Teoria chaosu

Nieliniowość Wrażliwość na warunki początkowe (efekt motyla) Bifurkacje Dziwne atraktory Fraktale Samopodobieństwo Samoorganizacja materii

„[…] Tam, gdzie zaczyna się chaos, kończy się klasyczna nauka” (Gleick, Chaos, s. 11) „Teoria chaosu nie tylko wywarła ogromny wpływ na nauki szczegółowe, lecz także w zasadniczy sposób zmieniła nasze filozoficzne poglądy dotyczące możliwości poznawczych nauki, stosowanych w niej metod i wypływającego z niej obrazu świata” (Tempczyk, Teoria chaosu a filozofia, s. 7) Problem uporządkowania i poznawalności świata Trzecia wielka rewolucja naukowa w XX w. [obok mechaniki kwantowej i teorii względności ? – A. Ł] Teoria chaosu nie dotyczy jednej dyscypliny, lecz ma charakter uniwersalny Nowe narzędzia matematyczne do badania zjawisk nieregularnych

Chaos z porządku Liniowa mechanika klasyczna – deterministyczny (różniczkowy) opis dynamiki układu umożliwia przewidywanie zjawisk (por. demon Laplace’a) Układy nieliniowe – ich zachowanie może być nieprzewidywalne pomimo deterministycznego charakteru równań opisujących dynamikę układu "Chaos deterministyczny" – „Stochastyczne zachowanie się w układzie deterministycznym" [Stewart, 1995, s. 23] Proste układy równań różniczkowych nieliniowych mogą prowadzić do niesłychanie bogatej i skomplikowanej dynamiki układu. Równania różniczkowe są deterministyczne - jednoznacznie określają zachowanie się układu w chwili dowolnie mało odległej od chwili początkowej. Nieliniowość powoduje jednak, że trajektorie punktów odległych w chwili początkowej o dowolnie małą wartość po odpowiednio długim czasie rozbiegają się. Błąd w określeniu warunków początkowych ulega wykładniczemu wzmocnieniu i przewidywanie staje się niemożliwe. Z porządku rodzi się chaos.

Porządek z chaosu Chaos deterministyczny ma drugi aspekt - z chaosu powstaje porządek. Dla wielu procesów fizycznych istnieją atraktory - pewne obszary przestrzeni fazowej, do których "przyciągane są" trajektorie punktów niezależnie od tego, jakie były ich warunki początkowe. Porządek ten jest bardzo specyficzny: nie jest to ani stan śmierci cieplnej wszechświata, do którego - zgodnie z drugą zasadą termodynamiki zmierza każdy proces, nie jest to również ruch periodyczny - powtarzająca się co jakiś czas konfiguracja układu. Ruch aperiodyczny, uporządkowany i nieprzewidywalny. Lokalny nieporządek prowadzi, niejako na wyższym poziomie, do całościowego samo-organizowania się materii: w porządku ukryty jest nieporządek, a z nieporządku może się zrodzić porządek i harmonia [...] nie ma ścisłej granicy między porządkiem i chaosem [Tempczyk, 1995, s. 37].

Nowa matematyka i nowe spojrzenie na zjawiska - wydawać by się mogło dobrze znane i nie mogące kryć już w sobie nic nowego i zaskakującego, jak ruch wahadła, czy też proste matematycznie odwzorowanie logistyczne. Prostota i liniowość równań różniczkowych opisujących rozmaite procesy przyrody nie jest, ja sądziła nauka klasyczna, faktem o fundamentalnym znaczeniu, ale jest czymś bardzo rzadkim i wyjątkowym.

W 1887 r. król Szwecji Oskar II wyznaczył nagrodę 2 500 koron za rozwiązanie problemu, czy Układ Słoneczny jest stabilny, tzn. czy planety będą się zawsze poruszać po określonych torach, czy też np. Ziemia spadnie kiedyś na Słońce albo ucieknie w nieskończoność [Stewart, 1995, s. 72]. Ruch dwóch ciał oddziałujących grawitacyjnie jest dobrze znany: Ziemia i Słońce poruszają się wokół wspólnego środka masy i ruch ten jest okresowy. Zatem Ziemia nie może spaść na Słońce albo uciec do nieskończoności, bo nie są to rozwiązania, które mogą się powtarzać. Wiadomo, że problem trzech ciał w mechanice klasycznej jest niecałkowalny.

Problem trzech ciał Zagadnienie stabilności Układu Słonecznego) Zredukowany problem Hilla – ruch ciała o znikomo małej masie m w polu grawitacyjnym dwóch ciał Henri Poincare, Problem trzech ciał i równania dynamiki (1890) Plątanina homokliniczna Skomplikowana dynamika w prostym układzie – pierwsze odkrycie chaosu

Efekt motyla Eduard Lorenz (meteorolog pracujący w Massachussets Institute of Technology) – prognozowanie pogody przy użyciu komputera (Royal McBee LGP-300) Układ trzech nieliniowych równań różniczkowych modelujących zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze: dx/dt = 10(y – x), dy/dt = – xz + 28x – y, dz/dt = xy – 8/3z x – proporcjonalne do prędkości kołowego ruchu komórek konwekcyjnych z – opisuje zmianę temperatury cieczy w przekroju poziomym y – podaje różnicę temperatur między komórkami wznoszącymi się i opadającymi 1961 – odkrycie wrażliwości układów nieliniowych na warunki początkowe: małe różnice w danych początkowych szybko prowadzą do bardzo dużych różnic w trajektoriach układów Deterministic Nonperiodic Flow, "Journal of the Atmospheric Sesies", 20 (1963) – początek nowej nauki o chaosie

Komórki Benarda  

Lorenz: w pamięci komputera zapisane były liczby z dokładnością do 6 miejsc po przecinku Na wydruku: z dokładnością do 3 miejsc po przecinku Powtórzenie obliczeń z użyciem danych obliczonych przez komputer w połowie cyklu powinno (?) prowadzić do podobnych obliczeń… ale nie prowadziło Zapisane w pamięci komputera: 0,506127 Wprowadzone (z wydruku): 0,506 Zgodnie z klasycznym sposobem myślenia niewielka różnica 0,000127 nie powinna mieć istotnego wpływu na dalsze obliczenia (liniowość) Jednak (w układach nieliniowych) trajektoria układu bardzo silnie zależy od warunków początkowych (niestabilność układu, wrażliwość na warunki początkowe)

Układy nieliniowe (równania różniczkowe opisujące dynamikę układów mają charakter nieliniowy) wykazują silną wrażliwość na warunki początkowe – bardzo drobne różnice trajektorii początkowych w krótkim czasie prowadzą do bardzo dużych różnic trajektorii końcowych – następuje wykładnicze rozbieganie się trajektorii. Zachowanie takiego układu szybko staje się nieprzewidywalne pomimo deterministycznego (różniczkowego) opisu dynamiki układu (np. zjawiska pogodowe).

Dziwny atraktor Lorenza Przestrzeń fazowa (p, q) W klasycznej dynamice liniowej atraktorem może być cykl graniczny lub punkt (stan śmieci cieplnej) W dziwnym atraktorze trajektorie „przyciągane” są do niewielkiego obszaru przestrzeni fazowej niezależnie od warunków początkowych (trajektorie nie przecinają się) Dziwny atraktor ma strukturę fraktalną W dłuższych okresach z chaosu rodzi się porządek Pojawienie się atraktora jest nieprzewidywalne http://smihica.github.io/arc-js/demo_at.html

Atraktory w teorii klasycznej

Odwzorowanie logistyczne xn+1 = k xn (1 - xn) 0 < k < 4, odwzorowanie przekształca odcinek [0, 1] w siebie 1845 r. P.I. Verhulst - symulacja wzrostu populacji w ograniczonym środowisku. W postaci dyskretnej: liczba osobników xn+1 w kolejnym roku n+1 jest proporcjonalna do ich liczby w roku poprzednim xn, człon (1-xn) - reprezentuje ograniczający wpływ środowiska np. cykl drapieżca-ofiara, konta bankowe z samoograniczającym się oprocentowaniem itp. Odwzorowanie logistyczne zależy od r i przy dużych wartościach r (ale r<4) staje się chaotyczne. "Scenariusz Feigenbauma dochodzenia do chaosu" jest uniwersalny dla wszystkich odwzorowań nieliniowych mających pojedyncze maksimum na odcinku [0,1].

Bifurkacje po przekroczeniu wartości k=3, populacja zaczyna oscylować pomiędzy dwoma wielkościami, następuje pierwsze podwojenie okresu. przy wielkości k=3,5 poziom równowagi rozszczepia się na 4, przy k=3,56 okres znów się podwaja wynosząc 8 przy k=3,567 okresów jest 16 i tak w dalszym ciągu 32, 64, 128…,

Odkryto bardzo bogatą strukturę w prostym układzie: chaos wygenerowany przez determinizm i jednoznaczność. Biolog Robert May stosował funkcję logistyczną dla symulacji rozrodczości - długookresowej dynamiki gatunków. Dla (współczynnika rozrodczości) k>3 dynamika staje się bardzo skomplikowana i nie ustala się prosty stan równowagi - mogą pojawiać się cykle dwu-, cztero- ośmioletnie, szczególnie, jeżeli gatunek wpływa na ilość dostępnego mu pożywienia (np. drapieżniki): pojawia się sprzężenie zwrotne. Diagram bifurkacyjny cechuje samopodobieństwo: dowolny jego fragment wygląda jak cały diagram, ma zatem charakter fraktalny.

Prosty świat nauki klasycznej „Filozofia zapisana jest w tej ogromnej księdze, którą stale mamy otwartą przed naszymi oczami; myślę o wszechświecie; lecz nie można jej zrozumieć, jeśli się wpierw rozumieć języka i pojmować znaki, jakimi została zapisana. Zapisana została zaś w języku matematyki, a jej literami są trójkąty, koła i inne figury geometryczne, bez których niepodobna pojąć z niej ludzkim umysłem ani słowa; bez nich jest to błądzenie po mrocznym labiryncie” (Galileo Galilei, Il saggiatore)

Fraktale „Ani chmury nie są kulami, linia brzegowa - kołem, kora nie jest płaska, ani też światło nie porusza się po liniach prostych„ (Benoit Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, 1982)

Teoria fraktali – nowe narzędzie matematyczne umożliwia matematyczny opis zjawisk nieregularnych i chaotycznych Rachunek różniczkowy i całkowy nadaje się jedynie do krzywych gładkich, ale są one wyjątkiem bardzo rzadko spotykanym w przyrodzie Dla fraktali nie istnieje kres komplikacji i złożoności Samopodobieństwo - dowolny fragment fraktala wygląda jak cału fraktal - symetria względem skali Mandelbrot: fraktal = przepis na jego konstrukcję F={1/n, b} n - współczynnik zmiejszania, b - ile zmiejszonych części bierzemy do dalszej konstrukcji

Pył Cantora Punkt wyjściowy – odcinek Dzielimy na 3 części i środkową odrzucamy Itd. ad infinitum Pył Cantora składa się on z nieskończonej ilości elementów o nieskończenie małej wielkości, co w sumie daje zerową miarę, ponieważ w skali makroskopowej go „nie ma”. Wymiar fraktalny tego zbioru wynosi: ln2/ln3=0,630929

Płatek śniegu Kocha Punkt wyjścia - odcinek Z jego środka usuwa się środkową część o długości równej 1/3 długości odcinka, na jej miejsce podstawia się dwa boki trójkąta równobocznego, wewnętrzny kąt którego wynosi α=π/3=60° Analogicznie postępuje się z każdą z czterech utworzonych linii, powtarzając ową iterację ad infinitum. Ułamkowy wymiar krzywej Kocha jest równy ln4/ln3=1,261859

Trójkąt Sierpińskiego Z trójkąta równobocznego usunąć środkowy trzykrotnie zmniejszony trójkąt. Powtarzając tę operację uzyskuje się złożoną strukturę o wymiarze fraktalnym ln3/ln2=1,584962

Dywan Sierpińskiego Kwadrat dzieli się na dziewięć równych części i usuwa się część środkową, analogicznie z pozostałymi częściami. Wymiar fraktalny dywanu Sierpińskiego wynosi ln8/ln3=1,892789

Zbiór Mandelbrota  

Konsekwencje poznawcze Teoria chaosu jako nowy paradygmat nauki, uzupełniający podejście redukcjonistyczne Zagadnienie stosunku obiektów prostych do złożonych Redukcjonizm: istnienie i własności obiektów złożonych wynikają z istnienia i własności ich części; sukcesy takiego podejścia - teoria atomowej budowy materii Redukcjonizm jest uprawnioną metodą w badaniu układów liniowych, w odniesieniu do układów nieliniowych ma ograniczone zastosowanie, ponieważ: 1. Części w izolacji mogą działać inaczej niż w całości 2. Nieliniowe powiązania prowadzą do nowego sposobu działania całości (nadrzędność całości nad częścią

Redukcjonizm - antyredukcjonizm „[…] najbardziej spektakularnym osiągnięciem redukcjonizmu była teoria atomowej budowy materii, która uporządkowała fizykę i chemię, stając się niekwestionowaną bazą nowoczesnego przyrodoznawstwa. Najpierw zredukowano do atomów wszystkie związki chemiczne, potem wyjaśniono ich własności i strukturę, a następnie […] własności coraz bardziej skomplikowanych obiektów i zjawisk: kryształów, cieczy, struktur komórkowych, procesów fizjologicznych. Jednocześnie fizyka atomów i cząstek schodziła coraz głębiej w strukturę materii, odkrywając jądra atomowe, cząstki elementarne i kwarki. Cała materia układała się w jednolity schemat redukcjonistycznej hierarchii bytów” (M. Tempczyk, Teoria chaosu a filozofia, s. 199)

„Nie ma już mowy o redukcji wszystkich rodzajów obiektów, procesów i własności materii do pewnej podstawowej wiedzy o jej najmniejszych fundamentalnych składnikach, ich własnościach i oddziaływaniach. […] Wszechświat jawi się jako całość rozwijająca się zgodnie z autonomicznymi prawami, a w wielu przypadkach ważniejsza od nich” (M. Tempczyk, Teoria chaosu a filozofia, s. 251). Układy złożona mają nowe nieredukowalne własności, wynikające z całościowego działania Samoorganizacja materii Według wielu biologów życie nie jest niesłychanie mało prawdopodobnym przypadkiem, lecz pojawia się wszędzie tam, gdzie istnieją sprzyjające warunki [?]