Statystyka w biznesie Wykład 5 ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2 Przykłady zmiennych losowych dyskretnych – rozkłady dwumianowy i Poissona Rozkład normalny Centralne Twierdzenie Graniczne *Rozkład Studenta

Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa Daniel Bernoulli (1700-1782) Rozkład dwumianowy 𝑏(𝑛,𝑝) Niech 𝑋 będzie liczbą sukcesów w 𝑛 niezależnych doświadczeniach, z których każde może zakończyć się sukcesem z prawdopodobieństwem 𝑝 lub porażką z prawdopodobieństwem 1−𝑝, 𝑝>0. Wtedy 𝑃(𝑋=𝑘)= 𝑛! 𝑛−𝑘 !𝑘! 𝑝 𝑘 (1−𝑝) 𝑛−𝑘 gdzie 𝑘=0,1,2,…,𝑛. 𝑛!=1∙2∙3∙…∙𝑛 , (n silnia) 0!=1

Rozkład dwumianowy Niech 𝑋 będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym 𝑏(𝑛,𝑝). Wtedy 𝐸 𝑋 =𝑛𝑝, 𝑉𝑎𝑟(𝑋)=𝑛𝑝(1−𝑝)

Funkcje prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego

Funkcje prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego

Dokładnie 3 są bezrobotne? Co najmniej 3 są bezrobotne? Rozkład dwumianowy Przykład Wiadomo, że bezrobocie w pewnym mieście wynosi 20%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wylosowanej grupie 14 osób. Dokładnie 3 są bezrobotne? Co najmniej 3 są bezrobotne? Niech 𝑋 będzie liczbą bezrobotnych w wylosowanej grupie 14 osób. 𝑋 ma rozkład dwumianowy 𝑏(𝑛,𝑝) z 𝑛=14 i 𝑝=0,2.

Rozkład dwumianowy. Przykład c.d. P(dokładnie 3 osoby są bezrobotne) =𝑃 𝑋=3 = 14! 14−3 !3! 0,2 3 1−0,2 14−3 = 14! 11!3! 0,2 3 0,8 11 = 11!∙12∙13∙14 11!∙6 0,008∙0,085899=0,25

Rozkład dwumianowy. Przykład c.d. 𝑃(𝑐𝑜 𝑛𝑎𝑗𝑚𝑛𝑖𝑒𝑗 3 𝑏𝑒𝑧𝑟𝑜𝑏𝑜𝑡𝑛𝑒)=𝑃 𝑋≥3 =1−𝑃(𝑋<3) 𝑃 𝑋<3 =𝑃 𝑋=0 lub 𝑋=1 lub 𝑋=2 =𝑃 𝑋=0 +𝑃 𝑋=1 +𝑃 𝑋=2 𝑃 𝑋=0 = 14! 14−0 !0! 0,2 0 0,8 14 = 14! 14!∙1 1∙0,04398=0,04398 𝑃 𝑋=1 = 14! 14−1 !1! 0,2 1 0,8 13 =14∙0,2∙0,05498=0,1539 𝑃 𝑋=2 = 14! 14−2 !2! 0,2 2 0,8 12 = 13∙14 2 0,04∙0,0687=0,2501 Zatem 𝑃 𝑋≥3 =1− 0,04398+0,1539+0,2501 =0,552

Rozkład dwumianowy. Przykład c.d. Średnia liczba bezrobotnych w badanej grupie: 𝐸 𝑋 =14∙0,2=2,8 przy odchyleniu standardowym 𝑆𝐷 𝑋 = 14∙0,2∙0,8 =1,5

Wybrane rozkłady dyskretne – rozkład Poissona Siméon Denis Poisson (1781-1840) Rozkład Poissona, Po(λ) Niech X będzie liczbą zdarzeń w określonym odcinku czasu oraz 𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑒 −λ λ 𝑘 𝑘! gdzie 𝜆 jest średnią liczbą zdarzeń w rozważanym czasie 𝑘=0,1,2,3,… 𝐸(𝑋)=𝜆, 𝑉𝑎𝑟(𝑋)=𝜆

Funkcje prawdopodobieństwa rozkładu Poissona

Jakie jest prawdopodobieństwo, że o tej porze dnia Rozkład Poissona Przykład. Średnia liczba reklamacji zgłaszanych w ciągu godziny w pewnym punkcie obsługi klienta w godzinach 10-14 wynosi 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że o tej porze dnia dojdzie do 2 zgłoszeń w ciągu godziny? nie będzie żadnej reklamacji przez godzinę? dojdzie do co najmniej 5 zgłoszeń w ciągu godziny? Niech 𝑋 będzie liczbą zgłoszonych reklamacji w ciągu godziny o rozważanej porze dnia. 𝑋 ma rozkład Poissona ze średnią 𝜆=4.

𝑃 2 𝑧𝑔ł𝑜𝑠𝑧𝑒𝑛𝑖𝑎 =𝑃 𝑋=2 = 𝑒 −4 4 2 2! = 0,01832∙16 2 =0,1465 Rozkład Poissona. Przykład c.d. 𝑃 2 𝑧𝑔ł𝑜𝑠𝑧𝑒𝑛𝑖𝑎 =𝑃 𝑋=2 = 𝑒 −4 4 2 2! = 0,01832∙16 2 =0,1465 𝑃 0 zgłoszeń =𝑃 𝑋=0 = 𝑒 −4 4 0 0! = 𝑒 −4 =0,01832 𝑃 𝑐𝑜 𝑛𝑎𝑗𝑚𝑛𝑖𝑒𝑗 5 𝑧𝑔ł𝑜𝑠𝑧𝑒ń =𝑃 𝑋≥5 =1−𝑃 𝑋<5 =1− 𝑃 𝑋=0 +𝑃 𝑋=1 +…+𝑃 𝑋=4 𝑃 𝑋=0 +𝑃 𝑋=1 +…+𝑃 𝑋=4 =1− 𝑒 −4 4 0 0! + 4 1 1! +…+ 4 4 4! =1− 𝑒 −4 ∙34,33=1-0,6288=0,3712

Rozkład normalny Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Rozkład normalny 𝑵(𝝁,𝝈) Rozkład normalny o średniej 𝜇 i wariancji 𝜎2 (równoważnie odchyleniu standardowym 𝜎) dany jest gęstością: 𝑓 𝑥 = 1 𝜎 2𝜋 exp − 1 2 𝑥−𝜇 𝜎 2 gdzie −∞<𝑥<∞, −∞<𝜇<∞, 𝜎>0

Wartość oczekiwana-– parametr położenia; odchylenie standardowe – parametr skali

Rozkład normalny Jeśli 𝑎 i 𝑏 są, stałymi, 𝑎≠0, a 𝑋 jest zmienną losową o rozkładzie normalnym 𝑁(𝜇,𝜎), to 𝑎𝑋+𝑏 ma również rozkład normalny o wartości oczekiwanej 𝐸(𝑎𝑋+𝑏)=𝑎𝐸(𝑋)+𝑏=𝑎𝜇+𝑏 i wariancji 𝑉𝑎𝑟 𝑎𝑋+𝑏 = 𝑎 2 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑎 2 𝜎 2 .

Rozkład normalny. Zasada 68-95-99,7 (zasada 𝝈, 𝟐𝝈, 3𝝈) • 𝑃 𝜇−𝜎≤𝑋≤𝜇+𝜎 =68%; • 𝑃 𝜇−2𝜎≤𝑋≤𝜇+2𝜎 = 95%; • 𝑃 𝜇−3𝜎≤𝑋≤𝜇+3𝜎 = 99,7% Zmienna 𝑋 o rozkładzie normalnym 𝑁 𝜇, 𝜎 , 𝜇 –średnia, 𝜎 –odchylenie standardowe, podlega zasadzie 68-95-99,7

Standardowy rozkład normalny Jeśli 𝑋 ma rozkład normalny 𝑁(𝜇,𝜎), wtedy zmienna losowa 𝑍= 𝑋−𝜇 𝜎 ma rozkład normalny 𝑁(0,1), standardowy rozkład normalny.

Własności ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa 𝑃(𝑍≤𝑡) 𝑃(𝑍>𝑡) 𝑡 𝑡 𝑃 𝑍≤𝑡 +𝑃 𝑍>𝑡 =1 𝑃 𝑍>𝑡 =1−𝑃(𝑍≤𝑡)

Własności ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa 𝑃(𝑠≤𝑍≤𝑡) 𝑃 𝑠≤𝑍≤𝑡 =𝑃(𝑠<𝑍<𝑡) 𝑃 𝑠≤𝑍≤𝑡 =𝑃 𝑍≤𝑡 −𝑃(𝑍<𝑠) 𝑠 𝑡

Własności standardowego rozkładu normalnego, 𝑍~ 𝑁(0,1) 𝑃(𝑍≤−𝑡) 𝑃(𝑍≥𝑡) −𝑡 𝑡 𝑃 𝑍≤−𝑡 =𝑃 𝑍≥𝑡 =1−𝑃(𝑍≤𝑡)

Własności standardowego rozkładu normalnego, 𝑍~ 𝑁(0,1) 𝑃(𝑍≥−𝑡) 𝑃(𝑍≤𝑡) −𝑡 𝑡 𝑃 𝑍≥−𝑡 =𝑃(𝑍≤𝑡)

𝑍~𝑁(0,1) 𝑡 𝑃(𝑍≤𝑡) np. 𝑃(𝑍<2,36)=0,9909

Rozkład normalny Przykład Dzienne zużycie wody na osobę (𝑋) w pewnym mieście jest zmienna losową o rozkładzie normalnym ze średnią 20 (𝜇=20) litrów i odchyleniem standardowym 5 (𝜎=5) litrów. Jaki procent mieszkańców ma dzienne zużycie wody między 15 a 25 litrów? Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba zużywa między 20 a 24 litrów wody dziennie?

Rozkład normalny. Przykład c.d. 𝑃 15<𝑋<25 =𝑃 15−20 5 < 𝑋−20 5 < 25−20 5 =𝑃 −1<𝑍<1 =𝑃 𝑍<1 −𝑃 𝑍<−1 = 𝑃 𝑍<1 − 1−𝑃 𝑍<1 = 2𝑃 𝑍<1 −1=2∙0,8413−1=0,6826=68,26% 𝑃 20<𝑋<24 =𝑃 20−20 5 < 𝑋−20 5 < 24−20 5 =𝑃 0<𝑍<0,8 = 𝑃 𝑍<0,8 −𝑃 𝑋<0 =0,7881-0,5=0,2881

Rozkład normalny Przykład Ocena z egzaminu. Egzaminator zbadał, że rozkład wyników z egzaminu z ekonomii jest normalny ze średnią 72 i odchyleniem standardowym 5. Zapowiedział, że 15% osób o najlepszych wynikach otrzyma ocenę bardzo dobrą. Jaki jest najniższy wynik, który zapewnia studentowi ocenę bardzo dobrą? Niech 𝑋 będzie zmienną o rozkładzie normalnym z 𝜇=72 i 𝜎=5. Oznaczmy przez a graniczny wynik, który oddziela ocenę +db od bdb. Jeśli 15% studentów uzyskało wynik co najmniej a, to 85% miało mniej niż a. Czyli: 𝑃(𝑋<𝑎)=0,85.

Rozkład normalny. Przykład c.d. Szukamy 𝑎 takiego, że: 𝑃(𝑋<𝑎)=0,85, gdzie 𝑋 jest 𝑁(72,5). 𝑃 𝑋<𝑎 =𝑃 𝑋−72 5 < 𝑎−72 5 =𝑃 𝑍< 𝑎−72 5 =0,85 𝑃 𝑍<𝑧 =0,85 dla z= 1,04 Zatem 𝑎−72 5 =1,04 oraz 𝒂=𝟕𝟕,𝟐

Własności rozkładu normalnego Rozkład sumy zmiennych o rozkładach normalnych Niech 𝑋 i 𝑌 będą zmiennymi losowymi o rozkładach 𝑁( 𝜇 𝑋 , 𝜎 𝑋 ) i 𝑁( 𝜇 𝑌 , 𝜎 𝑌 ), odpowiednio. Wtedy zmienna losowa 𝑋+𝑌 ma również rozkład normalny, o wartości oczekiwanej 𝐸(𝑋+𝑌)= 𝜇 𝑋 + 𝜇 𝑌 . Jeśli 𝑋 i 𝑌 są dodatkowo niezależne, to 𝑆𝐷 𝑋+𝑌 = 𝜎 𝑋 2 + 𝜎 𝑌 2 .

Własności rozkładu normalnego Przykład W badaniach prowadzonych przez NASCAR okazało się, że komplet opon nowego typu zużywa się średnio po przejechaniu 168 mil z odchyleniem standardowym 14 mil. „Czas życia” (liczony w liczbie przejechanych mil) zestawu opon ma rozkład normalny i nie zależy od żywotności innych opon. Jeśli zespół planuje zmienić opony raz podczas wyścigu o długości 500 mil, jaka jest wartość oczekiwana i odchylenie standardowe dystansu, jaki pokona samochód? Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie trzeba będzie zmieniać opon drugi raz w trakcie wyścigu?

Rozkład normalny. Przykład c.d. Niech 𝑋 dystansem przejechanym na pierwszym zestawie opon, a 𝑌 – dystansem przejechanym na drugim zestawie opon. 𝑋 i 𝑌 są niezależne i o tym samym rozkładzie 𝑁(168,14). 𝐸 𝑋+𝑌 =𝐸 𝑋 +𝐸 𝑌 =2∙168=336 𝑆𝐷 𝑋 = 14 2 + 14 2 =19,8 𝑃(𝑋+𝑌≥500) Ponieważ 𝑋+𝑌 ma rozkład normalny, 𝑃 𝑋+𝑌≥500 =𝑃 𝑋+𝑌−336 19,8 ≥ 500−336 19,8 =𝑃 𝑍≥8,28 =0

Przykład W badaniu zapytano losowo wybraną próbę 2500 dorosłych o to, czy zgadzają się ze stwierdzeniem „lubię kupować nowe ubrania, ale zakupy często okazują się frustrujące i czasochłonne”. Załóżmy, że 60% wszystkich dorosłych zgadza się z tym stwierdzeniem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odsetek osób o tych poglądach w próbie przekracza 58%? Niech X będzie liczbą osób w próbie o rozważanym poglądzie. X ma rozkład dwumianowy 𝑏(𝑛,𝑝) o 𝑛= 2500 i 𝑝= 0,6. 𝑋/𝑛 – odsetek osób o rozważanej opinii, proporcja próbkowa Obliczymy: 𝑃 𝑋 𝑛 >0,58 =𝑃 𝑋>0,58∙2500 =𝑃 𝑋>1450

𝑃 𝑋>1450 =P X=1451 +P X=1452 +P X=1453 +…+P X=2500 = 2500. 1451

Przykład c.d. Dokładny rozkład 𝑋dwumianowy 𝑏(2500, 0,6).

Centralne Twierdzenie Graniczne Niech 𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 ,… będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa z wartością oczekiwaną 𝜇 i wariancją 𝜎 2 . Wtedy lim 𝑛→∞ 𝑃 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 −𝑛𝜇 𝑛 𝜎 ≤𝑡 =𝑃 𝑍≤𝑡 , gdzie 𝑍 ma rozkład 𝑁 0,1 .

Centralne Twierdzenie Graniczne Z CTG wynika, że rozkład sumy rozważanych zmiennych - 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 , dla dużych 𝑛, można przybliżać rozkładem normalnym 𝑁 𝑛𝜇, 𝑛 𝜎 2 . Równoważnie: 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 ma w przybliżeniu rozkład normalny 𝑁 𝜇, 𝜎 2 𝑛 .

Centralne Twierdzenie Graniczne dla rozkładu dwumianowego Załóżmy, że 𝑋 jest liczbą sukcesów w 𝑛 niezależnych próbach kończących się sukcesem z prawdop. 𝑝 albo porażką z prawdop. 1−𝑝. Zauważmy, że 𝑋= 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 , gdzie: 𝑋 𝑖 =1, gdy w 𝑖-ta próba kończy się sukcesem, 𝑋 𝑖 =0, gdy 𝑖-ta próba kończy się porażką, 𝑖=1,2,…,𝑛. 𝑃 𝑋 𝑖 =1 =𝑝, 𝑃 𝑋 𝑖 =0 =1−𝑝 𝐸 𝑋 𝑖 =1∙𝑝+0∙ 1−𝑝 =𝑝 𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑖 = 1−𝑝 2 ∙𝑝+ 0−𝑝 2 ∙ 1−𝑝 =𝑝(1−𝑝) Zatem na mocy CTG: 𝑋= 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 ma w przybliżeniu rozkład normalny 𝑁 𝑛𝑝, 𝑛𝑝 1−𝑝 .

Centralne Twierdzenie Graniczne dla rozkładu dwumianowego Rozkład dwumianowy 𝑏(𝑛,𝑝) można przybliżać rozkładem normalnym 𝑁 𝑛𝑝, 𝑛𝑝 1−𝑝 .

Centralne Twierdzenie Graniczne Przykład c.d. Niech 𝑋 będzie zmienną o rozkładzie dwumianowym 𝑏(𝑛,𝑝) o 𝑛=2500 i 𝑝= 0,6. Rozkład ten można przybliżyć rozkładem normalnym o średniej 𝜇=𝑛𝑝=2500∙ 0,6=1500 i wariancji 𝜎 2 =𝑛𝑝 1−𝑝 =2500∙0,6∙0,4=600. Liczymy 𝑃 𝑋≥1450 . 𝑃 𝑋>1450 =𝑃 𝑋−1500 600 > 1450−1500 600 ≈𝑃 𝑍> 1450−1500 600 =𝑃 𝑍>−2,04 =𝑃(𝑍<2,04)= 0,9793 (wartość dokładna 0,9782)

Rozkład Studenta William Gosset (1876-1937) lub rozkład 𝑡−𝑆𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎, oznaczany 𝑡(𝑛) , 𝑛>0 – liczba stopni swobody. Rozkład zmiennej losowej: 𝑇= 𝑍 𝑍 1 2 + 𝑍 2 2 +…+ 𝑍 𝑛 2 𝑛 gdzie 𝑍, 𝑍 1 , 𝑍 2 ,…, 𝑍 𝑛 są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie 𝑁 0,1 .

Dla 𝑛≥30 rozkład Studenta 𝑡(𝑛) można przybliżać rozkładem normalnym 𝑁 0,1 .