Zmienne losowe skokowe W pudełku znajduje się pięć kulek czarnych, trzy żółte, trzy zielone i cztery niebieskie. Losujemy kulkę dwa razy ze zwracaniem. Za każdą wylosowaną kulkę niebieską otrzymujemy 10 zł, za każdą żółtą 3 zł, za każdą zieloną 0 zł, a za każdą czarną tracimy 6 zł. X oznacza kwotę wygranej. Znajdź rozkład prawdopodobieństwa X Oblicz wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe Znajdź dystrybuantę X

Rozkład dwumianowy Parametry: n = liczba niezależnych powtórzeń, p = prawdopodobieństwo sukcesu X = liczba sukcesów w n powtórzeniach x = 0,1,2,3,…,n 𝑛 𝑥 = 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑃 𝑋=𝑥 = 𝑛 𝑥 𝑝 𝑥 (1−𝑝) 𝑛−𝑥 𝐸 𝑋 =𝑛𝑝 Var 𝑋 =𝑛𝑝(1−𝑝)

Rozkład dwumianowy Dla obciążonej monety prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi 0,64. Rzucamy monetą 852 razy. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 505 orłów. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania mniej niż 550 orłów. Oblicz wartość oczekiwaną liczby orłów.

Rozkład Poissona Parametry: λ X = liczba zaobserwowanych zdarzeń w danym okresie czasu x = 0,1,2,3,… 𝑃 𝑋=𝑥 = 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑥 𝑥! 𝐸 𝑋 =𝜆 Var 𝑋 =𝜆

Rozkład Poissona Liczba wypadków na obwodnicy Trójmiasta w ciągu jednego miesiąca ma rozkład Poissona ze średnią równą 40. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu miesiąca będą miały miejsce 33 wypadki. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu miesiące będzie miało miejsce ponad 55 wypadków. Oblicz odchylenie standardowe liczby wypadków w ciągu miesiąca.

Rozkład ujemny dwumianowy Parametry: p = prawdopodobieństwo sukcesu r = wymagana liczba sukcesów X = liczba powtórzeń potrzebnych do uzyskania r sukcesów x = r,r+1,r+2,r+3,… 𝑃 𝑋=𝑥 = 𝑥−1 𝑟−1 𝑝 𝑟 (1−𝑝) 𝑥−𝑟 𝐸 𝑋 = 𝑟 𝑝 Var 𝑋 = 𝑟(1−𝑝) 𝑝 2

Rozkład ujemny dwumianowy Dla obciążonej monety prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi 0,64. Oblicz prawdopodobieństwo że orzeł numer 200 wypadnie w 404 rzucie. Oblicz prawdopodobieństwo że do otrzymania orła numer 200 będziemy potrzebować mniej niż 400 rzutów. Oblicz wartość oczekiwaną rzutów potrzebnych do otrzymania 200 orłów.

Rozkład hipergeometryczny Parametry: N = liczba wszystkich elementów M = liczba elementów typu I (wyróżnionych) n = wielkość próby (losowanej bez zwracania) X = liczba elementów typu I w próbie x = 0,…,n gdzie n-(N-M) ≤ x ≤ min(n,M) 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑀 𝑁 𝑃 𝑋=𝑥 = 𝑀 𝑥 𝑁−𝑀 𝑛−𝑥 𝑁 𝑛 Var 𝑋 = 𝑛𝑀 𝑁 (𝑛−1)(𝑀−1) 𝑁−1 +1− 𝑛𝑀 𝑁

Rozkład hipergeometryczny W kapeluszu znajduje się 85 kulek, w tym 44 czerwone i 41 niebieskich. Losujemy 20 kulek. 1 Oblicz prawdopodobieństwo, że w próbie znajdzie się 8 kulek czerwonych. 2 Oblicz prawdopodobieństwo, że wszystkie kulki w próbie będą czerwone. 3 Znajdź wartość oczekiwaną liczby czerwonych kulek w próbie.

Rozkład normalny Parametry μ - wartość oczekiwana σ - odchylenie standardowe f 𝑥 = 1 2𝜋 𝜎 𝑒 −(𝑥−𝜇) 2 2 𝜎 2 𝑥∈ℝ 𝑍= 𝑋−𝜇 𝜎

Rozkład normalny Objętość wina w butelce ma rozkład normalny o średniej równej 1000 ml i wariancji równej 80 ml. Oblicz prawdopodobieństwo, że objętość wina będzie: Mniejsza niż 990 ml Większa niż 1001 ml Od 1002 do 1008 ml

Rozkład log-normalny X ma rozkład log-normalny o parametrach μ i σ jeżeli zmienna Y = lnX ma rozkład normalny o parametrach μ i σ. f 𝑥 = 1 2𝜋 𝜎𝑥 𝑒 −(𝑙𝑛𝑥−𝜇) 2 2 𝜎 2 𝑥>0 E X = 𝑒 𝜇+ 𝜎 2 2 Var X =( 𝑒 𝜎 2 −1) 𝑒 2𝜇+ 𝜎 2

Rozkład log-normalny Wynagrodzenie w pewnym przedsiębiorstwie ma rozkład log-normalny o parametrach 3,6 i 3. Oblicz prawdopodobieństwo, iż losowo wybrana osoba otrzymuje wynagrodzenie: Niższe niż 2000 zł Wyższe niż 4000 zł

Rozkład Beta 𝐵 𝛼,𝛽 = 0 1 𝑡 𝛼−1 (1−𝑡) 𝛽−1 𝑑𝑡 Funkcja Beta Rozkład Beta 𝐵 𝛼,𝛽 = 0 1 𝑡 𝛼−1 (1−𝑡) 𝛽−1 𝑑𝑡 Parametry α > 0 β > 0 f 𝑥 = 𝑥 𝛼−1 (1−𝑥) 𝛽−1 𝐵(𝛼,𝛽) 0<𝑥<1 𝐸(𝑋)= 𝛼 𝛼+𝛽 𝑉𝑎𝑟(𝑋)= 𝛼𝛽 𝛼+𝛽 2 (𝛼+𝛽+1)

Rozkład Beta Ułamek strzelonych rzutów karnych ma rozkład Beta o parametrach α = 70 i β = 20. Oblicz średni procent strzelonych rzutów karnych. Oblicz prawdopodobieństwo, że piłkarz strzeli mniej niż 70% rzutów karnych

Rozkład Gamma Γ 𝛼 = 0 ∞ 𝑡 𝛼−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 Parametry α > 0 β > 0 Funkcja Gamma Γ 𝛼 = 0 ∞ 𝑡 𝛼−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 Parametry α > 0 β > 0 f 𝑥 = 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) 𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝛽𝑥 𝑥>0 𝐸(𝑋)= 𝛼 𝛽 𝑉𝑎𝑟(𝑋)= 𝛼 𝛽 2

Rozkład Weibulla F 𝑥 =1− 𝑒 − 𝑥 𝜆 𝑘 Parametry k > 0 λ > 0 𝑥≥0 𝐸(𝑋)=𝜆Γ(1+ 1 𝑘 ) 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜆 2 Γ 1+ 2 𝑘 − 𝐸(𝑋) 2

Wielkość szkody (zł) Prawdopodobieństwo Rozkład Gamma (1;1700) Rozkład Weibulla (1,4;1900) 0-500 500-1000 1000-1500 1500-2000 2000-2500 2500-3000 3000-3500 3500-4000 4000-4500 4500-5000 5000-6000 6000-7000 7000-8000