PODSTAWY MECHANIKI PŁYNÓW Wykład Nr 4 Napory na ściany proste i zakrzywione, prawo Archimedesa

1. Napór na ścianę płaską (4) (5) Wektor naporu: - moduł (długość) wektora naporu N (4) (5) - kierunek i zwrot naporu wypadkowego: od strony płynu zawsze prostopadle do ściany, - środek naporu (punkt przyłożenia siły naporu)

1.1. Moduł wektora naporu Wyznaczamy ze wzoru (5) po podstawieniu i obliczeniu całki po powierzchni A: ponieważ stąd (6) gdzie: A jest polem powierzchni zwilżonej części ściany, a głębokością zanurzenia jej środka geometrycznego.

Jeśli uwzględni się ciśnienie absolutne (np Jeśli uwzględni się ciśnienie absolutne (np. barometryczne) na powierzchni cieczy wówczas napór przedstawia się następująco Najczęściej po drugiej stronie ściany poddanej działaniu naporu cieczy panuje ciśnienie barometryczne równoważące ciśnienie działające na swobodną powierzchnię cieczy – stąd człon związany z ciśnieniem barometrycznym jest pomijany.

Simon Stevin (1548-1620) – flamandzki inżynier, matematyk 1.2. Paradoks hydrostatyczny Stevina Simon Stevin (1548-1620) – flamandzki inżynier, matematyk (7) Moduł wektora naporu hydrostatycznego na ścianę płaską o dowolnym konturze i dowolnym nachyleniu jest równy ciężarowi słupa cieczy, którego podstawą jest zanurzona część ściany a wysokością głębokość zanurzenia środka ciężkości. Z tego spostrzeżenia wynika paradoks hydrostatyczny Stevina.

1.3. Środek naporu – punkt przyłożenia wektora naporu Z równości momentu naporu N oraz sumy momentów naporów elementarnych względem osi x wynika (8) (9) po podstawieniu do definicji naporu otrzymamy oraz po przekształceniu wzoru (8) Ostatecznie otrzymamy współrzędną środka naporu w postaci (10) gdzie: Ix – moment bezwładności pola A względem osi x Mx – moment statyczny pola A względem osi x

Ponieważ ściana A może być dowolnie położona względem osi x, dlatego momenty przyjmują różne wartości w zależności od usytuowania ściany. Dlatego stosuje się transformację równoległą momentu bezwładności do momentu względem osi przechodzącej ZAWSZE przez środek ciężkości ściany S. Ix0 – moment bezwładności pola A względem osi x0 przechodzącej przez środek ciężkości i równoległej do osi x

(11) stąd (12) Po podstawieniu (13) otrzymamy (14) Z twierdzenia Steinera (11) stąd (12) Po podstawieniu (13) otrzymamy (14)

Po obustronnym pomnożeniu równania (14) przez otrzymamy (15) Z zależności wynika, że środek naporu na ścianę pochyłą lub pionową leży ZAWSZE poniżej środka ciężkości ściany. W przypadku ściany poziomej (=0) położenie środka naporu pokrywa się z położeniem środka ciężkości Moment bezwładności Ix0 pola A względem osi x0 wyznaczany jest z

Momenty bezwładności Ix0 figur płaskich

Momenty bezwładności Ix0 figur płaskich

Przykład 1: Obliczyć wartość siły naporu oraz współrzędne środka naporu dla pionowej ściany prostokątnej o szerokości b=2 i wysokości h=1 m w przypadku, gdy górna krawędź ściany 1) pokrywa się z powierzchnią cieczy 2) jest zanurzona głębokości H=2 m. Gęstość cieczy przyjąć 1000 kg/m3. Ad. 1

Ad. 2

1.4. Wyznaczanie naporu metodą graficzną Rozkład ciśnienia panującego na ścianie płaskiej można przedstawić graficznie w postaci wykresu ciśnienia, które zmienia się liniowo od 0 na powierzchni swobodnej cieczy do p=gz na głębokości z. Napór hydrostatyczny N na ścianę płaską jest co do wartości równy ciężarowi objętości V wykresu rozkładu ciśnień zbudowanego na powierzchni A. Wektor naporu wypadkowego przechodzi przez środek ciężkości bryły wykresu rozkładu ciśnień, którego rzut na powierzchnię A wyznacza środek naporu.

Przykład 2: obliczyć metodą graficzną wartość siły naporu na ścianę prostokątną z przykładu nr 1

Przykład 3: obliczyć wartość siły naporu działania dwóch różnych cieczy na ścianę prostokątną o szerokości b=5 m metodą analityczną i graficzną. Przyjąć następujące dane 1=1000 kg/m3, 2=13 600 kg/m3, h1=h2=1 m. Metoda graficzna:

Przykład 4 (redukcja objętości): obliczyć napór wypadkowy działający dwustronnie na ścianę prostokątną o szerokości b=5 m. Przyjąć następujące dane =1000 kg/m3, z1=2 m, z2=3 m. Obliczenia wykonać metodą analityczną oraz graficzną. Napór wypadkowy Metoda graficzna

Przykład 5 (redukcja objętości): obliczyć napór wypadkowy z przykładu nr 4 uwzględniając ciśnienie barometryczne 1013,25 hPa na powierzchni cieczy. Obliczenia wykonać metodą analityczną oraz graficzną. Napór wypadkowy Metoda graficzna

2. Napór na ścianę zakrzywioną 2.1. Składowe wektora naporu W przypadku ściany zakrzywionej wyznaczamy 2 składowe poziome i 1 składową pionową naporu. Składowe poziome wyznaczamy jako napory na ściany płaskie powstałe w wyniku rzutowania ściany zakrzywionej na płaszczyzny prostopadłe do osi poziomych. Składowa pionowa naporu jest równa ciężarowi cieczy zawartej pomiędzy zakrzywioną powierzchnią, zwierciadłem cieczy i płaszczyznami pionowymi ograniczającymi powierzchnię zakrzywioną.

Składowe poziome Nx , Ny oraz składowa pionowa Nz są równe Napór wypadkowy obliczamy poprzez sumowanie składowych wektorów Kierunki działania wektorów naporu Nxy i N obliczamy zgodnie z

Przykład 6: obliczyć napór wypadkowy na ścianę zakrzywioną będącą ćwiartką walca o promieniu D=500 mm i długości L=2000 mm. Wysokość napełnienia H=5000 mm. Przyjąć gęstość wody.

Przykład 7: obliczyć napór wypadkowy na ścianę zakrzywioną będącą ćwiartką walca o promieniu R=500 mm i długości L=2000 mm. Wysokość napełnienia H=5000 mm. Przyjąć gęstość wody.

2.2. Metoda graficzna wyznaczanie naporu na ściany zakrzywione Składowe poziome liczone są tak jak dla ścian płaskich, poprzez utworzenie bryły z rozkładu ciśnienia hydrostatycznego. Składowa pionowa liczona jest jako ciężar cieczy znajdujący się ponad rozpatrywaną powierzchnią jeśli nawet w tej objętości nie ma rozpatrywanej cieczy! Mówimy wówczas o tzw. objętości pozornej. Środek naporu znajduje się w punkcie przecięcia linii działania wektorów Nx i Nz.

Przykład 8: napór na ćwiartkę walca

Przykład 9: napór na połowę walca

Przykład 10: dwustronny napór na połowę walca

Przykład 11: napór na ścianę złożoną (kombinację ściany zakrzywionej i płaskiej)

3. Wypór hydrostatyczny. Prawo Archimedesa

dlatego składowa pozioma Nxy=0 , natomiast składowa pionowa Różnica objętości V=V1-V2 jest objętością ciała i jednocześnie objętością cieczy wypartej przez to ciało. Iloczyn jest ciężarem cieczy wypartej przez ciało. Wielkość tą nazywamy wyporem hydrostatycznym. Znak „-” oznacza, że siła ta skierowana jest przeciwnie do osi z. Jeśli ciężar ciała wynosi G i działa na niego siła wyporu wówczas ciężar pozorny ciała wynosi

Równowaga ciał zanurzonych W zależności od wartości siły G w porównaniu z wyporem W można przedstawić trzy przypadki: 1) Jeżeli G < W to siła wypadkowa wypiera ciało do góry aż do osiągnięcia stanu równowagi tj. gdy wypór zanurzonej części ciała zrówna się z jego ciężarem. 2) Jeżeli G > W to ciało tonie. 3) Jeżeli G = W wówczas W=-gV jest równy ciężarowi G= cgVc , stąd. wynika z tego, że - gdy c= to Vc=V a zatem ciało pływa całkowicie zanurzone; - gdy c< to Vc>V to ciało pływa wynurzając się częściowo ponad powierzchnię swobodną cieczy.