Przypomnienie wiadomości o figurach geometrycznych. Temat: Przypomnienie wiadomości o figurach geometrycznych.

1. Punkt. A B C D E

2. Prosta. k 3.Półprosta. Początek półprostej

4.Odcinek. A B AB- odcinek o końcach A i B |AB|- długość odcinka AB 5.Linia łamana.

a) Podział trójkątów ze względu na kąty. Trójkąt prostokątny Trójkąt ostrokątny Trójkąt rozwartokątny

b) Podział trójkątów ze względu na boki. Trójkąt równoboczny Trójkąt równoramienny Trójkąt o różnych bokach

7.Czworokąt . a) Kwadrat b) Prostokąt c) Romb d) Równoległobok

e) Trapez 8.Sześciokąt foremny.

9. Okrąg i koło. cięciwa promień średnica

Symetralne, dwusieczne, wysokości i środkowe w trójkącie. Temat: Symetralne, dwusieczne, wysokości i środkowe w trójkącie.

1.Symetralna odcinka . Definicja Prostą prostopadłą do odcinka przechodzącą przez jego środek nazywamy symetralną odcinka.

Własność symetralnej Symetralna odcinka jest zbiorem punktów równooddalonych od jego końców.

2.Dwusieczna kąta. Definicja Półprostą, która dzieli kąt na dwa kąty o równych miarach nazywamy dwusieczną kąta.

Własność dwusiecznej Dwusieczna kąta wypukłego jest zbiorem punktów równooddalonych od jego ramion.

3. Symetralne boków trójkąta. Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

4. Dwusieczne kątów trójkąta. Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

5. Wysokości trójkąta.

6. Środkowe trójkąta. C B’ A’ B A C’ Odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem boku przeciwległego nazywamy środkową trójkąta.

Twierdzenie o środkowych trójkąta. Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta i dzielą się w stosunku 2:1

symetralna dwusieczna środkowa wysokość

Kąty środkowe i wpisane. Temat: Kąty środkowe i wpisane.

1. Definicja kąta środkowego. Łuk, na którym oparty jest kąt środkowy α Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu.

2. Definicja kąta wpisanego. α Łuk, na którym oparty jest kąt wpisany Kąt wpisany to kąt wypukły, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona zawierają cięciwy okręgu.

3. Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym. β α Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają takie same miary. 4. Wniosek . β β β Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają takie same miary.

5. Wniosek . Kąt wpisany oparty na półokręgu jest prosty.

Ćwiczenia β 27,50 1250 β=900-27,50=62,50

γ 560 340 γ =900-560=340

F 500 a 1300 a 650 650 D E

Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt. Temat: Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt.

1. Odległość punktu od prostej.

2. Styczna do okręgu. Prostą, która ma jeden punkt wspólny z okręgiem nazywamy styczną do okręgu.

3. Okrąg opisany na wielokącie. Okrąg do którego należą wszystkie wierzchołki wielokąta nazywamy okręgiem opisanym na wielokącie.

4. Okrąg opisany na trójkącie.

Jeżeli trójkąt jest ostrokątny to środek okręgu opisanego leży wewnątrz trójkąta, jeżeli jest prostokątny to leży na środku przeciwprostokątnej a jeżeli rozwartokątny to na zewnątrz trójkąta .

4. Okrąg wpisany w wielokąt. Okrąg do którego są styczne wszystkie boki wielokąta nazywamy okręgiem wpisanym w wielokąt.

5. Okrąg wpisany w trójkąt

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Temat: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

1. Twierdzenie Pitagorasa c a b a2+b2=c2

Przyprostokątna przeciwległa kątowi Przyprostokątna przyległa do kąta 2. Trójkąt prostokątny Przyprostokątna przeciwległa kątowi c a α b Przyprostokątna przyległa do kąta

3. Funkcja sinus a sinα= c c a b Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi do długości przeciwprostokątnej.

4. Funkcja cosinus b cosα= c c a b Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta do długości przeciwprostokątnej.

5. Funkcja tangens a tgα= b c a b Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi do długości drugiej przyprostokątnej.

5. Funkcja cotangens b ctgα= a c a b Cotangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta do długości drugiej przyprostokątnej.

6. Ćwiczenia a s α k w α m z p k α g r x u α

7. Wartości funkcji trygonometrycznych niektórych kątów α 300 450 600 sinα cosα tgα 1 ctgα 1 √ 2 √ 3 2 2 1 √ 3 2 √ 2 2 √ 3 √ 3 √ 3 √ 3

8. Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta sin2α+cos2α=1 sinα tgα= cosα cosα ctgα= sinα tgα ctgα=1

Pola i obwody figur płaskich. Temat: Pola i obwody figur płaskich.

1. Trójkąt a) c b h a P= 1 2 ah l=a+b+c

1. Trójkąt b) c b γ a 1 P= absinγ 2 l=a+b+c

1. Trójkąt c) równoboczny a a a √ 3 h h= 2 a a2 √ 3 P= 4 l=3a

2. Czworokąt a) kwadrat b) prostokąt a a a b P=a2 P=ab l=4a l=2a+2b

2. Czworokąt c) równoległobok d) romb d1 d2 b a 1 P=ah P= d1 d2 l=2a+2b l=4a

e) trapez b d c h a 1 P= (a+b)h 2 l=a+b+c+d

3. Koło r P=πr2 l=2πr

Obliczanie pól i obwodów figur płaskich. Temat: Obliczanie pól i obwodów figur płaskich.

Podstawowe jednostki pola 1 cm2 (1cm x1cm) 1 m2 (1m x1m) 1 km2 (1km x1km) 1 ar =100 m2 (10m x10m) 1 ha =10000 m2 (100m x100m)

Zad. 1 Jan Kowalski kupił działkę w kształcie trapezu prostokątnego Zad.1 Jan Kowalski kupił działkę w kształcie trapezu prostokątnego. Wysokość tego trapezu jest równa 14m, a jego krótsza przekątna dzieli ten trapez na dwa trójkąty równoramienne prostokątne. a) Ile kosztował 1m2 działki, jeśli za całość Jan Kowalski zapłacił 10 290 zł? b) Czy 76 m siatki wystarczy na ogrodzenie działki?

Zad. 2 Jedna z przekątnych rombu jest o 6 cm dłuższa od drugiej Zad.2 Jedna z przekątnych rombu jest o 6 cm dłuższa od drugiej. Pole rombu jest równe 56 cm2. Oblicz obwód rombu.

Zad.3 Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego którego podstawy mają długości 18 cm i 12 cm a kąt ostry trapezu ma miarę 600.

Zad.4 W trójkącie równoramiennym suma długości ramienia i wysokości jest równa 5 cm. Kąt przy podstawie ma miarę 600. Oblicz pole tego trójkąta.

Zad.5 Z trzech trójkątów równobocznych zbudowano trapez o polu równym cm2. Oblicz obwód trapezu i długości jego przekątnych.

Zad.6 Pole prostokąta, w którym jeden z boków jest o 2cm dłuższy od drugiego jest równe 48 cm2. Oblicz pole koła opisanego na tym prostokącie.

Zad. 7 Osiedlowy plac zabaw dla dzieci 11 arów ma kształt rombu Zad.7 Osiedlowy plac zabaw dla dzieci 11 arów ma kształt rombu. Ścieżka biegnąca wzdłuż jednej przekątnej ma 44 m długości. Oblicz, ile metrów ma ścieżka biegnąca wzdłuż drugiej przekątnej. Uwaga: 1 ar =100 m2

Zad. 8 Przekątne rombu mają długości 6 cm i 8 cm Zad. 8 Przekątne rombu mają długości 6 cm i 8 cm. Oblicz obwód tego rombu.

Zad. 9 Mamy ogrodzić prostokątną działkę, której jeden bok jest o 10 m dłuższy od drugiego. Jak długa musi być ta siatka, jeżeli pole powierzchni działki wynosi 1200 m2.

Zad.10 Oblicz pole prostokąta o obwodzie 27 cm w którym stosunek długości boków jest równy 4:5.

Temat: Symetria środkowa

1. Przypomnienie - funkcje Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to mówimy, że określiliśmy funkcję na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y.

y=f(x) – wartość funkcji dla argumentu x X– dziedzina funkcji x - argument funkcji y=f(x) – wartość funkcji dla argumentu x

2. Przekształcenia geometryczne Jeżeli każdemu punktowi płaszczyzny przyporządkujemy dokładnie jeden punkt płaszczyzny, to mówimy że określiliśmy przekształcenie geometryczne płaszczyzny.

3. Symetria środkowa A’ O A Symetrią środkową względem punktu O nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny, w którym punktowi A jest przyporządkowany punkt A’ taki, że punkt O jest środkiem odcinka AA’.

4. Obrazy figur w symetrii środkowej. C B’ A’ O A B C’ Punkt A’ jest obrazem punktu A w symetrii środkowej względem punktu O.

5. Własności symetrii środkowej. a) Obrazem odcinka jest odcinek o tej samej długości. b) Obrazem prostej jest prosta do niej równoległa. c) Obrazem kąta jest kąt o tej samej rozwartości. d) Obrazem punktu O jest ten sam punkt (punkt stały przekształcenia).

6. Symetria względem początku układu współrzędnych. 1 A=(-2;3) x A’=(2;-3)

A=(x;y) A’=(-x;-y)

7. Środek symetrii figury. Mówimy, że figura ma środek symetrii, jeśli istnieje punkt, taki że obrazem figury w symetrii względem tego punktu jest ta sama figura.

Prosta ma nieskończenie wiele środków symetrii. Odcinek ma środek symetrii.

Prostokąt ma środek symetrii.

Trójkąt równoboczny nie ma środka symetrii.

Temat: Symetria osiowa

1. Symetria osiowa A’ A l A’ jest obrazem punktu A w symetrii osiowej względem prostej l.

Symetrią osiową względem prostej l nazywamy przekształcenie płaszczyzny, w którym punktowi A jest przyporządkowany punkt A’ taki, że punkty A i A’ leżą na prostej prostopadłej do prostej l, po przeciwnych jej stronach i w takiej samej od niej odległości.

4. Obrazy figur w symetrii osiowej . l C’ C B B’ A’ A Punkt A’ jest obrazem punktu A w symetrii osiowej względem prostej l.

5. Własności symetrii osiowej. a) Obrazem odcinka jest odcinek o tej samej długości. b) Obrazem kąta jest kąt o tej samej rozwartości. c) Obrazem punktu z prostej l jest ten sam punkt (punkt stały przekształcenia).

A=(x;y) A’=(-x;y) 6. Symetria względem osi y . A=(-2;3) A’=(2; 3) y x 1 A=(-2;3) A’=(2; 3) x A=(x;y) A’=(-x;y)

7. Symetria względem osi x . 1 A=(2;3) x A=(x;y) A’=(2;-3) A’=(x;-y)

8. Oś symetrii figury. Mówimy, że figura ma oś symetrii, jeśli istnieje prosta, taka że obrazem figury w symetrii względem tej prostej jest ta sama figura.

Prosta ma nieskończenie wiele osi symetrii.

Odcinek ma dwie osie symetrii.

Prostokąt ma dwie osie symetrii.

Kwadrat ma cztery osie symetrii.

Koło ma nieskończenie wiele osi symetrii.

Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii.

Twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne Temat: Twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne

1. Twierdzenie Talesa. D d C f c e O a A b B c d = a b c c+d e = = a

Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta.

2. Twierdzenie odwrotne. Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi w ten sposób, że odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta, to proste są równoległe.

3. Podział odcinka na równe części. B

4. Dane są odcinki o a, b, c. Skonstruuj odcinek x taki, że: = b c

Podobieństwo trójkątów Temat: Podobieństwo trójkątów

1. Podobieństwem o skali s>0 nazywamy przekształcenie geometryczne płaszczyzny, w którym, jeżeli obrazami punktów A i B są punkty A’ i B’ to A’B’ =s AB

2. Figury f i f’ nazywamy podobnymi co zapisujemy f~f’, jeżeli istnieje podobieństwo przekształcające jedną figurę na drugą.

3. Każde dwa odcinki są podobne, każde dwa koła, każde dwa kwadraty, każde dwa trójkąty równoboczne są podobne.

4. Cechy podobieństwa trójkątów. a) Cecha (bbb) bok-bok-bok = =  ∆ABC~∆A’B’C’ a c b

b) Cecha (bkb) bok-kąt-bok  ’ A B c c’ B’ A’ b’ c’ = =’  ∆ABC~∆A’B’C’ c b

c) Cecha (kk) kąt-kąt  ’ =’, =’  ∆ABC~∆A’B’C’ C’ C a’ a b’ b  =’, =’  ∆ABC~∆A’B’C’

5. Pola figur podobnych. Jeżeli figura f’ jest podobna do figury f w skali s, to Pf’ =s2Pf