Wytrzymałość materiałów (WM II – wykład 9)

SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - II Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG e-mail: mger@pg.gda.pl Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Czwartki: 13.00-15.00

TEMATY WYKŁADÓW: … (zbiór dodatkowy) Powłoki grubościenne walcowe - Powłoka grubościenna walcowa (rura) - Zadanie Lame’go - Przypadki szczególne - Naprężenia w połączeniach wciskowych Powłoki grubościenne kuliste   - Przykłady obliczeniowe Przykłady praktyczne W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE Istnieje wiele definicji powłok grubościennych Springer Handbook of Mechanical Engineering (2009): Powłoki grubościenne (w zastosowaniu do zbiorników ciśnieniowych) charakteryzują się grubością ścian większą, niż 0,1 średniego promienia ściany. W powłokach grubościennych poddanych ciśnieniu wewnętrznemu p1 oraz ciśnieniu zewnętrznemu p2 naprężenia obwodowe nie są rozłożone równomiernie na całej grubości powłoki.

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE Powłoka grubościenna walcowa (rura) – przypadek szczególny często spotykany w praktyce z z p2 p2 r2 p1 r1 y x p1 p1 p2 dx Siła powierzchniowa (ciśnienie) wewnętrzne p1 Siła powierzchniowa (ciśnienie) zewnętrzne p2

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE Zadanie Lame’go Gabriel Lamé (1795–1870) – francuski matematyk i inżynier. Przekrój w płaszczyźnie prostopadłej do osi x z r+dr t t r r d r+dr y Płaski stan naprężeń: Naprężenia normalne: promieniowe r i obwodowe t

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE Naprężenia promieniowe r na powierzchni wewnętrznej wycinka, której promień wynosi r, dają siłę wypadkową skierowaną wzdłuż osi z: Naprężenia promieniowe r+dr na powierzchni zewnętrznej wycinka, której promień wynosi r+dr, dają siłę wypadkową skierowaną wzdłuż osi z: Z rzutowania na oś z sił wypadkowych naprężeń obwodowych t wynika zależność:

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE Suma rzutów wszystkich sił na oś z daje równanie: Po przekształceniu i uproszczeniu otrzymujemy: (*) Płaski stan naprężeń: naprężenia normalne r, t Odkształcenia promieniowe i obwodowe wynoszą odpowiednio:

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE Po przekształceniu otrzymujemy składowe stanu naprężeń: Oznaczmy przez u zmianę długości promienia. Stąd, odkształcenie promieniowe: a odkształcenie obwodowe : Zmiana długości obwodu w wyniku zmiany promienia o wartość u

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE A zatem, w przypadku rur grubościennych (inaczej, niż dla rur cienkościennych). Po wstawieniu do równań opisujących naprężenia promieniowe i obwodowe Pierwsze równanie różniczkujemy względem r, tzn. Po wstawieniu 3-ch powyższych równań do równania (*), tzn.

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE a następnie – po uproszczeniu, otrzymamy: Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego jest funkcja: Następnie otrzymujemy wzory na naprężenia promieniowe i obwodowe

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE Po uproszczeniu: Stałe całkowania C1 i C2 wyznaczamy z warunków brzegowych czyli Naprężenia promieniowe

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE Naprężenia promieniowe Naprężenia obwodowe (styczne) Przemieszczenie promieniowe punktu rury określonego promieniem r

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE Przypadki szczególne. 1. Gdy działa tylko ciśnienie wewnętrzne p1 (p2=0) Przyrost długości promienia wewnętrznego rury Przypadek bardzo niekorzystny – rozciąganie Przy obliczaniu rur nie zaleca się stosowania hipotez wytężeniowych

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE t – naprężenia rozciągające r – naprężenia ściskające

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE 2. Gdy działa tylko ciśnienie zewnętrzne p2 (p1=0) Zmiana (skrócenie) długości promienia zewnętrznego rury

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE r – naprężenia ściskające t – naprężenia ściskające

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE Redukcja naprężeń rozciągających – układ 2-ch rur połączonych z wciskiem t – naprężenia rozciągające wynikowe dla układu 2-ch rur od ciśnienia wewnętrznego p1 o mniejszej wartości, niż dla pojedynczej rury t – naprężenia rozciągające dla pojedynczej rury od ciśnienia wewnętrznego p1 t – naprężenia rozciągające rurę B od ciśnienia wewnętrznego ps t – naprężenia ściskające w rurze A od ciśnienia zewnętrznego ps

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE Naprężenia w połączeniach wciskowych  rw ps r3 ps rz r2z r2 r2w r1 Warunkiem współpracy połączenia wciskowego jest (przed montażem) różnica promienia wewnętrznego rury zewnętrznej r2z i promienia zewnętrznego rury wewnętrznej r2w. Określa ją wcisk . W wyniku „kasowania” wcisku, promienie współpracujących powierzchni wyrównują się (r2). Na powierzchniach tych działa ciśnienie ps.

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE Zwiększenie długości promienia wewnętrznego rury zewnętrznej Zmniejszenie długości promienia zewnętrznego rury wewnętrznej Warunek geometryczny z którego wynika zależność

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE a następnie – ciśnienie pomiędzy współpracującymi powierzchniami rury wewnętrznej i rury zewnętrznej Wyznaczona wartość ciśnienia powoduje określony rozkład naprężeń (promieniowych i obwodowych) w rurze wewnętrznej i zewnętrznej (patrz: szczególne przypadki obciążenia powłoki walcowej).

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE Powłoka grubościenna kulista r1 – promień wewnętrzny powłoki kulistej r2 – promień zewnętrzny powłoki kulistej Naprężenia promieniowe Naprężenia obwodowe (styczne) 2019-07-09 17:20:26

POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE Gdy działa tylko ciśnienie wewnętrzne p1 (p2=0) Przyrost długości promienia wewnętrznego kuli Przyrost długości promienia zewnętrznego kuli 2019-07-09 17:20:26

Dziękuję za uwagę !!! 2019-07-09 17:20:26