Ekonometria stosowana Szeregi czasowe Piotr Ciżkowicz Katedra Międzynarodowych Studiów Porównawczych

Procesy stochastyczne Stacjonarność procesu Testowanie stacjonarności Plan Czym się zajmiemy: Procesy stochastyczne Stacjonarność procesu Testowanie stacjonarności

Podstawowe definicje Proces stochastyczny: zbiór zmiennych losowych {Y(t)} uporządkowany według indeksu czasu t Szereg czasowy {y(t)} to realizacja procesu stochastycznego {Y(t)} w próbie Przykład 1: proces stochastyczny może opisywać statystyczny rozkład prędkości kulki toczącej się po pochylni w czasie szereg czasowy będący realizacją takiego procesu składa się z pomiaru prędkości kulki dla jednej próby puszczenia jej po pochylni Przykład 2: szereg czasowy dynamiki PKB w Polsce w latach 1996-2010. proces stochastyczny - ? 3

Przykłady procesów stochastycznych (1) Gaussowski biały szum 4

Przykłady procesów stochastycznych (2) Proces błądzenia losowego: 5

Przykłady procesów stochastycznych (3) Proces autoregresyjny: I rzędu (AR(1)): rzędu p (AR(p)): 6

Przykłady procesów stochastycznych (4) Proces średniej ruchomej: I rzędu (MA(1)): rzędu q (MA(q)): 7

Przykłady procesów stochastycznych (5) Autoregresyjny proces średniej ruchomej: I rzędu (ARMA(1,1)): rzędu p,q (ARMA(p,q)): 8

Stacjonarność procesu stochastycznego (1) Proces stochastyczny jest ściśle stacjonarny jeśli jego wszystkie charakterystyki nie zmieniają się w czasie Proces stochastyczny jest słabo stacjonarny jeśli wartość oczekiwana, wariancja i kowariancja są stałe w czasie tzn. W ekonomii większość analizowanych szeregów ma charakter niestacjonarny (np. poziom PKB, poziom cen, wielkość długu publicznego itp.) Modelowanie ekonometryczne na podstawie szeregów niestacjonarnych prowadzi do zjawiska regresji pozornej (omówione dalej) 9

Stacjonarność procesu stochastycznego (2) Przykład: stacjonarność procesu błądzenia losowego Proces błądzenia losowego można zapisać jako: … Dla y(0)=0, wartość oczekiwana i wariancja procesu to: 10

Stacjonarność procesu stochastycznego (3) Proces błądzenia losowego jest szczególnym przypadkiem procesu AR(1) postaci , który jest stacjonarny gdy zachodzi Jeśli warunek ten jest spełniony to proces jest stacjonarny, gdyż wpływ zaburzenia losowego wygasa w czasie tzn. Proces AR(1) można przedstawić jako: … To oznacza, że 11

Stacjonarność procesu stochastycznego (4) Proces błądzenia losowego jest procesem niestacjonarnym, lecz jego przyrosty są stacjonarne. Jeśli z każdej strony równania błądzenia losowego odejmiemy y(t-1), to otrzymamy: co można zapisać jako: Jeśli proces jest niestacjonarny, ale jego pierwsze przyrosty, czyli różnice między kolejnymi obserwacjami szeregu są stacjonarne, to jest to szereg zintegrowany w stopniu 1 i zapisujemy 12

Stacjonarność procesu stochastycznego (5) Ogólniej: jeśli d-krotne różnicowanie sprowadza proces do stacjonarności, to proces jest zintegrowany stopnia d co zapisujemy jako Przykład: szereg postaci jest zintegrowany stopnia 2 , bo Proces, który różnicowaniem można doprowadzić do stacjonarności nazywamy przyrostostacjonarnym i mówimy, że wykazuje trend stochastyczny Trend może mieć też charakter trendu deterministycnzego, jeśli szereg jest trendostacjonarny np. 13

Stacjonarność procesu stochastycznego (6) Odróżnienie rodzaju trendu jest trudne, zaś w zależności od jego rodzaju stosujemy inne metody usunięcia trendu 14

Testowanie stacjonarności (1) Testowanie na podstawie funkcji autokorelacji (ACF – autocorrelation function) procesu postaci: Dla szeregu czasowego będącego realizacją procesu funkcja przyjmuje postać: Dla białego szumu wartości ACF są równe 0 dla każdego k, zaś dla procesu błądzenia losowego są równe 1 Dla procesu AR(1) można pokazać, że Jeśli wartości ACF zaczynają się od ok. 1 i zbiegają powoli do zera, to można podejrzewać niestacjonarność procesu 15

Testowanie stacjonarności (2) Współczynniki autokorelacji weryfikuje się testem Bartletta: przy procesie białego szumu ich wartości mają rozkład normlany z wartością oczekiwaną 0 i odch. stand. (1/t)^0.5 16

Testowanie stacjonarności (3) Funkcja ACF – pierwsze przybliżenie, ale nie formalny test stacjonarności Najczęściej stosowany test stacjonarności to test Dickeya -Fullera Podstawa testowania te proces AR(1) Jeśli to proces jest stacjonarny Przetestowanie hipotezy testem t-Studenta nie jest możliwe, bo dla procesu niestacjonarnego statystyka t-Studenta nie ma rozkładu t-Studenta Testowaniu podlega przekształcona postać procesu tzn. Hipotezy to 17

Testowanie stacjonarności (4) Hipotezę zerową weryfikuje się statystyką DF postaci porównując ją ze statystyką odczytaną z tablic Uwaga! Statystyka DF, pomimo postaci statystyki t-Studenta nie ma rozkładu t-Studenta, jeśli nie odrzucamy hipotezy zerowej Procedura testowa testu DF: Oszacowanie modelu Wyznaczenie DF i sprawdzenie z wartością z tablic. Jeśli wyznaczona statystyka DF jest mniejsza od statysstyki z tablic (tzn. bardziej ujemna) to odrzucamy H0 i proces jest stacjonarny Jeśli jest większa (tzn. mniej ujemna) to nie odrzucamy H0. Oznacza to, że proces może być I(1), ale również I(2) lub I(3). Powtarzamy procedurę dla Jeśli odrzucimy H0, to proces jest I(1), jeśli nie, to proces jest I(2) lub zintegrowany wyższych rzędów W praktyce nie występują procesu wyższych rzędów niż I(2) więc wskazuje to raczej na słabość testu. 18

Testowanie stacjonarności (5) Inne postacie testu DF: Test ADF (Augmented Dickey Fuller) – pozwala uwzględnić potencjalną autokorelację składnika losowego. Równanie testowe ma postać (k to najmniejsza opóźnienie, przy którym składnik losowy nie wykazuje autokorelacji) Test DF uwzględniający stałą i/lub trend deterministyczny postaci lub W praktyce dobór postaci testu nie jest łatwy. Zazwyczaj test DF uzupełnia się też stosowanie innych testów, z hipotezą zerową mówiącą o stacjonarności szeregu (np. test KPSS). 19

Dziękuję za uwagę