Wycena przedsiębiorstwa dr Monika Mościbrodzka

PROGNOZowanie dr Monika Mościbrodzka

Prognozowanie „Prognozą statystyczną nazywać będziemy każdy sąd, którego prawdziwość jest zdarzeniem losowym, przy czym prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest znane i wystarczająco duże do celów praktycznych” Z. Hellwig, Zarys ekonometrii

Rodzaje prognoz Podział ważny z punktu widzenia formułowania hipotez: prognoza ilościowa – wyrażona liczbą; prognoza jakościowa – dotyczy zmiennych jakościowych lub słownego opisu zmiennej ilościowej.

Rodzaje prognoz Prognozy można również podzielić na: prognozę krótkookresową – prognoza na okres, w którym zachodzą tylko zmiany ilościowe; prognozę średniookresową – prognoza na taki przedział czasowy, w którym obserwuje się nie tylko zmiany ilościowe, ale też pojawiają się zmiany jakościowe; prognozę długookresową – prognoza na czas, kiedy to obserwuje się zarówno zmiany ilościowe jak i znaczące zmiany jakościowe.

Rodzaje prognoz Przyjmuje się, że tworzenie prognozy jest tym bardziej słuszne, im : krótszy jest okres czasu, na jaki wyznaczana jest prognoza; czynniki takie jak postęp techniczny, ekonomiczny czy organizacyjny mniej oddziałują na prognozowane zjawisko; wielkości obserwowane są mało czułe na decyzje strategiczne;

Rodzaje prognoz Do metod opisywania przeszłości, prowadzących do otrzymaniu modelu do prognozowania należą : metoda średniej ruchomej; metoda wygładzania wykładniczego; analityczne i adaptacyjne modele tendencji rozwojowej; modele składowej periodycznej; modele autoregresyjne; łańcuchy Markowa.

Szeregi czasowe Dane charakteryzujące rozwój zjawisk gospodarczych lub społecznych są odnotowywane i gromadzone wraz z upływem czasu, tworząc ciągi liczbowe określane mianem szeregów czasowych. Szereg czasowy to uporządkowany zbiór obserwacji statystycznych (zbiór stanów zmiennych), charakteryzujących zmiany poziomu określonego zjawiska w czasie.

Modele z czasem Do składowych części szeregu czasowego zaliczamy składniki systematyczne oraz przypadkowe, zwane inaczej składnikami losowymi lub wahaniami przypadkowymi. Składowe systematyczne są efektem oddziaływania na zmienną prognozowaną stałego zestawu czynników i mogą występować w postaci tendencji rozwojowej, wahań okresowych (sezonowych lub cyklicznych) albo mogą mieć stały przeciętny poziom.

Modele z czasem W klasycznej analizie rozwoju zjawiska w czasie zakłada się, że poziom badanego zjawiska (Yt) jest funkcją następujących składników: Tt – trendu, Ct – wahań cyklicznych, St – wahań sezonowych, It – wahań przypadkowych

Modele z czasem Składowe te mogą mieć charakter zjawiska systematycznego lub ich występowanie może być dziełem przypadku. Dlatego też składowe szeregu czasowego dzielimy na dwie podstawowe grupy: składowe o charakterze systematycznym składowe przypadkowe. Składowe o charakterze systematycznym to: trend, stały poziom oraz składowe okresowe, które mogą mieć charakter sezonowy lub cykliczny. Składowe przypadkowe charakteryzują działanie czynników o charakterze losowym i są nieprzewidywalne co do siły oraz kierunku.

Modele z czasem W szeregach czasowych mogą występować obserwacje istotnie odbiegające od pozostałych obserwacji w szeregu. Są to wartości nietypowe dla danego zjawiska, spowodowane różnego rodzaju zaburzeniami w jego przebiegu. Występowanie obserwacji nietypowych może prowadzić do zniekształcenia wyników analizy szeregu czasowego, dlatego też w uzasadnionych przypadkach można je zastąpić np. średnią arytmetyczną obserwacji sąsiednich. Należy jednak zwrócić uwagę na przyczyny występowania wartości odstających w szeregu, ponieważ mogą one obrazować ważne wydarzenia ekonomiczne mające znaczący wpływ w przebiegu całego szeregu czasowego. Tak więc fakt występowania wartości odstających powinien być dokładnie zbadany jeszcze przed rozpoczęciem analizy statystycznej. Podczas analizy wykresu szeregu czasowego można również dostrzec punkty zwrotne, w których następuje zmiana kierunku trendu lub zmiana tempa zmian wartości zmiennej.

Wyodrębnianie składowych szeregu czasowego W celu wyodrębnienia składowych szeregu należy przeprowadzić jego dekompozycję. Dekompozycja szeregu czasowego jest metodą statystyczną umożliwiającą wyodrębnienie poszczególnych składowych w modelu szeregu czasowego. Wstępna identyfikacja poszczególnych składowych możliwa jest również za pomocą analizy kształtu i przebiegu wykresu szeregu.

2/21/2019

Wyodrębnianie składowych szeregu czasowego W szeregu czasowym nie wszystkie składniki muszą występować równocześnie. Istnieją szeregi czasowe, w których nie występuje sezonowość ani cykliczność. Wówczas buduje się modele o odpowiedniej liczbie składników.

Stacjonarność szeregu czasowego Przez stacjonarność rozumieć będziemy własność procesu 𝑦 𝑡 polegająca na tym, że rozkład tego procesu jest stały w czasie, tzn. Stała w czasie wartość oczekiwana 𝑦 𝑡 (stały poziom wartości bez tendencji rozwojowej) Stała w czasie wariancja 𝑦 𝑡 (odchylenia od średniej stałe w czasie)- nie jest nieskończona

STACJONARNOŚĆ Niestacjonarności powinno się szukać: w poziomach (niestacjonarność ze względu na średnią) w zmienności szeregu (niestacjonarność ze względu na wariancję).

STACJONARNOŚĆ Szeregi niestacjonarne za względu na wartość oczekiwaną charakteryzują się bardziej lub mniej regularnymi tendencjami do jednokierunkowych zmian, czyli charakteryzuje je obecność trendu. Szeregi niestacjonarne ze względu na wariancję cechuje duża zmienność oscylacji. Zmiany gwałtowne (o dużej wariancji) mogą poprzedzać i być poprzedzone okresami spokojnego przebiegu (o małej zmienności). W innym przypadku wariancja szeregu może rosnąć w okresie bieżącym pod wpływem zmian z okresów poprzednich, co powoduje, że pojedyncze szoki mogą mieć długotrwały wpływ na kształtowanie się szeregu.

Stacjonarność szeregu czasowego Szeregi niestacjonarne ze względu na wartość oczekiwaną

Stacjonarność szeregu czasowego Szeregi niestacjonarne ze względu na wariancję

STACJONARNOŚĆ Szeregi stacjonarne występują jednak wśród zmiennych ekonomicznych w zdecydowanej mniejszości:

Metody prognozowania na podstawie szeregów czasowych W szeregach czasowych wyróżnia się składową systematyczną oraz składową przypadkową. Gdy w szeregu czasowym występuje składowa systematyczna w postaci stałego poziomu i wahania przypadkowe, to do prognozy używa się zwykle: Metody naiwnej; Metody średniej ruchomej prostej lub ważonej; Prostego modelu wygładzania wykładniczego. Metody te pozwalają na wyznaczenie prognozy tylko na jeden okres

Metoda naiwna Metodę naiwną warto stosować tylko przy niewielkich wahaniach przypadkowych. O sile tych wahań informuje wielkość współczynnika zmienności badanego szeregu czasowego: 𝑉= 𝑠 𝑥 ∙100% W metodzie tej konstruuje się prognozę zmiennej na moment 𝑡 na poziomie obserwowanej wartości tej zmiennej w momencie 𝑡−1

Metoda naiwna Przykład: Wielkość sprzedaży (w tys.) pewnego przedsiębiorstwa w kolejnych kwartałach lat 2015-2017: 105 112 108 99 102 100 108 104 98 103 108 102 Czy do prognozowania sprzedaży na I kwartał roku 2018 można wykorzystać metodę naiwną? Jeżeli można, to wyznacz ją Oceń trafność prognozy jeśli wiadomo, że wielkość sprzedaży w tym okresie wyniosła 107 tys.

2/21/2019

Metoda naiwna Do oceny siły wahań przypadkowych zastosowano współczynnik zmienności. 𝑦 =104,08 𝑠=4,25 Wobec tego: 𝑉= 4,25 104,08 ∙100%=4,08% Wyznaczamy prognozę: 𝑦 13 ∗ = 𝑦 12 =102

Metoda naiwna Do oceny trafności sprzedaży można wykorzystać względny błąd ex post: Ψ 𝑡 = |𝑦 𝑡 − 𝑦 𝑡 ∗ | 𝑦 𝑡 ∙100% Przyjmijmy, że prognozę uznaje się za trafną, jeśli jej błąd ex post nie przekroczy 5%: Ψ 13 = |107−102| 107 ∙100%=4,67%

Metoda średniej ruchomej prostej lub ważonej W prognostycznym modelu średniej ruchomej przyjmuje się, że prognoza zmiennej na moment 𝑡 jest : średnią arytmetyczną ( w przypadku średniej ruchomej prostej): 𝑦 𝑡 ∗ = 1 𝑘 𝑖=𝑡−𝑘 𝑡−1 𝑦 𝑖 średnią ważoną ( w przypadku średniej ruchomej ważonej) 𝑦 𝑡 ∗ = 𝑖=𝑡−𝑘 𝑡−1 𝑦 𝑖 ∙ 𝑤 𝑖 z 𝑘 ostatnich obserwacji w szeregu. W metodzie średniej ruchomej ważonej wagi ( 𝑤 𝑖 )poszczególnych obserwacji nadaje prognosta. Wagi powinny być z przedziału (0,1) a ich suma powinna być równa 1.

Metoda średniej ruchomej prostej lub ważonej Przykład: Wielkość sprzedaży (w tys.) pewnego przedsiębiorstwa w kolejnych kwartałach lat 2015-2017: 105 112 108 99 102 100 108 104 98 103 108 102 Wyznacz prognozę sprzedaży w tym przedsiębiorstwie na I kwartał roku 2018 stosując następujące modele prognostyczne: 3-elementową średnią ruchomą, 5-elementową średnią ruchomą, 3-elementową średnią ruchomą z wagami 0,2; 0,35; 0,45. Który z wyżej wymienionych modeli należałoby zarekomendować kierownictwu przedsiębiorstwa?

𝑉= 4,25 104,08 ∙100%=4,08% 2/21/2019

Dla modelu średniej ruchomej dla trzech okresów: sprzedaż prognoza błąd 𝜳 𝒕 = |𝒚 𝒕 − 𝒚 𝒕 ∗ | 𝒚 𝒕 ∙𝟏𝟎𝟎% 1 105 - 2 112 3 108 4 99 1 3 ∙ 105+112+108 =108,33 |99−108,33| 99 ∙100=9,43 5 102 106,33 4,25 6 100 103,00 3,00 7 100,33 7,10 8 104 103,33 0,64 9 98 104,00 6,12 10 103 0,32 11 101,67 5,86 12 0,98 13   104,33 suma 37,71 Dla modelu średniej ruchomej dla trzech okresów: Błąd prognozy 𝜳 𝟑−𝒆𝒍 = 1 9 ∙37,71=4,19%

Dla modelu średniej ruchomej dla pięciu okresów: t sprzedaż prognoza błąd 𝜳 𝒕 = |𝒚 𝒕 − 𝒚 𝒕 ∗ | 𝒚 𝒕 ∙𝟏𝟎𝟎% 1 105 - 2 112 3 108 4 99 5 102 6 100 1 5 ∙ 105+112+108+99+102 = 105,20 |100−105,20| 100 ∙100=5,20 7 104,20 3,52 8 104 103,40 0,58 9 98 102,60 4,69 10 103 102,40 11 5,00 12 2,16 13   103,00 suma 21,73 Dla modelu średniej ruchomej dla pięciu okresów: Błąd prognozy 𝜳 𝟓−𝒆𝒍 = 1 7 ∙21,73=3,10%

Dla modelu średniej ruchomej ważonej dla trzech okresów: sprzedaż prognoza błąd 𝜳 𝒕 = |𝒚 𝒕 − 𝒚 𝒕 ∗ | 𝒚 𝒕 ∙𝟏𝟎𝟎% 1 105 - 2 112 3 108 4 99 105∙0,2+112∙0,35+108∙0,45 =108,80 9,90 5 102 104,75 2,70 6 100 102,15 2,15 7 100,50 6,94 8 104 104,00 0,00 9 98 104,60 6,73 10 103 102,10 0,87 11 101,45 6,06 12 104,25 2,21 13   104,30 suma 37,57 Dla modelu średniej ruchomej ważonej dla trzech okresów: Błąd prognozy 𝜳 𝟑−𝒆𝒍 = 1 9 ∙37,57=3,57%

Prosty model wygładzania wykładniczego W modelu tym prognoza zmiennej na moment 𝑡 równa jest prognozie tej zmiennej na moment 𝑡−1 skorygowanej o iloczyn parametru wygładzania α i wartości jej bezwzględnego błędu ex post: 𝑦 𝑡 ∗ =𝛼∙ 𝑦 𝑡−1 +(1−𝛼)∙ 𝑦 𝑡−1 ∗ Parametr α wybiera się na podstawie kryterium najmniejszego błędu ex post (Solver) prognoz wygasłych. W przypadku prostego modelu wygładzania wykładniczego niezbędne jest ustalenie wartości początkowej 𝑦 1 ∗ . Zwykle przyjmuje się ją jako pierwszą wartość rzeczywistą zmiennej, czyli 𝑦 1 lub średnią arytmetyczną rzeczywistych wartości tej zmiennej z próbki wstępnej.

Metoda średniej ruchomej prostej lub ważonej Przykład: Wielkość sprzedaży (w tys.) pewnego przedsiębiorstwa w kolejnych kwartałach lat 2015-2017: 105 112 108 99 102 100 108 104 98 103 108 102 Wyznacz prognozę sprzedaży w tym przedsiębiorstwie na I kwartał roku 2018 stosując prosty model wygładzania wykładniczego.

Dla modelu wygładzania wykładniczego t sprzedaż prognoza błąd 𝜳 𝒕 = |𝒚 𝒕 − 𝒚 𝒕 ∗ | 𝒚 𝒕 ∙𝟏𝟎𝟎% 1 105 1 3 ∙ 105+112+108 =108,33 3,17 2 112 0,5∙105+0,5∙108,33=106,67 4,76 3 108 109,33 1,23 4 99 108,67 9,76 5 102 103,83 1,80 6 100 102,92 2,92 7 101,46 6,06 8 104 104,73 0,70 9 98 104,36 6,49 10 103 101,18 1,76 11 102,09 5,47 12 105,05 2,99 13   103,52 - suma 37,57 Dla modelu wygładzania wykładniczego Błąd prognozy 𝜳 𝟏𝟑 = 1 12 ∙37,95=3,93% alfa= 0,5 𝑦 𝑡 ∗ =𝛼∙ 𝑦 𝑡−1 +(1−𝛼)∙ 𝑦 𝑡−1 ∗

Jak zminimalizować błąd prognozy? Jakie alfa wybrać, aby był najmniejszy? 2/21/2019

2/21/2019

Najmniejszy błąd będzie na poziomie 3,73% jeśli przyjmiemy, że alfa=0,248203 2/21/2019

Modele adaptacyjne Modele adaptacyjne służą do prognozowania zmiennych, których szeregi czasowe charakteryzują się tendencją rozwojową i wahaniami przypadkowymi.

Model liniowy holta Do opisu tendencji rozwojowej stosuje się dwurównaniowy wielomian pierwszego stopnia. Ze względu na obecność aż dwóch parametrów, model ten cechuje duża elastyczność. I równanie stosuje się do wyznaczania wygładzonych wartości szeregu czasowego w momencie lub okresie 𝑡−1: 𝑭 𝒕−𝟏 =𝜶∙ 𝒚 𝒕−𝟏 +(𝟏−𝜶)∙ 𝑭 𝒕−𝟐 + 𝑺 𝒕−𝟐 II równanie służy do wyznaczania wygładzonych wartości przyrostu trendu w momencie lub okresie 𝑡−1: 𝑺 𝒕−𝟏 =𝜷∙ 𝑭 𝒕−𝟏 − 𝑭 𝒕−𝟐 +(𝟏−𝜷)∙ 𝑺 𝒕−𝟐 gdzie: α,β∈〈0,1〉 – parametry wygładzenia modelu, F(t-1)– wygładzona wartość zmiennej prognozowanej w momencie lub okresie t – 1, S (t-1) – wygładzona wartość przyrostu trendu w momencie lub okresie t – 1,

Model liniowy holta Parametry odpowiadają za stopień wygładzenia modelu. Ich wartości dobiera się na podstawie kryterium najmniejszego średniego błędu ex post prognoz wygasłych. Prognozę zmiennej Y w momencie lub okresie T, otrzymuje się przez dodanie do wartości wygładzonej w momencie lub okresie 𝑡 = 𝑛 ( 𝐹 𝑛 )wielokrotności (𝑇 – 𝑛) wygładzonej wartości przyrostu trendu w momencie lub okresie 𝑡 = 𝑛 ( 𝑆 𝑛 ) : 𝒚 𝑻 ∗ = 𝑭 𝒏 + 𝑻−𝒏 ∙ 𝑺 𝒏 𝑻>𝒏 gdzie: 𝑦 𝑇 ∗ - prognoza zmiennej 𝑌 wyznaczona w momencie lub na okres 𝑇, 𝐹 𝑛 – wygładzona wartość zmiennej prognozowanej w momencie lub na okres 𝑛, 𝑆 𝑛 – wygładzona wartość przyrostu trendu w momencie lub na okres 𝑛, 𝑛 – liczba wyrazów szeregu czasowego zmiennej prognozowanej

Model liniowy holta Do budowy modelu Holta niezbędne są dane F1 i S1, co może być problematyczne. Jedną z możliwości określenia ich wartości jest przyjęcie za F1 pierwszej wartości zmiennej prognozowanej, czyli y1 (wyraz wolny), a za S1 różnicy y2 – y1 (współczynnik kierunkowy funkcji trendu

Model liniowy holta Do oceny dopuszczalności prognoz można posłużyć się błędami prognoz wygasłych. Jednym z tego typu błędów jest pierwiastek średniego błędu ex post prognoz wygasłych, który obliczany jest za pomocą wzoru: 𝑠 ∗ = 1 𝑛 ∙ 𝑖=𝑘 𝑁 𝑦 𝑡 − 𝑦 𝑡 ∗ 2 gdzie 𝑠 ∗ − pierwiastek średniego błędu ex post prognoz wygasłych, 𝑛-liczba prognozowanych wartości y na podstawie historycznych danych 𝑁-liczba obserwacji, oraz 𝑘=𝑁−𝑛+1

Przykład Wartość usług (w tys. zł) w cenach stałych w kolejnych kwartałach lat 2014-2016 i trzech pierwszych kwartałach 2017 roku: 37 41 40 41 45 42 46 48 47 53 58 67 79 85 88 Wyznacz prognozę na kolejny kwartał roku 2017 Oceń dopuszczalność prognozy

2/21/2019

Obliczenia pomocnicze Wartość usług (w tys. zł) w cenach stałych w kolejnych kwartałach lat 2014-2016 i trzech pierwszych kwartałach 2017 roku: 37 41 40 41 45 42 46 48 47 53 58 67 79 85 88 Przyjęto następujące wartości pomocnicze: 𝐹 1 = 𝑦 1 =37 𝑆 1 = 𝑦 2 −𝑦 1 =41−37=4 Pierwsze obliczenia rozpoczęto dla dowolnych wartości alfa oraz beta: 𝛼=0,4 β=0,8 Wówczas: 𝐹 2 =0,4∙41+ 1−0,4 ∙ 37+4 =41 𝑆 2 =0,8∙(41−37)+ 1−0,8 ∙4=4 𝐹 𝑡−1 =𝛼∙ 𝑦 𝑡−1 +(1−𝛼)∙ 𝐹 𝑡−2 + 𝑆 𝑡−2 𝑆 𝑡−1 =𝛽∙ 𝐹 𝑡−1 − 𝐹 𝑡−2 +(1−𝛽)∙ 𝑆 𝑡−2

Lp wartość Ft St y*=Ft-1+St-1 (yt-yt*)2 100,38 37 4 - 2 41 41,00 4,00 3 40 43,00 2,40 45,00 25,00 43,64 0,99 45,40 19,36 5 45 44,78 1,11 44,63 0,14 6 42 44,33 -0,13 45,89 15,12 7 46 44,92 0,44 44,20 3,24 8 48 46,42 1,29 45,36 6,96 9 47 47,42 1,06 47,70 0,49 10 53 50,29 2,51 48,48 20,40 11 58 54,88 4,17 52,80 27,08 12 67 62,23 6,72 59,05 63,21 13 79 72,97 9,93 68,95 101,09 14 85 83,74 10,61 82,90 4,41 15 88 91,81 8,57 94,35 40,27 16 100,38 suma 326,77 alfa= 0,4 beta= 0,8 błąd prognoz wygasłych 5,01 błąd względny 4,99% 2/21/2019

2/21/2019

2/21/2019

2/21/2019

EXcel Zadanie 1. Sprzedaż pewnego przedsiębiorstwa (w tys. zł) w poszczególnych miesiącach roku 2017 kształtowała się następująco: 64,5 65,2 65,3 67,5 65,5 64,7 66,9 64,0 65,9 63,2 65,4 64,1 Określ składowe szeregu czasowego; Wyznacz prognozę sprzedaży na styczeń 2018 roku. Wybór uzasadnij Oceń trafność prognozy wiedząc, że rzeczywista wartość sprzedaży w styczniu 2018 roku wyniosła 65,8 tys. zł

EXcel Zadanie 2. Sprzedaż multimedialnych programów do nauki języka obcego (w szt.) w pewnej księgarni od stycznia do grudnia 2017 roku kształtowała się: 64 63 64 65 63 64 65 62 62 67 62 64 Stosując średnią ruchomą 3 –elementową, wyznacz prognozy wygasłe sprzedaży od października do grudnia 2017 roku Stosując średnią ruchomą 5-elementową, wyznacz prognozy wygasłe sprzedaży od października do grudnia 2017 roku Wybrać jedną z powyższych metod, korzystając z kryterium średniego względnego błędu ex-post wyznaczonych prognoz wygasłych Wyznacz prognozę sprzedaży na styczeń 2018 roku wybraną metodą. Czy prognozę tę można uważać za dopuszczalną?

EXcel Zadanie 3. Wartość sprzedaży ( w mln. zł) w poszczególnych kwartałach lat 2013-2016 kształtowała się następująco: 45 53 62 64 64 68 65 68 67 66 70 70 71 77 83 89 Wyznacz prognozę wartości sprzedaży na I kwartał 2017 roku. Oceń dopuszczalność prognozy. Uzasadnij wybór modelu prognostycznego