Zastosowania zadań PL Wybór portfela inwestycyjnego Fundusz inwestycyjny posiada kapitał 5 mln zł. Ma do wyboru akcje trzech firm: A, B i C. Akcje firmy A są najbardziej ryzykowne, dlatego mogą maksymalnie stanowić 50% portfela, akcje firmy B od dawna stabilnie rosną, zatem ustalono, że powinny stanowić minimum 20% portfela. Oczekiwane stopy zwrotu podane są w tabeli. Ile akcji i jakich firm powinien kupić fundusz, aby zmaksymalizować swoją oczekiwaną stopę zwrotu? Niech :A,B,C – udział wartości akcji A,B,C w wartości portfela f(A,B,C) = 0,3A + 0,05B + 0,1C -> max Warunki ograniczające: A + B + C =1 (warunek budżetowy) A <= 0,5 B >= 0,2 A>=0, B>=0, C>=0 Za pomocą dodatku SOLVER w Excelu otrzymujemy rozwiązanie optymalne: (A,B,C) = (0,5; 0,2; 0,3) 0,5*5mln zł = 2,5 mln zł -> należy przeznaczyć na zakup akcji A (czyli 2,5 mln zł/200zł= 12 500 sztuk) 0,2*5 mln zł = 1 mln zł - > należy przeznaczyć na akcje B (czyli 1 mln zł /50zł = 20 000 sztuk) 0,3*5mln zł = 1,5 mln zł -> należy przeznaczyć na akcje C (czyli 1,5 mln zł/ 2000zł = 750 sztuk) Akcje firmy (udziały) Oczekiwana stopa zwrotu Cena akcji A 30% 200zł B 5% 50zł C 10% 2000zł

Zastosowania zadań PL Wybór portfela inwestycyjnego Przykład rozwiązania za pomocą SOLVERa -> plik. Zadania PL.xls Zadanie 1 -> plik. Zadania PL.xls

Zastosowania zadań PL Wybór portfela inwestycyjnego f(x1, ..., xj) = Σj rjxj -> max Gdzie rj – oczekiwana stopa zwrotu, xj – udział wartości aktywów j-tego typu wartości portfela Warunki ograniczające: Σj xj =1 dj < xj < gj xj >= 0 , j=1,...,n Gdzie dj – dolny limit udziału wartości aktywów j w wartości portfela gj - górny limit udziału wartości aktywów j w wartości portfela Kxj / cj = ilość jednostek aktywu j, jaką należy zakupić do portfela Gdzie K – kapitał, cj – cena jednostkowa inwestycji Kwota zysku = K Σj rjxj

Zastosowania zadań PL Wybór portfela inwestycyjnego – ZADANIE 2 Zapisz funkcję celu oraz warunki ograniczające dla poniższego zadania: Fundusz poszukuje portfela o jak największej wartości oczekiwanej stopy zwrotu oraz ryzyku nie przekraczającym 5%. Akcje firmy Oczekiwana stopa zwrotu Odchylenie standardowe ( miara ryzyka) A 30% 10% B 5% 15% C 20% D 2%

Zastosowania zadań PL Zagadnienie transportowe Fabryka1 Fabryka2 Należy zaplanować przewóz z magazynów do fabryk tak, aby zminimalizować koszt transportu. Koszt przewozu 1 tony na odległość 1km wynosi 20zł. Odległość między Magazynem1 a Fabryką2 w km Fabryka1 Fabryka2 Zasoby (w tonach) Magazyn1 4 2 100 Magazyn2 5 3 50 Magazyn3 6 1 Moce produkcyjne (w tonach) 60 70 Rozwiązanie: xij – decyzja, że przewozimy x ton z magazynu i do fabryki j (6 decyzji) Koszt przewozu z Magazynu1 do Fabryki1 = 4km*20zł = 80zł Funkcja celu: 80x11 + 40x12 + 100x21 + 60x22 + 120x31 + 20x32 -> min (80 = 4km* 20zł)

Zastosowania zadań PL Zagadnienie transportowe Fabryka1 Fabryka2 Moce produkcyjne Fabryk i Zasoby magazynów stanowią ograniczenia x11 + x 12 <=100 x21 + x 22 <= 50 x31 + x 32 <=50 x11 + x 21 + x 31 = 60 x12 + x 22 + x 32 = 70 Fabryka1 Fabryka2 Zasoby (w tonach) Magazyn1 4 2 100 Magazyn2 5 3 50 Magazyn3 6 1 Moce produkcyjne (w tonach) 60 70 Gdy łączne Moce produkcyjne Fabryk i Zasoby magazynów są równe to mówimy o zbilansowaniu podaży (zasoby magazynów) z popytem (moce produkcyjne)

Zastosowania zadań PL Zagadnienie transportowe – ZADANIE 3 Fabryka1 Zapisać funkcję celu i warunki ograniczające: Koszt przewozu 1 tony na odległość 1km wynosi 20zł. Fabryka1 Fabryka2 Zasoby (w tonach) Magazyn1 2 3 70 Magazyn2 1 4 40 Magazyn3 50 Moce produkcyjne (w tonach) 30 Za pomocą SOLVERa oblicz rozwiązanie optymalne oraz koszt transportu.

Zastosowania zadań PL Zagadnienie diety – ZADANIE 4 Asia jest na diecie. Jej dzienne zapotrzebowanie na witaminy A, B i C wynosi 10,20 i 30. Przy czym dla witaminy A maksymalna dzienna dawka nie może przekroczyć 50 jednostek. Na rynku dostępne są trzy rodzaje tabletek. Jedna tabletka T1 zawiera w sobie 5 jednostek witaminy A, 10 jednostek witaminy B i 6 jednostek witaminy C. W przypadku tabletek T2 i T3 zawartość witamin A, B i C w jednej tabletce wynosi odpowiednio 10,15,15 i 20,20,6. Tabletki można kupować na sztuki. Jedna tabletka T1 kosztuje 2zł, T2 – 3zł a T3 – 5zł. Skonstruować zadanie na podstawie, którego Asia podejmie decyzję, które tabletki i w jakich ilościach powinna kupić, aby dostosować się do wymogów diety i jednocześnie jak najmniej płacąc. Następnie za pomocą Solvera rozwiązać zadanie

Zastosowania zadań PL Wybór harmonogramu – Przykład Właściciel restauracji chce ustalić ilu kelnerów potrzebuje zatrudnić. Liczba potrzebnych kelnerów danego dnia zależy od liczby klientów. W niektóre dni liczba klientów jest większa, a w inne dni mniejsza. Na podstawie dotychczasowych doświadczeń właściciel restauracji ustalił ilu kelnerów potrzebuje każdego dnia tygodnia: Pon: 3 Wt: 5 Śr: 4 Czw: 5 Piąt: 10 Sob: 11 Niedz: 8 Każdy kelner pracuje 5 dni pod rząd i po pięciu dniach pracy otrzymuje dwa dni wolne. Zapisz funkcję celu oraz warunki ograniczające. F(X) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 -> min x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 3 (1) x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≥ 5 (2) x1 + x2 + x3 + x6 + x7 ≥ 4 (3) x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 5 (4) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 10 (5) x2 + x3 + +x4 + x5 + x6 ≥ 11 (6) x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 8 (7)

Zastosowania zadań PL Problem przydziału – Przykład Marta postanowiła chodzić trzy razy w tygodniu do klubu fitness na różne zajęcia. Cena jednej godziny zajęć zależy od dnia tygodnia i od rodzaju zajęć. W które dni i do jakiej grupy powinna się zapisać, aby w sumie zapłacić jak najmniej? Zapisz zadanie PL. Liczba osób zapisanych do grupy Salsa TBC Jazz dance Pon 10 15 6 Wt 4 9 5 Śr 12 Czw 8 3 Zmienna decyzyjna: xij = 1 jeśli zapisze się do grupy, 0 jeśli nie zapisze F(x) = 10x11 + 15 x12 + 6x13 + 4x21 + 9x22+ 5x23+ 6x31 + 12x32 + 10x33 + 8x41 + 5x42 + 3x43 x11 + x12 + x13 <=1 x11 + x21 + x31 + x41 = 1 x21 + x22 + x23<=1 x12 + x22 + x32 + x42 = 1 x31 + x32 + x33<=1 x13 + x23 + x33 + x43 = 1 x41 + x42 + x43 <=1

Zastosowania zadań PL Problem przydziału – ZADANIE 5 Ang Fran Niem Firma współpracuje z trzema tłumaczami. Każdy z nich może przetłumaczyć na trzy języki obce, jednak każdy ma swoją ustaloną stawkę za tłumaczenie jednej strony w danym języku. Firma potrzebuje przetłumaczyć artykuł na trzy języki obce. Komu powinna powierzyć przetłumaczenie artykułu na jaki język, aby zapłacić w sumie jak najmniej. Zapisz ZPL. Ang Fran Niem Tłum 1 15 12 10 Tłum 2 9 Tłum 3 18 13 Tłum 4 16

Zastosowania zadań PL Problem produkcyjny wielookresowy – Przykład (z podręcznika) Ile firma powinna produkować i dostarczać na rynek w każdym kwartale, aby zmaksymalizować zysk? Produkt wyprodukowany w danym kwartale może skierować od razu na rynek lub przechować w magazynie.. Aktualny stan zapasów firmy wynosi 400 i taki sam stan zapasów chce mieć za rok. Kwartał Maksymalny popyt Zdolności produkcyjne Cena sprzedaży Koszty produkcji Koszt magazynowania 1 2100 3600 2,5 1,6 0,05 2 3400 2200 2,8 1,7 3 4800 3,4 1,4 4 2400 4000 2,2 1,1 Definicja zmiennych decyzyjnych xj – wielkość produkcji w kwartale j, j = 1,2,3,4, rj – wielkość dostaw na rynek w kwartale j, j = 1,2,3,4, zj – zapas w magazynie na koniec kwartału j, j = 1,2,3,4. Ograniczenia wynikające z zdolności produkcyjnych x1 ≤ 3600 , x2 ≤ 2200, x3 ≤ 3000, x4 ≤ 4000 . Ograniczenia wynikające z chłonności rynku r1 ≤ 2100 , r2 ≤ 3400 , r3 ≤ 4800, r4 ≤ 2400 Ograniczenia wynikające z wymogu stanu zapasów z4 ≥ 400

Zastosowania zadań PL Problem produkcyjny wielookresowy – Przykład Zależności między produkcja, zapasem a dostawami na rynek dla każdego kwartału: kwartał I: r1 = x1 + 400 − z1 , kwartał II: r2 = x2 + z1 − z2 , kwartał III: r3 = x3 + z2 − z3 , kwartał IV: r4 = x4 + z3 − z4 , Funkcja celu: Zysk = Dochód ze sprzedaży – koszt produkcji – koszt magazynowania Dochód ze sprzedaży: 2,5x1 + 2,8x2 + 3,4x3 + 2,2x4 Koszty produkcji: 1,6r1 +1,7r2 +1,4r3 +1,1r4 Koszt magazynowania: 0,05(z1 + z2 + z3 + z4 ) Funkcja celu: 2,5x1 + 2,8x2 + 3,4x3 + 2,2x4 - (1,6r1 +1,7r2 +1,4r3 +1,1r4)-0,05(z1 + z2 + z3 + z4)