Sterowanie – metody alokacji biegunów III Przykład 2 System trzeciego rzędu System SISO Wartości własne systemu (bieguny systemu) Złożenie: człon pierwszego rzędu inercyjny, człon drugiego rzędu oscylacyjny Parametry: - człon pierwszego rzędu inercyjny: stała czasowa bezwładności - - człon drugiego rzędu oscylacyjny: pulsacja drgań własnych nietłumionych - współczynnik tłumienia -

System jednowymiarowy – sprawdzenie sterowalności przez sprawdzenie wyznacznika macierzy sterowalności Kalmana Wartość wyznacznika niezerowa – system jest sterowalny (policzyć!) Należy zaprojektować sterownik od stanu, regulacyjny taki, aby otrzymać system zamknięty z wartościami własnymi rzeczywistymi jednakowymi dającymi stałe czasowe bezwładności około 1.5 s. Zatem wartości własne Stąd Zaprojektujemy sterownik korzystając z postaci kanonicznej sterowalności systemu

Skorzystamy z Twierdzenia D1 (poprzedni wykład) Z otrzymanego układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi obliczymy

Możemy obliczyć macierz przekształcenia podobieństwa Otrzymamy

Stąd lub czyli używając oznaczeń odnoszących się do postaci kanonicznej sterowalności

Możemy obliczyć macierz wzmocnień

Możemy obliczyć wartości własne systemu zamkniętego Niezbyt dokładnie to, co chcieliśmy – zbyt duże błędy zaokrągleń Symulacja systemu zamkniętego Warunki początkowe zerowe, yr – skok jednostkowy

Wyjście Przeregulowania (około 12%) !!! Sterowanie (wejście)

Transmitancja systemu otwartego Zero systemu powodem oscylacji

Pytanie: co dzieje się z zerami systemu podczas przemieszczania biegunów w pożądane położenie za pomocą sprzężenia zwrotnego od stanu? Twierdzenie: Zera systemu (otwartego) nie zmieniają się po dodaniu sprzężenia zwrotnego od stanu. Innymi słowy, zera systemu, który został zamknięty przez macierz wzmocnień L sprzężenia zwrotnego od stanu są zerami pierwotnego systemu

Przykład 3 – system niesterowalny lecz stabilizowalny Wartości własne System jest stabilny Macierz sterowalności Kalmana System jest niesterowalny

Dwie pierwsze kolumny - liniowo niezależne Rząd macierzy sterowalności wynosi 2 Propozycja macierzy przekształcenia podobieństwa potrzebnej do dekompozycji na podprzestrzenie sterowalne i niesterowalne

Przekształcenie podobieństwa Otrzymujemy macierze

Sterowalna część systemu opisana jest macierzami: Niesterowalna część systemu opisana jest macierzami: Macierz sterowalności części sterowalnej Macierz wzmocnień – dwie części

Część sterowalna – rząd drugi  dwie wartości własne (bieguny) mogą być umieszczone w dowolnym położeniu Niech Aby znaleźć macierz wzmocnień zastosujemy wzór Ackermann’a

Trzeci element macierzy wzmocnień nie ma wpływu na położenie wartości własnych systemu zamkniętego i może być wybrany dowolnie, na przykład równy zero

Dokonując retransformacji Niejednoznaczność wyznaczenia macierzy L !!!

Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę