Przestrzeń P’ jest rzutem punktu P na płaszczyznę XOY wektor wodzący punktu P długość wektora

Wersory osi układu współrzędnych

Wektory swobodne

𝑢 𝑢 𝑧 ∙ 𝑘 𝑢 𝑥 ∙ 𝑖 𝑢 𝑦 ∙ 𝑗

długość wektora Działania w zbiorze wektorów 1) Mnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą dla dla

2) Dodawanie i odejmowanie wektorów 3) Iloczyn skalarny , gdy oba wektory nie są zerowe. , gdy co najmniej jeden wektor jest wektorem zerowym. Przykład: Obliczyć miarę kąta zawartego między między wektorami Rozwiązanie:

Twierdzenie: Przykład: Sprawdzić, że wektory: są prostopadłe. Rozwiązanie: 4) Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym wektora i wektora które nie są zerowe i nie są równoległe nazywamy wektor spełniający warunki a) długość wektora jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach i czyli b) wektor jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory i tzn. c) zwrot wektora jest taki, aby wektory tworzyły układ prawoskrętny Jeżeli wektor lub wektor jest wektorem zerowym lub to przyjmujemy

Uwaga: Mnożenie wektorowe nie jest przemienne Twierdzenie

Twierdzenie: 5) Iloczyn mieszany Iloczynem mieszanym wektorów nazywamy liczbę i oznaczamy Twierdzenie: leżą w jednej płaszczyźnie.

Równoległościan zbudowany na wektorach Czworościan zbudowany na wektorach

Przykład: Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach Rozwiązanie: Odp.

Przykład: Znaleźć objętość czworościanu o wierzchołkach Rozwiązanie: Odp.

Równanie płaszczyzny Wektor normalny płaszczyzny jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny, to znaczy jest wektorem prostopadłym do każdej prostej na niej leżącej Dane: Wektor normalny płaszczyzny Równanie ogólne płaszczyzny

Szczególne przypadki płaszczyzn płaszczyzna płaszczyzna płaszczyzna

Szczególne przypadki płaszczyzn

Szczególne przypadki płaszczyzn

Szczególne przypadki płaszczyzn

Przykład Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt i prostopadłej do wektora Rozwiązanie:

Przykład Napisać równanie płaszczyzny równoległej do wektorów i przechodzącej przez punkt Rozwiązanie: Szukamy Odp.:

Przykład Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty: Rozwiązanie: Szukamy Odp.:

II sposób leżą w jednej płaszczyźnie.

Równanie prostej Dane: wektor kierunkowy prostej Równanie parametryczne prostej

Przykład: Napisać równanie prostej równoległej do wektora i zawierającej punkt Rozwiązanie Przykład: Napisać równanie prostej prostopadłej do płaszczyzny i zawierającej punkt Rozwiązanie

Przykład: Napisać równanie prostej prostopadłej do prostych i zawierającej punkt Rozwiązanie szukamy wektora kierunkowego prostej

Można przyjąć

Zadanie . Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach (1) Znaleźć równanie płaszczyzny: a) przechodzącej przez punkt i równoległej do ściany b) zawierającej krawędź oraz równoległej do krawędzi c) prostopadłej do ściany i zawierającej krawędź (2) Napisać równanie prostej: a) zawierającej krawędź b) prostopadłej do ściany i zawierającej punkt

Zadanie Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach

(1) Znaleźć równanie płaszczyzny: a) przechodzącej przez punkt i równoległej do ściany Szukamy

(1) Znaleźć równanie płaszczyzny: b) zawierającej krawędź oraz równoległej do krawędzi Szukamy

(1) Znaleźć równanie płaszczyzny: c) prostopadłej do ściany i zawierającej krawędź Szukamy

(2) Napisać równanie prostej: a) zawierającej krawędź Szukamy:

(2) Napisać równanie prostej: b) prostopadłej do ściany i zawierającej punkt Szukamy:

Powierzchnie stopnia drugiego Przykład: Narysować zbiór punktów opisany równaniem: Rozwiązanie: zbiór pusty elipsa leżąca na płaszczyźnie

parabola paraboloida eliptyczna

elipsoida walec eliptyczny stożek eliptyczny paraboloida eliptyczna hiperboloida dwupowłokowa paraboloida hiperboliczna

Przesunięcie

Przykład. Rozpoznać i narysować powierzchnię Rozwiązanie walec eliptyczny