tych elementów ze zbioru Y, które zostały przypisane elementom ze zbioru X, nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Wykres funkcji Wykresem funkcji y=f(x) nazywamy zbiór wszystkich punktów o współrzędnych (x,y), gdzie x- to argument funkcji, a y- odpowiadająca mu wartość. Wykres funkcji to graficzne przedstawienie funkcji. W przypadku funkcji f jednej zmiennej dziedzina funkcji jest podzbiorem jednej osi liczbowej zaś druga oś jest przeciwdziedziną funkcji. Zaznaczając w układzie współrzędnych wszystkie punktu postaci (x, f(x)) otrzymujemy pewien zbiór punktów płaszczyzny jest to właśnie wykres funkcji f. (x, f(x) )

Funkcja liczbowa x y -3 -2 -1 1 2 3 Jeśli niepuste zbiory X i Y są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych, to tę funkcję nazywamy funkcją liczbową zmiennej rzeczywistej. = > zbiór argumentów i zbiór wartości, to zbiory liczbowe. Sposoby opisywania funkcji : 1. Opis słowny 2. tabelka 3. graf 4. wzór 5. wykres 6. Zbiór par uporządkowanych Opis słowny: Każdej liczbie całkowitej x większej od –4 i mniejszej od 4 przyporządkowujemy liczbę y o 2 mniejszą od połowy kwadratu liczby x. Tabela: x -3 -2 -1 1 2 3 y 2,5 -1,5 1,5

{( − 1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)} Graf: Wykres: Wzór: Zbiór par uporządkowanych: {( − 1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)}

Monotoniczność Jeżeli x1, x2 A i A X to: a) funkcja jest rosnąca w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy x1 < x2 f(x1) < f(x2) Jeżeli ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji, to funkcja jest rosnąca. b) funkcja jest malejąca w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy x1 < x2 f(x1) > f(x2) Jeżeli ze wzrostem argumentów wartości funkcji maleją, to funkcja jest malejąca. c) funkcja jest stała w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy f(x1) = f(x2) Jeżeli dla dla każdego argumentu funkcja przyjmuje ta samą wartość, to funkcję nazywamy stałą. Aby sprawdzić / udowodnić monotoniczność funkcji w danym przedziale, należy zbadać znak różnicy f(x1) - f(x2) przy założeniu, że x1 i x2 należą do tego przedziału i x1 < x2. Jeśli różnica będzie ujemna to funkcja jest rosnąca, jeśli dodatnia to funkcja jest malejąca w danym przedziale.

x -2 -1 1 2 y 3 4 5 x -2 -1 1 2 y 5 4 0,5 x -2 -1 1 2 y Miejsce zerowe a) Argumenty rosną x -2 -1 1 2 y 3 4 5 Wartości rosną b) x -2 -1 1 2 y 5 4 0,5 Argumenty rosną Wartości maleją c) x -2 -1 1 2 y Argumenty rosną Wartości są stałe Miejsce zerowe Miejscami zerowymi funkcji nazywamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia się wykresu funkcji z osią odciętych. Miejsce zerowe jest to argument funkcji (nie punkt, a więc np. x=3, natomiast nie P(3,0)) dla którego funkcja przyjmuje wartość 0.

Funkcja liniowa Funkcję określoną wzorem y=ax+b, gdzie a i b są współczynnikami liczbowymi, nazywamy funkcją liniową. Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Wyraz a to współczynnik kierunkowy, a b jest wyrazem wolnym. Wykresem każdej funkcji liniowej jest prosta. Prosta przecina oś OY w punkcie ( 0,b) Aby narysować tę prostą, wystarczy znaleźć dwa dowolne jej punkty. a<0 a>0 a=0

MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI LINIOWEJ Jeżeli b=0, y=ax- wykres przechodzi przez początek układu Jeżeli a=0, y=b- funkcja jest stała Jeżeli a=0 i b=0, y=0- wykres pokrywa się z osią x. Gdy a ≠ 0 funkcja liniowa jest funkcją pierwszego stopnia. Przeciwdziedziną tej funkcji jest zbiór R. Wykresy funkcji liniowej w zależności od współczynnika kierunkowego a.

Inne własności funkcji b= 2 a=1 Miejsce zerowe obliczamy ze wzoru: Inne własności funkcji Dla funkcji możemy określić zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest dodatnia, a także zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest ujemna. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla tych argumentów dla których wykres znajduje się nad osią odciętych(x) Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla tych argumentów dla których wykres znajduje się pod osią rzędnych(y) Jeżeli funkcja jest określona wzorem to aby znaleźć argumenty dla których przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne należy rozwiązać odpowiednio nierówności: y>0 ax+b>0; y<0 ax+b<0

Xo

WSPÓLCZYNNIKI FUNKCJI LINIOWEJ Współczynnik kierunkowy a informuje o monotoniczność funkcji. Współczynnik a mówi o kierunku prostej, która jest wykresem funkcji liniowej y = ax + b. Liczba a jest więc nazywana współczynnikiem kierunkowym funkcji y = ax + b. a).Jeżeli liczba a jest dodatnia to kąt nachylenia prostej do osi OX jest kątem ostrym (im większa jest liczba a, tym kąt ten jest większy). b).Jeżeli liczba a jest ujemna kąt nachylenia prostej do osi OX jest kątem rozwartym. a) b)

Współczynnik b mówi o tym, w którym punkcie wykres funkcji y = ax + b przecina oś OY, czyli wykres funkcji liniowej y = ax + b przecina oś OY w punkcie o współrzędnych (0,b). Wyraz wolny b informuje nas o tym, w który punkcie wykres przecina oś y.

Wykresy funkcji liniowych o takich samych współczynnikach kierunkowych a są prostymi równoległymi. Jeżeli proste są równoległe to mają ten sam współczynnik kierunkowy np.: 2x+2, 2x+1

Zadanie 1 Jeżeli samochód wystartuje z pełnym bakiem i będzie jechał ze stałą prędkością, to zależność liczby litrów benzyny w baku (y) od przejechanych km (x) wyraża się wzorem y= -0,5x + 45 Ile benzyny zostanie po przejechaniu 200 km Jaką pojemność ma bak Na przejechanie ilu km wystarczy jeden pełny bak Rozwiązanie y- pojemność benzyny w baku x- liczba przejechanych km Ad.a) y=? x=200 y=-0,5*200+45 y= -10+45 y=35 Odpowiedź: Po przejechaniu 200 km w baku zostanie 35 l benzyny.

Ad.b) x=0 y=45(l) Odpowiedź: bak ma pojemność 45 litrów. Ad.c) 5--100 45-X x=45*100 5 x= 900 km Odpowiedź: Jeden pełny bak wystarczy na przejechanie 900 km Zadanie 2 INFORMACJA BIURA PODRÓŻY wynajęcie przewodnika 180 zł za dzień wynajęcie autokaru 25 zł opłata stała + 150 zł za każdy km. Napisz wzór funkcji opisującej zależność kosztu wynajęcia autokaru od liczby przejechanych km Każdy z 23 uczestników jednodniowej wycieczki wpłacił 20 zł za autokar i przewodnika. Ile km liczyła trasa wycieczki?

x y y- koszt wynajmu autokaru (zł) x- liczba km Ad.a) y=1,5x+25 3 4 y 1,5 +25zł 1,5*2 1,5*3 1,5*4 y=1,5x+25 Ad.b) 23 osoby po 20 zł Koszt:460 zł 460-180=280 zł- wynajęcie autokaru y= 280 y=1,5x + 25 280 = 1,5x + 25 Odp.:Trasa liczyła 170 km -1,5x = 25-280 -1,5x=-255 x=170 km