II. Matematyczne podstawy MK Mechanika Kwantowa II. Matematyczne podstawy MK WYKŁAD 5 Postulaty mechaniki kwantowej

Plan wykładu omówienie postulatów dotyczących opisu układu kwantowego w danej chwili, omówienie postulatu dotyczącego opisu zmian układu kwantowego z upływem czasu, funkcja falowa, wartość oczekiwana.

Postulaty mechaniki kwantowej I. Stan cząstki jest wyznaczony przez wektor w przestrzeni Hilberta. II. Klasycznym zmiennym niezależnym x i p odpowiadają operatory hermitowskie X i P, dla których mamy: (w bazie wektorów własnych X). Zmiennym zależnym odpowiadają op. hermitowskie:

Postulaty mechaniki kwantowej III. Jeśli cząstka znajduje się w stanie , to pomiar zmiennej odpowiadającej operatorowi  daje jedną z jego wartości własnych  z prawdopodobieństwem W wyniku pomiaru stan cząstki zmienia się z w .

Postulaty mechaniki kwantowej IV. Wektor stanu spełnia równanie Schrödingera: gdzie jest hamiltonianem kwantowym, a H hamiltonianem dla odpowiedniego zagadnienia klasycznego.

Równanie Schrödingera Analogiczna postać równania Schrödingera w reprezentacji położeniowej (dla cząstki): jest energią potencjalną, często nazywaną potencjałem. NIE jest wektorem położenia cząstki!!!

Równanie Schrödingera Własności równania Schrödingera 1. Jest równaniem zespolonym. 2. Jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu względem czasu. 3. Jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu względem zmiennych przestrzennych. 4. Jest równaniem liniowym (można opisać zjawisko interferencji!!!). 5. Jest równaniem opisującym propagację fali (funkcji falowej). Brak pojęcia trajektorii cząstki!!!

Funkcja falowa Dla pojedynczej cząstki, funkcja falowa jest amplitudą gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w otoczeniu punktu w chwili czasu t, tzn.: Powinien zachodzić związek: czyli

Funkcja falowa Nie wszystkie matematycznie poprawne rozwiązania równania Schrödingera są fizycznie sensowne!!! Sens funkcji falowej mają rozwiązania należące do klasy funkcji całkowalnych z kwadratem. Klasa dopuszczalnych fizycznie rozwiązań jest węższa niż klasa wszystkich możliwych rozwiązań.

Funkcja falowa Funkcja falowa jest wektorem stanu w reprezentacji położeniowej . Funkcja falowa (wektor stanu) układu kwantowego reprezentuje stan wiedzy (obserwatora) o tym układzie.

Redukcja funkcji falowej Jeżeli w układzie fizycznym opisanym stanem dokonamy pomiaru wielkości fizycznej A otrzymując an – jedną z wartości własnych obserwabli A, to po pomiarze stanem układu jest unormowany rzut stanu na (unormowany) wektor własny odpowiadający zmierzonej wartości własnej:

Redukcja funkcji falowej

Redukcja funkcji falowej Redukcja funkcji falowej zachodząca w chwili pomiaru jest jednym z najbardziej tajemniczych aspektów mikroświata i do dziś budzi istotne kontrowersje

Wartość oczekiwana Mechanika kwantowa, w przeciwieństwie do fizyki klasycznej, nie pozwala przewidywać wyników pojedynczego pomiaru. Wiedząc jak układ jest przygotowany (znając odpowiednią funkcję falową) możemy jedynie obliczać prawdopodobieństwa takich czy innych rezultatów pomiaru.

Wartość oczekiwana Zakładamy, że wielkości fizycznej A odpowiada obserwabla A o wartościach własnych an i wektorach własnych un stanowiących bazę ortonormalną w przestrzeni funkcji falowych. Stan układu opisywany jest funkcją falową . Tworzymy bardzo wiele identycznych układów, każdy przygotowany w stanie . Mamy:

Wartość oczekiwana Prawdopodobieństwo pojedynczego pomiaru o wartości ak wynosi:

Wartość oczekiwana Mamy więc (notacja „bra-ketowa”):

Przestrzeń o nieprzeliczalnym wymiarze Własności „delty Diraca”